2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題1 三角函數(shù) 第1講 三角函數(shù)問(wèn)題教學(xué)案 理
《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題1 三角函數(shù) 第1講 三角函數(shù)問(wèn)題教學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題1 三角函數(shù) 第1講 三角函數(shù)問(wèn)題教學(xué)案 理(14頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第1講 三角函數(shù)問(wèn)題 題型1 三角函數(shù)的圖象問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1.“五點(diǎn)法”作圖 用五點(diǎn)法畫y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),一般先列表,后描點(diǎn),連線,其中所列表如下: x - -+ - ωx+φ 0 π 2π Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.圖象變換 ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題1】 (考查三角函數(shù)圖象的平移變換) (2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知曲線C1:y=cos
2、 x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是( ) A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 [思路分析] 異名三角函數(shù)同名三角函數(shù)得結(jié)論. [解析] 因?yàn)閥=sin=cos=cos,所以曲線C1:y=cos x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)
3、縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線y=cos 2x,再把得到的曲線y=cos 2x向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線y=cos 2=cos.故選D. [答案] D 【典題2】 (考查已知三角函數(shù)的圖象求解析式)(2017·洛陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖1-1所示,已知圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1),B,則f(x)=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804000】 圖1-1 [思路分析] 由圖象得周期T,利用T=得ω→由特殊點(diǎn)A(0,1)得關(guān)于φ的三角方程→利用φ的范圍確定φ的值→f(x). [解析] 由已知得=,∴T=,又T=,∴ω=3. ∵f(0)=1,∴s
4、in φ=,又∵0<φ<,∴φ=, ∴f(x)=2sin(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意). [答案] 2sin [類題通法] (1)當(dāng)原函數(shù)與所要變換得到的目標(biāo)函數(shù)的名稱不同時(shí),首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一,將y=sin ωx(ω>0)的圖象變換成y=sin(ωx+φ)的圖象時(shí),只需進(jìn)行平移變換,應(yīng)把ωx+φ變換成ω,根據(jù)確定平移量的大小,根據(jù)的符號(hào)確定平移的方向. (2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式的確定 ①A由最值確定,A=; ②ω由周期確定; (3)φ由圖象上的特殊點(diǎn)確定. 通常利用峰點(diǎn)、谷點(diǎn)或零點(diǎn)列出關(guān)于φ的方程,結(jié)合φ的范圍解得φ的值,所列方程如下: 峰點(diǎn):ωx+φ=+2kπ
5、;谷點(diǎn):ωx+φ=-+2kπ.,利用零點(diǎn)時(shí),要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn),還是降零點(diǎn). 升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)):ωx+φ=2kπ; 降零點(diǎn)(圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z) ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1.已知函數(shù)f(x)=sin2(ωx)-(ω>0)的最小正周期為,若將其圖象沿x軸向右平移a(a>0)個(gè)單位,所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a的最小值為( ) A. B. C. D. D [依題意得f(x)=-=-cos 2ωx,最小正周期T==,ω=2,所以f(x)=-cos 4x,將f(x)=-cos
6、 4x的圖象向右平移a個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=-cos[4(x-a)]的圖象.又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因此有g(shù)(0)=-cos 4a=0,4a=kπ+,k∈Z,即a=+,k∈Z,因此正實(shí)數(shù)a的最小值是,選D.] 2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖1-2所示,則f 的值為________. 圖1-2 1 [根據(jù)圖象可知,A=2,=-,所以周期T=π,ω==2. 又函數(shù)過(guò)點(diǎn), 所以有sin=1,而0<φ<π, 所以φ=,則f(x)=2sin, 因此f =2sin=1.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)……………………
7、…………………………………………………· (見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T3、T5、T11) 題型2 三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第2頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備……………………………………………………………………… 1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z);y=cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). 2.三角函數(shù)的對(duì)稱性 y=Asin(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù);對(duì)稱軸方程可由ωx
8、+φ=kπ+(k∈Z)求得. y=Acos(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ+(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù);當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù);對(duì)稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù). 3.三角函數(shù)的最值 (1)y=asin x+bcos x+c型函數(shù)的最值: 通過(guò)引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sin(x+φ)+c的最值問(wèn)題,然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解. (2)y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x型函數(shù)的最值:可利用降冪公式sin2x=,sin xcos x=,cos2x=,將y=asin2x+bsin
9、 xcos x+ccos2x轉(zhuǎn)化為y=Asin 2x+Bcos 2x+C,這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來(lái)求最值. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】 (考查三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性)將函數(shù)f(x)=cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)具有性質(zhì)( ) A.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 B.在上單調(diào)遞增,為奇函數(shù) C.在上單調(diào)遞增,為偶函數(shù) D.周期為π,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 [解析] 由題意可得將f(x)=cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位得到g(x)=cos=cos=sin 2x的圖象,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為
10、奇函數(shù),所以排除C,又當(dāng)x=時(shí)函數(shù)值為0,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)值為,所以A和D中對(duì)稱的說(shuō)法不正確,選B. [答案] B 【典題2】 (考查三角函數(shù)的值域問(wèn)題)(2017·全國(guó)Ⅱ卷)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________. [解析] f(x)=1-cos2x+cos x-=-+1. ∵x∈, ∴cos x∈[0,1], ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最大值,最大值為1. [答案] 1 【典題3】 (考查三角函數(shù)的定義域、周期性及單調(diào)性的判斷)已知函數(shù)f(x)=4tan x·sin·cos-. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804001】 (1)求f(x)的定義域與最小
11、正周期; (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性. [解] (1)f(x)的定義域?yàn)? f(x)=4tan xcos xcos-=4sin xcos- =4sin x-=2sin xcos x+2sin2x- =sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin. 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)令z=2x-,則函數(shù)y=2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z. 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 設(shè)A=,B=,易知A∩B=. 所以當(dāng)x∈時(shí),f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減. [類題通法] 函數(shù)y=Asi
12、n(ωx+φ)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路 第一步:先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”視為一個(gè)整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+2φ)-2sin φcos(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( ) A.(0,2] B. C. D. C [f(x)=sin(ωx+φ+φ)-2sin φcos(ωx+φ)=cos φsin(ω
13、x+φ)-sin φcos(ωx+φ)=sin ωx,+2kπ≤ωx≤+2kπ,k∈Z?+≤x≤+,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為, k∈Z,所以+≤π<≤+,k∈Z,由+≤π,可得+2k≤ω,k∈Z,由≤+,k∈Z,可得ω≤1+,k∈Z,所以+2k≤ω≤1+,k∈Z,又≥-π=,所以≥π,因?yàn)棣兀?,所以0<ω≤2,所以當(dāng)k=0時(shí),≤ω≤1.故選C.] 2.已知函數(shù)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1的最大值為3,f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2,則f(1)+f(2)+…+f(2 016)=( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804002】 A.
14、2 468 B.3 501 C.4 032 D.5 739 C [f(x)=cos(2ωx+2φ)++1.由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2,知=2,得T=4=,∴ω=,由f(x)的最大值為3,得A=2.又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),∴cos 2φ=0,∴2φ=kπ+(k∈Z),即φ=+(k∈Z),又0<φ<,∴φ=,∴f(x)=cos+2=-sin +2.∴f(1)+f(2)+…+f(2 016)=(-1+2)+(0+2)+(1+2)+(0+2)+(-1+2)+…+(0+2)=2×2 016=4 032.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見(jiàn)
15、專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T4、T6、T7、T8、T12、T13、T14) 題型3 三角恒等變換 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第4頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β; (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=.
16、 3.輔助角公式 asin x+bcos x=sin(x+φ). ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】 (考查給式求角問(wèn)題)(2014·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)α∈,β∈,且tan α=,則( ) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= [解析] 法一:(切化弦)由tan α=得=, 即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin. ∵α∈,β∈, ∴α-β∈,-α∈, 由sin(α-β)=sin,得α-β=-α, ∴2α-β=. 法二:(弦化切)tan α
17、== = =cot =tan =tan, ∴α=kπ+,k∈Z, ∴2α-β=2kπ+,k∈Z. 當(dāng)k=0時(shí),滿足2α-β=,故選B. [答案] B 【典題2】 (考查給值求值問(wèn)題)(2016·江西八校聯(lián)考)如圖1-3,圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C,B在圓O上,且點(diǎn)C位于第一象限,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,∠AOC=α,若|BC|=1,則cos2-sincos -的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804003】 圖1-3 [解析] 由題意可知|OB|=|BC|=1,∴△OBC為正三角形. 由三角函數(shù)的定義可知,sin∠AOB=sin=, ∴cos2-sinco
18、s-=--=cos α-sin α=sin=. [答案] [類題通法] 解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值要堅(jiān)持“三看”原則:一看“角”,通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分;二是“函數(shù)名稱”,是需進(jìn)行“切化弦”還是“弦化切”等,從而確定使用的公式;三看“結(jié)構(gòu)特征”,了解變式或化簡(jiǎn)的方向. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1.對(duì)于銳角α,若sin=,則cos=( ) A. B. C. D.- D [由α為銳角,且sin=,可得cos=,那么cos=cos=coscos -sinsin =,于是cos=2cos2-1=2×-1=-.故選D
19、.] 2.已知tan α=,tan β=-,且0<α<,<β<π,則2α-β的值為________. - [tan 2α==, 又0<α<,所以2α∈,又<β<π, 所以2α-β∈(-π,0),又tan β=-,則tan(2α-β)===1, 故2α-β=-.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T9、T10) 三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第4頁(yè)) 1.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.- B. C.- D. D [sin 20°
20、cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故選D.] 2.(2016·全國(guó)Ⅲ卷)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=( ) A. B. C.1 D. A [因?yàn)閠an α=,則cos2α+2sin 2α====.故選A.] 3.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后圖象的對(duì)稱軸為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804004】 A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=-(k∈Z) D.x=+
21、(k∈Z) B [將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=2sin 2=2sin的圖象.由2x+=kx+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后圖象的對(duì)稱軸為x=+(k∈Z).] 4.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.f(x)的一個(gè)周期為-2π B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x= D.f(x)在單調(diào)遞減 D [A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個(gè)周期為-2π,A項(xiàng)正確. B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos圖象的對(duì)稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y
22、=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,B項(xiàng)正確. C項(xiàng),f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,當(dāng)k=1時(shí),x=,所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=,C項(xiàng)正確. D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=cos的遞減區(qū)間為(k∈Z),遞增區(qū)間為(k∈Z),所以是減區(qū)間,是增區(qū)間,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.] 5.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖1-4所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804005】 圖1-4 A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z D [由圖象知,最小正周期T=2=2, ∴=2,∴ω=π.
23、
由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
∴f(x)=cos.
由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,得2k-
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