2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 第8講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積教學(xué)案 理

《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 第8講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題4 立體幾何 第8講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積教學(xué)案 理（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第8講　空間幾何體的三視圖、表面積和體積 題型1　幾何體的三視圖、表面積和體積 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1．畫幾何體的三視圖應(yīng)遵循：“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”． 2．柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)； (2)S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)； (3)S臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)． 3．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)；

2、 (3)V臺(tái)＝(S＋＋S′)h(不要求記憶)． 4．球體的體積公式 V＝πR3；表面積公式S＝4πR2(其中R為球的半徑)． ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查多面體的體積問(wèn)題)如圖8-1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804054】 圖8-1 A．64　　　　B.　　　　C．16　　　　D. [思路分析]　三視圖―→直觀圖―→多面體的體積． [解析]　利用正方體還原幾何體，如圖中的三棱錐D-ABC所示，由三視圖可知△ABC的邊BC＝2，BC邊

3、上的高為4，三棱錐D-ABC的高為CD＝4，故三棱錐D-ABC的體積為V＝××2×4×4＝.故選D. [答案]　D 【典題2】　(考查組合體的表面積問(wèn)題)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)如圖8-2，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖8-2 A．17π　　 B．18π C．20π D．28π [思路分析]　三視圖―→球體的―→球體的半徑―→幾何體的表面積． [解析]　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR

4、2＋πR2＝17π.故選A. [答案]　A 【典題3】　(考查立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題)(2017·武昌區(qū)模擬)(立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖8-3所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為(　　) 圖8-3 A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 [思路分析]　數(shù)學(xué)文化信息提取―→空間幾何體的體積―→量的計(jì)算． [解析]　該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)底面半徑為的圓柱，右邊是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5.4－x、3、1的長(zhǎng)方體，∴組合體的體積V＝

5、V圓柱＋V長(zhǎng)方體＝π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π≈3)，解得x＝1.6.故選B. [答案]　B [類題通法] 1.在長(zhǎng)方體(或正方體)中根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，能快速確定幾何體中線面位置關(guān)系. 2.空間幾何體的體積與表面積求法 (1)三視圖中數(shù)據(jù)的還原：分析三視圖，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. (2)割補(bǔ)法：求不規(guī)則幾何體的體積或表面積時(shí)，通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成規(guī)則幾何體求解. (3)等積變換：涉及三棱錐的體積，注意靈活選擇底面和對(duì)應(yīng)的高. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．正方體ABCD-A

6、1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖8-4)，用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的正視圖為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804055】 圖8-4 C　[過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面與棱DD1相交于點(diǎn)F，且F是棱DD1的中點(diǎn)，截去正方體的上半部分，剩余幾何體的直觀圖如圖所示，則其正視圖應(yīng)為選項(xiàng)C.] 2．某幾何體的三視圖如圖8-5所示，則該幾何體的表面積為(　　) 圖8-5 A.＋1 B． C.＋1 D．＋1 C　[由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，故其表面積為π＋1＋2π×2＋π＝＋1，選C.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)……………………

7、…………………………………………………· (見專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T3、T4、T5、T6、T11、T14、T15、T16、T17、T19) 題型2　球與幾何體的切接問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第28頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1．多面體與球接、切問(wèn)題求解策略 (1)截面法：過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系． (2)補(bǔ)形法：“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則利用4R2＝a2＋b2＋c2求解. 2．球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論 (1)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于

8、外接球的直徑，即＝2R. (2)棱長(zhǎng)為a的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即a＝2R. (3)棱長(zhǎng)為a的正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)等于內(nèi)切球的直徑，即a＝2R. (4)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個(gè)面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2＝＋x2. ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查與球有關(guān)的幾何體的切、接問(wèn)題)(2016·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖8-6所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804056】 圖8-6 A.　 B． C. D．

9、 [思路分析]　三視圖―→空間幾何體―→確定球心―→求半徑R. [解析]　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S - ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H為△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設(shè)球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2－R|， 由球的截面性質(zhì)可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. [答案]　D 【典題2】　(考查與球有關(guān)的最值問(wèn)題)(2016·全國(guó)Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱

10、ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π　　 B． C．6π D． [思路分析]　先計(jì)算球與直三棱柱三個(gè)側(cè)面相切時(shí)球的半徑，再計(jì)算球與直三棱柱兩底面相切時(shí)球的半徑，半徑較小的球即為所求． [解析]　由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R.因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓半徑為＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax＝π＝π.故選B. [答案]　B [類題通法] 　 　 　 　多面體與球接、切問(wèn)題的求解策略 涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一

11、般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，進(jìn)而畫出內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，找到球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S-ABC的體積的最大值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804057】 A. B． C. D．2 A　[取AB中點(diǎn)D，連接SD，CD，可知當(dāng)SD⊥AB時(shí)棱錐體積最大．因?yàn)槠矫鍿AB

12、⊥平面ABC，交線為AB， 所以SD⊥平面ABC. 解正三角形ABC可得： S△ABC＝4， 球半徑R＝OC＝ ，SD＝＝2. 故棱錐體積為×2×4＝.] 2．如圖8-7，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形．若AB＝4，則四面體ABCD外接球的表面積為________． 圖8-7 64π　[由題意知四面體ABCD的外接球與如圖中正三棱柱的外接球是同一個(gè)球，記E、F分別為△AC′D′和△BCD的中心，連接EF，則EF的中點(diǎn)O為四面體ABCD外接球的球心．連接AO，AE，BF，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為6的正三角形，所以AE＝×6×sin 60°＝2，O

13、E＝AB＝2，所以R2＝OE2＋AE2＝16，則外接球表面積S＝4πR2＝64π.] ■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T7、T8、T9、T10、T12、T13、T18、T20) 三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第29頁(yè)) 1．(2017·全國(guó)Ⅰ卷)某多面體的三視圖如圖8-8所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804058】 圖8-8 A．10　　 B．12 C．1

14、4 D．16 B　[觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個(gè)面中有2個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2××(2＋4)×2＝12.故選B.] 2．(2017·全國(guó)Ⅱ卷)如圖8-9，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) 圖8-9 A．90π B．63π C．42π D．36π B　[法一：

15、(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示． 將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π故選B. 法二：(估值法)由題意知，V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合題意． 故選B.] 3．(2017·全國(guó)Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C. D． B　[設(shè)圓柱的

16、底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B.] 4．(2015·全國(guó)Ⅰ卷)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖8-10，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) 圖8-10 A．14

17、斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 B　[ 設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V＝×π·r2·5＝××5≈(立方尺)．故堆放的米約有÷1.62≈22(斛)．故選B.] 5．(2015·全國(guó)Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π C　[如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2. ∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值， ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO-ABC最大，

18、 ∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO-ABC最大為×R2×R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.故選C.] 6．(2017·全國(guó)Ⅰ卷)如圖8-11，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804059】 圖8-11 4 cm3　[如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)G， 由題意，知OD⊥BC，OG＝BC. 設(shè)OG＝x，則BC＝2x，DG＝5－x， 三棱錐的高h(yuǎn)＝ ＝＝， S△ABC＝×2x×3x＝3x2，則三棱錐的體積 V＝S△ABC·h＝x2·＝·. 令f(x)＝25x4－10x5，x∈，則f′(x)＝100x3－50x4. 令f′(x)＝0得x＝2.當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值80，則V≤×＝4. ∴三棱錐體積的最大值為4 cm3.] 10