2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第1部分 重點強化專題 專題5 解析幾何 第11講 直線與圓教學(xué)案 理

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1、 第11講　直線與圓 題型1　圓的方程 (對應(yīng)學(xué)生用書第38頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1．圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以為圓心，為半徑的圓． ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)求圓的方程)(2017·山西運城二模)已知圓C截y軸所得的弦長為2，圓心C到直線l

2、：x－2y＝0的距離為，且圓C被x軸分成的兩段弧長之比為3∶1，則圓C的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804079】 [解析]　設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點C到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.由題意可知 ∴或 故所求圓C的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2. [答案]　(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2 【典題2】　(考查待定系數(shù)法求圓的方程)(2017·廣東七校聯(lián)考)一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2，則該圓的方程為________．

3、[思路分析]　法一：利用圓心在直線x－3y＝0上設(shè)圓心坐標為(3a，a)→利用半徑、弦心距、半弦長構(gòu)成的直角三角形列出關(guān)于a的方程，求解a的值→得出圓的方程； 法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2→利用條件列出關(guān)于a，b，r的方程組→解方程組，得出圓的方程； 法三：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0→利用條件列出關(guān)于D、E、F的方程組→解方程組，得出圓的方程． [解析]　法一：(幾何法)∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上， ∴設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)， 又所求圓與y軸相切，∴半徑r＝3|a|， 又所求圓在直線y＝x上截得的弦長為2，圓心(3a，a)到直線y

4、＝x的距離d＝， ∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1. 故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 法二：(待定系數(shù)法：標準方程)設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則{ ① 由于所求圓與y軸相切，∴r2＝a2， ② 又∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，∴a－3b＝0， ③ 聯(lián)立①②③，解得或 故所求圓的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9. 法三：(待定系數(shù)法：一般方程)設(shè)所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標為，半徑r＝. 在圓的方程中

5、，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0. 由于所求圓與y軸相切，∴Δ＝0，則E2＝4F. ① 圓心到直線y＝x的距離為d＝， 由已知得d2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ② 又圓心在直線x－3y＝0上， ∴D－3E＝0. ③ 聯(lián)立①②③，解得或 故所求圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0. [答案]　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0 [類題通法] 求圓的方程的兩種方法 1．幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程．

6、 2．代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． ■對點即時訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．若直線y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝1的兩個交點關(guān)于直線2x＋y＋b＝0對稱，則點(k，b)所在的圓為(　　) A.＋(y＋5)2＝1 B.＋(y－5)2＝1 C.＋(y－5)2＝1 D.＋(y＋5)2＝1 A　[由題意知直線y＝kx與直線2x＋y＋b＝0互相垂直，所以k＝.又圓上兩點關(guān)于直線2x＋y＋b＝0對稱，故直線2x＋y＋b＝0過圓心(2,0)，所以b＝－4，結(jié)合選項可知，點在圓＋(y＋5)2＝1上，故選A.] 2．拋物線y2

7、＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804080】 (x－1)2＋y2＝4　[∵拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點， ∴A，B兩點的坐標分別為：(1,2)，(1，－2)， 又準線與x軸的交點為M，∴M點的坐標為(－1,0)， 則過M，A，B三點的圓的圓心在x軸， 設(shè)圓心坐標為O(a,0)， 則|OA|＝|OM|，即＝a－(－1)， 解得a＝1.∴圓心坐標為(1,0)，半徑為2.故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.] ■題型強化集訓(xùn)……

8、…………………………………………………………………· (見專題限時集訓(xùn)T1、T3、T11、T13) 題型2　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (對應(yīng)學(xué)生用書第39頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1．直線與圓的位置關(guān)系 相交、相切和相離，直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法主要有點線距離法和判別式法． (1)點線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d＜r?直線與圓相交，d＝r?直線與圓相切，d＞r?直線與圓相離． (2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，其

9、根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ＜0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ＞0. 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下： (1)d＞r1＋r2?兩圓外離； (2)d＝r1＋r2?兩圓外切； (3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2?兩圓相交； (4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切； (5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含． ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查弦長問

10、題)(2016·全國Ⅲ卷)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2，則|CD|＝________. [解析]　由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝. 畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4. [答案]　4 【典題2】　(考查直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用)(2017·廣東汕頭高三期末)如圖11-1，在平

11、面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． 圖11-1 (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程； (3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得＋＝，求實數(shù)t的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：07804081】 [解]　圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑為5. (1)由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)，因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0＜y0＜7

12、.于是圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1，因此，圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為＝2.設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線l的距離d＝＝.因為BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因為A(2,4)，T(t,0)，＋＝，所以①.因為點Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是點P

13、(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，從而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點，所以5－5≤≤5＋5，解得2－2≤t≤2＋2.因此實數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]． [類題通法]　 解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題的方法 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量. (2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值

14、問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題. ■對點即時訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1．已知P是直線kx＋y＋4＝0(k＞0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，切點分別為A，B，若四邊形PACB的最小面積為2，則k的值為(　　) A．3　　 B．2 C．1 D． B　[將圓C的方程化為標準方程，即x2＋(y－1)2＝1，所以圓C的半徑為1.S四邊形PACB＝|PA|·|AC|＝|PA|＝＝，可知當|CP|最小，即CP⊥l時，四邊形PACB的面積最小，由最小面積＝2得|CP|min＝，由點到直線的距離公式得|CP|min＝＝，因為k

15、＞0，所以k＝2.故選B.] 2．已知雙曲線x2－y2＝1的左、右兩個焦點分別是F1、F2，O為坐標原點，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：x－y＋t＝0與圓O有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[0,2] C．[－4,4] D．[0,4] C　[雙曲線x2－y2＝1的兩個焦點分別是F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，從而圓O的方程為x2＋y2＝2.因為直線x－y＋t＝0與圓O有公共點，所以有≤，即|t|≤4，從而實數(shù)t的取值范圍是[－4,4]，故選C.] ■題型強化集訓(xùn)………………………………………………………………………· (見專題限時集訓(xùn)T2、T4、T5

16、、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14) 三年真題| 驗收復(fù)習效果 (對應(yīng)學(xué)生用書第40頁) 1．(2016·全國Ⅱ卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　 B．－ C. D．2 A　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的標準方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1可知＝1，解得a＝－，故選A.] 2．(2015·全國Ⅱ卷)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804082】 A．2 B．8 C

17、．4 D．10 C　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故選C.] 3．(2015·全國Ⅰ卷)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________． ＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點的坐標為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點．設(shè)圓的標

18、準方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標準方程為＋y2＝.] 4．(2017·全國Ⅲ卷)已知拋物線C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標原點O在圓M上； (2)設(shè)圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． [解]　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由 可得y2－2my－4＝0， 則y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝， 故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB， 故坐標原點O在圓M上． (2)由(

19、1)可得y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圓心M的坐標為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點P(4，－2)，因此·＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標為(3,1)，圓M的半徑為， 圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標為，圓M的半徑為， 圓M的方程為2＋2＝. 8