2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 4數(shù)列與不等式教學(xué)案 理

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1、 4. 數(shù)列與不等式 ■要點(diǎn)重溫…………………………………………………………………………· 1．等差數(shù)列及其性質(zhì) (1){an}等差數(shù)列?an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2) ?2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*) ?an＝an＋b?Sn＝An2＋Bn. (2)等差數(shù)列的性質(zhì) ①an＝am＋(n－m)d； ②當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap. ③Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列． [應(yīng)用1

2、]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為(　　) A．15　　　　 B．20 C．25 D．30 [答案]　A 2．等比數(shù)列及其性質(zhì) (1){an}等比數(shù)列? ?＝q(q為常數(shù)，q≠0)(a1≠0)?an＝a1·qn－1. [應(yīng)用2]　x＝是a、x、b成等比數(shù)列的(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804176】 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 [解析]　若x＝a＝0，x＝成立，但a、x、b不成等比數(shù)列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比數(shù)列，則x2＝ab?x＝±，所以x＝不一定成立，必

3、要性不成立．所以選D. [答案]　D (2)等比數(shù)列的性質(zhì) 當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am·an＝ap·aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am·an＝a. [應(yīng)用3]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝________. (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5·a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. [答案]　(1)512　(2)10 (3)求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對q分q＝1和q≠1兩種情

4、形討論求解． [應(yīng)用4]　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q是________． [解析]?、佼?dāng)q＝1時(shí)，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， ∴S3＋S6＝S9成立． ②當(dāng)q≠1時(shí)，由S3＋S6＝S9 得＋＝ ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. ∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1. [答案]　1或－1 3．求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型及方法 (1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納、猜想法． [應(yīng)用5]　如圖10(1)，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦

5、去中間一段，得到圖10(2)，如此繼續(xù)下去，得圖10(3)……，試探求第n個(gè)圖形的邊長an和周長Cn. 圖10(1)　　　圖10(2)　　　　圖10(3) [答案]　an＝，Cn＝×(3×4n－1) (2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項(xiàng)公式． (3)疊加法(迭加法)： an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1； 疊乘法(迭乘法)： ＝··……·. [應(yīng)用6]　已知a1＝1，an＋1＝2nan，求an. [答案]　an＝2 (4)已知Sn與an的關(guān)系，利用關(guān)系式an＝求an. [應(yīng)用

6、7]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1，則an＝________. [解析]　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3. n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1. 所以an＝. [答案]　 (5)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式． [應(yīng)用8]　已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. [解析]　令x＝2，y＝2n－1，則f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－

7、1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n， 即an＝n·2n. [答案]　n·2n 4．?dāng)?shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式； (2)分組求和法； (3)倒序相加法； (4)錯(cuò)位相減法； (5)裂項(xiàng)法． 如：＝－；＝. [應(yīng)用9]　求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1. [答案]　Sn＝ (6)并項(xiàng)法 數(shù)列求和時(shí)要明確：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法． [應(yīng)用10]　數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，S

8、n是{an}的前n項(xiàng)和，則S21的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804177】 [答案]　 5．研究數(shù)列{an}的單調(diào)性的方法： (1)an＋1－an ，如an＝2n－4n－5； (2) ，an＝； (3)an＝f(n)增減性，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的增減性，如an＝. [應(yīng)用11]　若an＝，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)． [答案]　a3＝ 6．兩個(gè)不等式相乘時(shí)，必須注意同向同正時(shí)才能相乘，同時(shí)要注意“同號可倒”，即a>b>0?<；a. [應(yīng)用12]　若實(shí)數(shù)a，b∈R且a>b，則下列不等式恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2>b2 B．>1 C．2a>2b

9、 D．lg(a－b)>0 [解析]　根據(jù)函數(shù)的圖象(圖略)與不等式可知：當(dāng)a>b時(shí)，2a>2b，故選C. [答案]　C 7．用基本不等式“≥ (a，b>0)”求最值(或值域)時(shí)，要注意到條件“一正、二定、三相等”；在解答題，遇到利用基本不等式求最值的問題，要交待清楚取等號的條件．常用技巧： (1)對不能出現(xiàn)定值的式子進(jìn)行適當(dāng)配湊． (2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元． (3)當(dāng)題中等號條件不成立，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值． [應(yīng)用13]　(1)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4

10、[解析]　由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號． [答案]　D (2)已知0＜x＜1＜y，則logxy＋logyx的值域是________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804178】 [答案]　(－∞，－2] (3)函數(shù)f(x)＝的值域是________． [答案]　 8．求解線性規(guī)劃問題時(shí)，不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)解，如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(－2,2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指

11、已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離的平方等．同時(shí)解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)． [應(yīng)用14]　若實(shí)數(shù)x，y滿足，且x2＋y2的最大值等于34，則正實(shí)數(shù)a的值等于(　　) A． B． C． D．3 [解析]　做出可行域，如圖所示，x2＋y2表示點(diǎn)(x，y)與(0,0)距離的平方，由圖知，可行域中的點(diǎn)B離(0,0)最遠(yuǎn)，故x2＋y2的最大值為＋32＝34?a＝，故選B. [答案]　B 9．解答不等式恒成立問題的常用方法 (1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)用此法． (2)從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可

12、轉(zhuǎn)化最小值大于零． (3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來． (4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握圖形． [應(yīng)用15]　如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804179】 A．－1≤k≤0 B．－1≤k<0 C．－1

13、)]max. [應(yīng)用16]　已知函數(shù)f(x)＝ ，其中a∈R，若對任意非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一實(shí)數(shù)x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 [解析]　由數(shù)形結(jié)合討論知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增， ∴ ? ? ，令g(a)＝，則g(a)＝－1(0≤a<1)且g′(a)＝－(0≤a<1)， ∴g(a)在上遞減，在上遞增， 即kmin＝g＝8. [答案]　D ■查缺補(bǔ)漏…………………………………………………………………………· 1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax

14、恒成立的是(　　) A.> B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C．sin x>sin y D．x3>y3 D　[因?yàn)?y.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，<1，A不成立．B中，當(dāng)x＝0，y＝－1時(shí)，ln 1

15、an＝，故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1＋＝.] 3．已知x，y滿足約束條件 ，若z＝2x＋y的最小值為1，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804180】 A．4 B． C．1 D．2 D　[做出可行域及直線2x＋y＝0，如圖所示．平移直線2x＋y＝0，當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z＝2x＋y取得最小值；解 得 ；因?yàn)閦＝2x＋y的最小值為1，所以zmin＝2×1＋＝1，a＝2，故選D. ] 4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若am＋1·am－1＝2am (m≥2)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m－1＝512，則m的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B

16、　[因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等比數(shù)列， 所以am＋1·am－1＝2am＝a，am＝2， 又T2m－1＝a1a2…a2m－1＝a， 所以22m－1＝512＝29，m＝5.] 5．在等差數(shù)列{an}中，a5<0，a6>0且a6>|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是(　　) A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0 B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0 C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0 D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0 C　[由題意可知a6＋a5>0，故S10＝＝>0， 而S9＝＝＝9a

17、5<0，故選C.] 6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07804181】 A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 D　[當(dāng)n＝2k時(shí)，a2k＋1＋a2k＝4k－1； 當(dāng)n＝2k－1時(shí)，a2k－a2k－1＝4k－3. 所以a2k＋1＋a2k－1＝2，所以a2k＋1＋a2k＋3＝2， 所以a2k－1＝a2k＋3，所以a1＝a5＝…＝a61. 所以a1＋a2＋a3＋…＋a60 ＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝＝30×61

18、＝1 830.] 7．已知a，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，則＋的最小值是(　　) A． B．2(－1) C．2－1 D．2(＋1) B　[＋＝ ＝1－ ＝1－≥1－＝2(－1)．] 8．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對任意x∈[0，＋∞)，均滿足：xf′(x)>－2f(x)．若g(x)＝x2f(x)，則不等式g(2x)0，而g(x)＝x2f(x)也為偶函數(shù)，所以g(2x)

19、)?g(|2x|)

20、在[0,3]上單調(diào)遞減，并且f>f(－m2＋2m－2)，則m的取值范圍是________． 1－≤m<　[由題設(shè)可得2－a＋3＝0，即a＝5，故f(－m2－1)>f(－m2＋2m－2)可化為f(m2＋1)>f(m2－2m＋2)，又1≤m2＋1≤3,1≤m2－2m＋2≤3，故m2＋10恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________． (－∞，1)∪(3，＋∞)　[設(shè)f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，則f(a)>0對?a∈[－1,1]成立等價(jià)于 ，即 ，解之得x<1或x>3，即實(shí)數(shù)x的取

21、值范圍是(－∞，1)∪(3，＋∞)．] 12．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為________. 【導(dǎo)學(xué)號：07804182】 (2－，2＋)　[由指數(shù)函數(shù)圖象可得f(a)＞－1，所以g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，解得2－＜b＜2＋.] 13．設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為6，則＋的最小值為________． 　[根據(jù)題意，畫出可行域(圖略)．將z＝ax＋by變形為：y＝－x＋(a>0，b>0)進(jìn)行平移，當(dāng) ，即 時(shí)，z＝ax＋by(a>0，b>0)取最大值6，

22、所以4a＋6b＝6(a>0，b>0)，所以＋＝(4a＋6b)＝≥＝＝(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“＝”)，所以最小值為.] 14．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3＝4，{an}的前3項(xiàng)和為7. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)2n＋3，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：＋＋…＋≤2－. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得q>0，且∴ ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n

23、－1－3＝(2n－1)·2n－1. ∵an＝2n－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝2n－1. ∵b1＝1＝2×1－1滿足bn＝2n－1， ∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1(n∈N*)． ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴Sn＝n2. ∴當(dāng)n＝1時(shí)，＝1＝2－. 當(dāng)n≥2時(shí)，＝<＝－. ∴＋＋…＋≤2－＋－＋…＋－ ＝2－. 15．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，a2＝，2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足：b1<0,3bn－bn－1＝n(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求證：數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列；

24、 (2)求證：數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列； (3)若當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)，Sn取得最小值，求b1的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：07804183】 [解]　(1)證明：∵2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)． ∴{an}是等差數(shù)列． 又∵a1＝，a2＝， ∴an＝＋(n－1)·＝， ∵bn＝bn－1＋(n≥2，n∈N*) ∴bn＋1－an＋1＝bn＋－＝bn－＝ ＝(bn－an)． 又∵b1－a1＝b1－≠0，∴{bn－an}是b1－為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列． (2)證明：∵bn－an＝·，an＝. ∴bn＝·＋. 當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－. 又b1<0，∴bn－bn－1>0. ∴{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列． (3)∵當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)，Sn取最小值． ∴， 即，∴b1∈(－47，－11)． 11