2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第38講 導(dǎo)數(shù)、定積分教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第38講 導(dǎo)數(shù)、定積分教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 ① 通過對大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵； ②通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 （2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ① 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導(dǎo)數(shù)； ② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b））的導(dǎo)數(shù)； ③ 會使用導(dǎo)數(shù)公式表。

2、 （3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 ① 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； ② 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。 （4）生活中的優(yōu)化問題舉例 例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。 （5）定積分與微積分基本定理 ① 通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的

3、實(shí)際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念； ② 通過實(shí)例（如變速運(yùn)動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義。 （6）數(shù)學(xué)文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見本《標(biāo)準(zhǔn)》中"數(shù)學(xué)文化"的要求。 二．命題走向 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)

4、學(xué)知識結(jié)合起來，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì)xx年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會有大的變化： （1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題； （2）07年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。 定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問題中非常廣泛，因而07年的高考預(yù)測會在這方面考察，預(yù)測07年高考呈現(xiàn)以下幾個特點(diǎn)

5、： （1）新課標(biāo)第1年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運(yùn)算，屬于中低檔題； （2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動等實(shí)際問題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。 三．要點(diǎn)精講 1．導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。 如果當(dāng)時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f’（x）或y’|。

6、 即f（x）==。 說明： （1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。 （2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來歸納）： （1）求函數(shù)的增量=f（x+）－f（x）； （2）求平均變化率=； （3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f’(x)=。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x））　　處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x））處的切線的斜率是f’（x）

7、。相應(yīng)地，切線方程為y－y=f/（x）（x－x）。 3．常見函數(shù)的導(dǎo)出公式． ?。ǎ保–為常數(shù)）　　　　（２） ?。ǎ常　　　　　　。ǎ矗? 4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)， 即： ( 法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個 函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： 若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=（v0）。 形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。

8、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代。法則：y＇|= y＇| ·u＇| 5．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 （1）一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)； （2）曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正； （3）一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)?在(a，b)內(nèi)的極值； ②求函數(shù)?在區(qū)間端點(diǎn)的值?(a)、?(b)； ③將函數(shù)? 的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6．

9、定積分 （1）概念 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0

10、nx＋C；＝－cosx＋C（表中C均為常數(shù)）。 （2）定積分的性質(zhì) ①（k為常數(shù)）； ②； ③（其中a＜c＜b。 （3）定積分求曲邊梯形面積 由三條直線x＝a，x＝b（a

11、是瞬時速度。 解析：（1）指時間改變量； 　　　　指時間改變量。 　　　　。 其余各段時間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生回答完第一時間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時間內(nèi)的平均速度的變化情況。 （2）從（1）可見某段時間內(nèi)的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個定值，由極限定義可知，這個值就是時，的極限， V== =（6+=3g=29.4(米/秒)。 例2．求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)。 解析：， ， =-。 點(diǎn)評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。 題型2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例3．（1）求的導(dǎo)數(shù)； （2）求的

12、導(dǎo)數(shù)； （3）求的導(dǎo)數(shù)； （4）求y=的導(dǎo)數(shù)； （5）求y＝的導(dǎo)數(shù)。 解析：（1）, （2）先化簡, （3）先使用三角公式進(jìn)行化簡. （4）y’==； （5）y＝－x＋５－ y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。 點(diǎn)評：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進(jìn)行求導(dǎo)．有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量。 例4．寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （1）y

13、=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+)； （2）y=ln(lnx)。 點(diǎn)評：通過對y=（3x-2展開求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到=..給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。 題型3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例5．（1）（06安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ） A． B． C． D． （2）（06全國II）過點(diǎn)（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：（1）與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)

14、的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A； （2），設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為2，且，于是切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)（－1，0）在切線上，可解得＝0或－4，代入可驗(yàn)正D正確，選D。 點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)值對應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率。 例6．（1）（06湖北卷）半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于的式子： ；式可以用語言敘述為：

15、 。 （2）（06湖南卷）曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。 解析：（1）V球＝，又 故式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。”； （2）曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。 點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對于較復(fù)雜問題有很好的效果。 題型4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值 例7．（1）（06江西卷）對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－

16、1）30，則必有（ ） A．f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）￡2f（1） C．f（0）＋f（2）32f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1） （2）（06天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（　 ） A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個 （3）（06全國卷I）已知函數(shù)。（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。 解析：（1）依題意，當(dāng)x31時，f￠（x）30，函數(shù)f（x）在（

17、1，＋￥）上是增函數(shù)；當(dāng)x<1時，f￠（x）￡0，f（x）在（－￥，1）上是減函數(shù)，故f（x）當(dāng)x＝1時取得最小值，即有f（0）3f（1），f（2）3f（1），故選C； （2）函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有1個，選A。 （3）：(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= e－ax。 (ⅰ)當(dāng)a=2時, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增

18、函數(shù)； (ⅱ)當(dāng)00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).； (ⅲ)當(dāng)a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= ； 當(dāng)x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表: x (－∞, －) (－,) (,1) (1,+∞) f '(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－,)為減函數(shù)。 (Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)0f(0)=1； (ⅱ)當(dāng)a

19、>2時, 取x0= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)1且e－ax≥1， 得：f(x)= e－ax≥ >1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。 點(diǎn)評：注意求函數(shù)的單調(diào)性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對應(yīng)原函數(shù)增減。 例8．（1）（06浙江卷）在區(qū)間上的最大值是（ ） (A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 （2）（06山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調(diào)

20、區(qū)間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。 解析：（1），令可得x＝0或2（2舍去），當(dāng)－1￡x<0時，>0，當(dāng)0

21、際問題的能力。 題型5：導(dǎo)數(shù)綜合題 例9．（06廣東卷）設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，該平面上動點(diǎn)滿足,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn).求 (I)求點(diǎn)的坐標(biāo)； (II)求動點(diǎn)的軌跡方程. 解析： (Ⅰ)令解得； 當(dāng)時,， 當(dāng)時,，當(dāng)時，。 所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,。 所以, 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為。 （Ⅱ） 設(shè)，， ， ，所以。 又PQ的中點(diǎn)在上，所以，消去得。 點(diǎn)評：該題是導(dǎo)數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。 例10．（06湖南卷）已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ)；(ⅱ)。 證明: （I）．先用數(shù)學(xué)歸納法證明，ｎ＝1,2,3,…

22、 (i).當(dāng)n=1時,由已知顯然結(jié)論成立。 (ii).假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即。 因?yàn)?0成立。 于是．故。 點(diǎn)評：該題是數(shù)列知識和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。 題型6：導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用題 例11．（06江蘇卷）請您設(shè)計(jì)一個帳篷。

23、它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 解析：設(shè)OO1為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。 于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）： 。 帳篷的體積為（單位：m3）： 求導(dǎo)數(shù)，得； 令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。 當(dāng)1

24、篷的體積最大。 點(diǎn)評：結(jié)合空間幾何體的體積求最值，理解導(dǎo)數(shù)的工具作用。 例12．（06浙江卷）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項(xiàng)x＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）求證：當(dāng)n時， (Ⅰ)x （Ⅱ）。 證明：（I）因?yàn)樗郧€在處的切線斜率 因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是所以. （II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時單調(diào)遞增，而 ， 所以，即因此 又因?yàn)榱顒t 因?yàn)樗? 因此 故 點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 題型7

25、：定積分 例13．計(jì)算下列定積分的值 （1）；（2）；（3）；（4）； 解析：（1） （2）因?yàn)椋裕? （3） （4） 例14．（1）一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運(yùn)動到x＝a時，阻力所作的功。 （2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求Smax． 解析：（1）物體的速度。 媒質(zhì)阻力，其中k為比例常數(shù)，k>0。 當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=a時，， 又ds=vdt，故阻力所作的功為： （

26、2）依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0，x2=－b/a，所以(1) 又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)， 由方程組 得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0． 于是代入（1）式得： ，；　 令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點(diǎn)b=3，且當(dāng)0＜b＜3時，S'(b)＞0；當(dāng)b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且。 點(diǎn)評：應(yīng)用好定積分處理平面區(qū)域內(nèi)的面積。 五．思維總結(jié) 1．本講內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主 主要考查： （1）函數(shù)的極限； （2）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)及在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用； （3）計(jì)算曲邊圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。 2．考生應(yīng)立足基礎(chǔ)知識和基本方法的復(fù)習(xí)，以課本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標(biāo)。