2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第14講 直線(xiàn) 圓的位置關(guān)系教案 新人教版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第14講 直線(xiàn) 圓的位置關(guān)系教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.能用解方程組的方法求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo); 2.探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離; 3.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程,判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系; 4.能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題; 5.在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過(guò)程中,體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。 二.命題走向 本講考察重點(diǎn)是直線(xiàn)間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問(wèn)題、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)問(wèn)題),此類(lèi)問(wèn)題難度屬于中等,一般以選擇題的形式出現(xiàn),有時(shí)在解析幾何中也會(huì)出現(xiàn)大
2、題,多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識(shí)。 預(yù)測(cè)xx年對(duì)本講的考察是: (1)一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題,解答題多與其它知識(shí)聯(lián)合考察; (2)熱點(diǎn)問(wèn)題是直線(xiàn)的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,注重此種思想方法的考察也會(huì)是一個(gè)命題的方向; (3)本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力。 三.要點(diǎn)精講 1.直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的的平行與垂直 (1)若l1,l2均存在斜率且不重合: ①l1//l2 k1=k2;②l1l2 k1k2=-1。 (2)若 若A1、A2、B1、B2都不為零。 ①l1//l2; ②l1l2 A1A2+B1B2=0; ③l
3、1與l2相交; ④l1與l2重合; 注意:若A2或B2中含有字母,應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線(xiàn)的交點(diǎn):兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線(xiàn)的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)。 2. 距離 (1)兩點(diǎn)間距離:若,則 特別地:軸,則、軸,則。 (2)平行線(xiàn)間距離:若, 則:。注意點(diǎn):x,y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。 (3)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離:,則P到l的距離為: 3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種 (1)若,; (2); (3)。 還可以利用直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解,通過(guò)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷: (1)當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)(直線(xiàn)與圓有2個(gè)交點(diǎn)),直線(xiàn)與
4、圓相交;
(2)當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)(直線(xiàn)與圓只有1個(gè)交點(diǎn)),直線(xiàn)與圓相切;
(3)當(dāng)方程組沒(méi)有公共解時(shí)(直線(xiàn)與圓沒(méi)有交點(diǎn)),直線(xiàn)與圓相離;
即:將直線(xiàn)方程代入圓的方程得到一元二次方程,設(shè)它的判別式為Δ,圓心C到直線(xiàn)l的距離為d,則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系滿(mǎn)足以下關(guān)系:
相切d=rΔ=0;
相交d
5、 內(nèi)切 內(nèi)含 判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過(guò)聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來(lái)解決。 四.典例解析 題型1:直線(xiàn)間的位置關(guān)系 例1.(1)(xx北京11)若三點(diǎn) A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線(xiàn),則, 的值等于 。 (2)(xx上海文11)已知兩條直線(xiàn)若,則___ _。 解析:(1)答案:;(2)2。 點(diǎn)評(píng):(1)三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題借助斜率來(lái)解決,只需保證;(2)對(duì)直線(xiàn)平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。 例2.(1)(xx福建文,1)已知兩條直
6、線(xiàn)和互相垂直,則等于( ) A.2 B.1 C.0 D. (2)(xx安徽理,7)若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,則的方程為( ) A. B. C. D. 解析:(1)答案為D;(2)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為,即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4,而,所以在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為4,此點(diǎn)的切線(xiàn)為,故選A。 點(diǎn)評(píng):直線(xiàn)間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系,同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。 題型2:距離問(wèn)題 例3.(xx京皖春文,8)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是( ) A.x-y=0
7、B.x+y=0 C.|x|-y=0 D.|x|-|y|=0 解析:設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為(x,y) ∴|x|=|y| ∴|x|-|y|=0。答案:D 點(diǎn)評(píng):本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì),尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦,通過(guò)不等式解等知識(shí)探索解題途徑 例4.(xx全國(guó)文,21)已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(-1,0)、N(1,0)距離的比為,點(diǎn)N到直線(xiàn)PM的距離為1.求直線(xiàn)PN的方程。 解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)有, 即。 整理得 x2+y2-6x+1=0 ① 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1,|MN|=2, 所以∠PMN=30°,直線(xiàn)P
8、M的斜率為±, 直線(xiàn)PM的方程為y=±(x+1) ② 將②式代入①式整理得x2-4x+1=0。 解得x=2+,x=2-。 代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+,1+)或(2-,-1+);(2+,-1-)或(2-,1-)。 直線(xiàn)PN的方程為y=x-1或y=-x+1。 點(diǎn)評(píng):該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí),充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗,能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用,以及分類(lèi)討論的思想、方程的思想。該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高
9、,有較好的區(qū)分度。 題型3:直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 例5.(1)(xx安徽文,7)直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn),則的取值范圍是( ) A. B. C. D. (2)(xx江蘇理,2)圓的切線(xiàn)方程中有一個(gè)是( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0 解析:(1)解析:由圓的圓心到直線(xiàn)大于,且,選A。 點(diǎn)評(píng):該題考察了直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的判定。 (2)直線(xiàn)ax+by=0,則,由排除法, 選C,本題也可數(shù)形結(jié)合,畫(huà)出他們的圖象自然會(huì)選C,用圖象法解最省事。 點(diǎn)評(píng):本題主要考查圓的切線(xiàn)的求法,直線(xiàn)與圓相切的充要條件是圓心到直
10、線(xiàn)的距離等于半徑。直線(xiàn)與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件:圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑(2)代數(shù)條件:直線(xiàn)與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來(lái)解。 例6.(xx江西理,16)已知圓M:(x+cosq)2+(y-sinq)2=1,直線(xiàn)l:y=kx,下面四個(gè)命題: (A) 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q,直線(xiàn)l和圓M相切; (B) 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q,直線(xiàn)l和圓M有公共點(diǎn); (C) 對(duì)任意實(shí)數(shù)q,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線(xiàn)l與和圓M相切; (D)對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)q,使得直線(xiàn)l與和圓M相切。 其中真命題的代號(hào)是______________(寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)) 解析:圓心坐標(biāo)
11、為(-cosq,sinq) d= 故選(B)(D) 點(diǎn)評(píng):該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式,考察了分類(lèi)討論的思想。 題型4:直線(xiàn)與圓綜合問(wèn)題 例7.(xx全國(guó),9)直線(xiàn)x+y-2=0截圓x2+y2=4得的劣弧所對(duì)的圓心角為( ) A. B. C. D. 解析:如圖所示: 圖 由 消y得:x2-3x+2=0,∴x1=2,x2=1。 ∴A(2,0),B(1,) ∴|AB|==2 又|OB|=|OA|=2, ∴△AOB是等邊三角形,∴∠AOB=,故選C。 點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓相交的基本知識(shí),及正三角形的性質(zhì)以及邏
12、輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想,同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡(jiǎn)捷性。如果注意到直線(xiàn)AB的傾斜角為120°,則等腰△OAB的底角為60°.因此∠AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。 例8.(xx全國(guó)2,16)過(guò)點(diǎn)(1,)的直線(xiàn)l將圓(x-2)2+y2=4分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí),直線(xiàn)l的斜率k= 。 解析:過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)將圓分成兩段弧,當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí),直線(xiàn)的斜率 解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線(xiàn),所以。 點(diǎn)評(píng):本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線(xiàn)的斜率的關(guān)系,難度中等。
13、題型5:對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 例9.(89年高考題)一束光線(xiàn)l自A(-3,3)發(fā)出,射到x軸上,被x軸反射到⊙C:x2+y2-4x-4y+7=0上。 (Ⅰ) 求反射線(xiàn)通過(guò)圓心C時(shí),光線(xiàn)l的方程; (Ⅱ) 求在x軸上,反射點(diǎn)M的范圍. 解法一:已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (x-2)2+(y-2)2=1,它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圓的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線(xiàn)L所在的直線(xiàn)的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由題設(shè)知對(duì)稱(chēng)圓的圓心C′(2,-2)到這條直線(xiàn)的距離等于1,即d==1。整理得 12k2+25k+12=0,解得k= -或k= -。故所求直線(xiàn)方程是y-3=-(x+3),或y-3=
14、-(x+3),即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。 解法二:已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-2)2=1,設(shè)交線(xiàn)L所在的直線(xiàn)的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由題意知k≠0,于是L的反射點(diǎn)的坐標(biāo)是(-,0),因?yàn)楣饩€(xiàn)的入射角等于反射角,所以反射光線(xiàn)L′所在直線(xiàn)的方程為y= -k(x+),即y+kx+3(1+k)=0。這條直線(xiàn)應(yīng)與已知圓相切,故圓心到直線(xiàn)的距離為1,即d==1。以下同解法一。 點(diǎn)評(píng):圓復(fù)合直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,解題思路兼顧到直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題,重點(diǎn)關(guān)注對(duì)稱(chēng)圓的幾何要素,特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。 例10.已知函數(shù)f(x)=x2-1(x≥1)的圖像為C1
15、,曲線(xiàn)C2與C1關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)。 (1)求曲線(xiàn)C2的方程y=g(x); (2)設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镸,x1,x2∈M,且x1≠x2,求證|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|; (3)設(shè)A、B為曲線(xiàn)C2上任意不同兩點(diǎn),證明直線(xiàn)AB與直線(xiàn)y=x必相交。 解析:(1)曲線(xiàn)C1和C2關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),則g(x)為f(x)的反函數(shù)。 ∵y=x2-1,x2=y+1,又x≥1,∴x=,則曲線(xiàn)C2的方程為g(x)= (x≥0)。 (2)設(shè)x1,x2∈M,且x1≠x2,則x1-x2≠0。又x1≥0, x2≥0, ∴|g(x1)-g(x2)|=| -|=≤<|x1-x2|。
16、(3)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)為曲線(xiàn)C2上任意不同兩點(diǎn),x1,x2∈M,且x1≠x2, 由(2)知,|kAB|=||=<1 ∴直線(xiàn)AB的斜率|kAB|≠1,又直線(xiàn)y=x的斜率為1,∴直線(xiàn)AB與直線(xiàn)y=x必相交。 點(diǎn)評(píng):曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題應(yīng)從方程與曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手來(lái)處理,最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 題型6:軌跡問(wèn)題 例11.(xx山東理,22)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線(xiàn)相切,其中。 (I)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程; (II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線(xiàn)和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且為定值時(shí),證明直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 解析:(I)如圖,設(shè)為動(dòng)圓
17、圓心,為記為,過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,由題意知:即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離相等,由拋物線(xiàn)的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn),其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線(xiàn),所以軌跡方程為; (II)如圖,設(shè),由題意得(否則)且所以直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)其方程為,顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達(dá)定理知① (1)當(dāng)時(shí),即時(shí),所以,所以由①知:所以。因此直線(xiàn)的方程可表示為,即,所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。 (2)當(dāng)時(shí),由, 得==, 將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以, 此時(shí),直線(xiàn)的方程可表示為即,所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。 所以由(1)(2)知,當(dāng)時(shí),直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),當(dāng)時(shí)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。 點(diǎn)評(píng):該題是圓與圓錐曲線(xiàn)交匯題目,考察了軌跡問(wèn)題,屬于難
18、度較大的綜合題目。 例12.(xx江蘇,19)如圖,圓與圓的半徑都是1,. 過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線(xiàn)(分別為切點(diǎn)),使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 解析:以的中點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線(xiàn)為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,。 由已知,得。 因?yàn)閮蓤A半徑均為1,所以。 設(shè),則, 即(或)。 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力。 題型7:課標(biāo)創(chuàng)新題 例13.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足,求的最大值與最小值。 解析:表示過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和圓上的動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線(xiàn)的斜率。 如下圖,當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí),直線(xiàn)的斜率分別取得最大值和最小值。 設(shè)切線(xiàn)方程
19、為,即,則,解得。 因此, 點(diǎn)評(píng):直線(xiàn)知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),靈活運(yùn)用直線(xiàn)知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn),對(duì)啟迪思維大有裨益。下面舉例說(shuō)明其在最值問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用。 例14.設(shè)雙曲線(xiàn)的兩支分別為,正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線(xiàn)上。若在上,Q、R在上,求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)。 分析:正三角形PQR中,有, 則以為圓心,為半徑的圓與雙曲線(xiàn)交于R、Q兩點(diǎn)。 根據(jù)兩曲線(xiàn)方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)。 解析:設(shè)以P為圓心,為半徑的圓的方程為:, 由得:。 (其中,可令進(jìn)行換元解之) 設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則。 即, 同理可得:, 且因?yàn)椤鱌QR是正三角形,則,
20、 即,得。 代入方程,即。 由方程組,得:或, 所以,所求Q、R的坐標(biāo)分別為 點(diǎn)評(píng):圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線(xiàn),它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,若能作一個(gè)輔助圓,可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系,從而使問(wèn)題得解,起到鋪路搭橋的作用。 五.思維總結(jié) 1.關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題: (1)關(guān)于l :Ax +By +C =0對(duì)稱(chēng)問(wèn)題:不論點(diǎn),直線(xiàn)與曲線(xiàn)關(guān)于l 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,因?yàn)閷?duì)稱(chēng)是由平分與垂直兩部分組成,如求P(x0 ,y0)關(guān)于l :Ax +By +C =0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(x1 ,y1).有=-(1)與A·+B·+C =0。 (2)解出x1
21、 與y1 ;若求C1 :曲線(xiàn)f(x ,y)=0(包括直線(xiàn))關(guān)于l :Ax +By +C1 =0對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)C2 ,由上面的(1)、(2)中求出x0 =g1(x1 ,y1)與y0 =g2(x1 ,y1),然后代入C1 :f [g1(x1 ,y1),g2(x2 ,y2)]=0,就得到關(guān)于l 對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)C2 方程:f [g1(x ,y),g2(x ,y)]=0。 (3)若l :Ax +By +C =0中的x ,y 項(xiàng)系數(shù)|A|=1,|B |=1.就可以用直接代入解之,尤其是選擇填空題。如曲線(xiàn)C1 :y2 =4 x -2關(guān)于l :x -y -4=0對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)l2 的方程為:(x -4) 2 =4(y
22、+4)-2.即y 用x -4代,x 用y +4代,這樣就比較簡(jiǎn)單了。 (4)解有關(guān)入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)問(wèn)題就可以用對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決。 點(diǎn)與圓位置關(guān)系:P(x0 ,y0)和圓C :(x -a) 2 +(y -b) 2 =r2。 ①點(diǎn)P 在圓C 外有(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 >r2; ②點(diǎn)P 在圓上:(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 =r2; ③點(diǎn)P 在圓內(nèi):(x0 -a) 2 +(y0 -b) 2 <r2 。 3.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系:l :f1(x ,y)=0.圓C :f2(x ,y)=0消y 得F(x2)=0。 (1)直線(xiàn)與圓相交:F(x ,y)=0中D >0
23、;或圓心到直線(xiàn)距離d <r 。 直線(xiàn)與圓相交的相關(guān)問(wèn)題:①弦長(zhǎng)|AB|=·|x1 -x2|=·,或|AB|=2;②弦中點(diǎn)坐標(biāo)(,);③弦中點(diǎn)軌跡方程。 (2)直線(xiàn)與圓相切:F(x)=0中D =0,或d =r .其相關(guān)問(wèn)題是切線(xiàn)方程.如P(x0 ,y0)是圓x2 +y2 =r2 上的點(diǎn),過(guò)P 的切線(xiàn)方程為x0x +y0y =r2 ,其二是圓外點(diǎn)P(x0 ,y0)向圓到兩條切線(xiàn)的切線(xiàn)長(zhǎng)為或;其三是P(x0 ,y0)為圓x2 +y2 =r2 外一點(diǎn)引兩條切線(xiàn),有兩個(gè)切點(diǎn)A ,B ,過(guò)A ,B 的直線(xiàn)方程為x0x +y0y =r2 。 (3)直線(xiàn)與圓相離:F(x)=0中D <0;或d <r ;主
24、要是圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離d 的最大值與最小值,設(shè)Q 為圓C :(x -a) 2 +(y -b) 2 =r2 上任一點(diǎn),|PQ|max =|PC|+r ;|PQ|min =|PQ|-r ,是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值. 4.圓與圓的位置關(guān)系:依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1 ,r2 的和差關(guān)系判定. (1)設(shè)⊙O1 圓心O1 ,半徑r1 ,⊙O2 圓心O2 ,半徑r2 則: ①當(dāng)r1 +r2 =|O1O2|時(shí)⊙O1 與⊙O2 外切;②當(dāng)|r1 -r2|=|O1O2|時(shí),兩圓相切;③當(dāng)|r1 -r2|<|O1O2|<r1 +r2 時(shí)兩圓相交;④當(dāng)|r1 -r2|>|O1O2|時(shí)兩圓內(nèi)含;⑤當(dāng)r1 +r2 <|O1O2|時(shí)兩圓外離。 (2)設(shè)⊙O1 :x2 +y2 +D1x +E1y +F1 =0,⊙O2 :x2 +y2 +D2x +E2y +F2 =0。 ①兩圓相交A 、B 兩點(diǎn),其公共弦所在直線(xiàn)方程為(D1 -D2)x +(E1 -E2)y +F1 -F2 =0; ②經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2 +y2 +D1x +E1y +F1 +l(x2 +y2 +D2x +E2y +F2)=0(不包括⊙O2 方程)。
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