2022年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線中存在點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題知識點(diǎn)分析 新人教A版選修2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線中存在點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題知識點(diǎn)分析 新人教A版選修2 在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常出現(xiàn)這樣一類問題：一個(gè)圓錐曲線上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線L對稱，求方程中參數(shù)的范圍. 對于此類問題抓住兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線L對稱，對稱中體現(xiàn)的兩要點(diǎn)：垂直（斜率之積為－1或k1，k2中一個(gè)為0，一個(gè)不存在）和兩點(diǎn)連線中點(diǎn)C在對稱直線L上(也是L與LAB的交點(diǎn))， 分析一：（第一種通法）由于LAB與圓錐曲線交于兩點(diǎn)AB，所以LAB與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，得一元二次方程，△＞0求參數(shù)的范圍，步驟如下： 1．假設(shè)這樣的對稱點(diǎn)A、B存在，利用對稱中的垂直關(guān)系設(shè)出兩點(diǎn)A、B所在的直線方

2、程. 2．聯(lián)立AB所在直線方程與圓錐曲線方程，求出中點(diǎn)C的坐標(biāo). 3．把C的坐標(biāo)代入對稱直線，求出兩個(gè)參數(shù)之間的等式. 4．利用聯(lián)立后方程的△求出其中需求參數(shù)的范圍. 分析二：（第二種通法）由于中點(diǎn)C為相交弦AB的中點(diǎn)，所以可用點(diǎn)差法，求出參數(shù)與中點(diǎn)的關(guān)系，又中點(diǎn)C在對稱直線L上，故可用參數(shù)表示中點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式，求出參數(shù)的范圍第二種通法，不過首先說明以下兩個(gè)問題： x y o y o x x y o 弦中點(diǎn)位置問題 橢圓 雙曲線 拋物線 弦中點(diǎn)在內(nèi)部

3、 弦中點(diǎn)在Ⅰ（交點(diǎn)在同一支上） 弦中點(diǎn)在拋物線“內(nèi)部” 范圍問題 ： 或Ⅱ（交點(diǎn)不在同一支上） 拋物線：y2=2px 橢圓： ＋=1 雙曲線 ： － =1 M（x0，y0）為中點(diǎn)，則 M（x0，y0）為中點(diǎn)，則 M（x0，y0）為中點(diǎn)，則 y2<2px ＋<1 － >1（交點(diǎn)AB在同一支上） 分析： 或 －<0（交點(diǎn)AB在兩支上）

4、 步驟如下：1.設(shè)出兩點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）； 2.用“點(diǎn)差法”根據(jù)垂直關(guān)系求出x，y滿足的關(guān)系式； 3.聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)，即中點(diǎn)； 4.由中點(diǎn)位置及對應(yīng)范圍求出參數(shù)取值范圍. 例1：已知橢圓C：,試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x＋m，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對稱. 解法一：設(shè)存在兩點(diǎn)A（x1,y1）、B(x2,y2)關(guān)于l對稱，中點(diǎn)為C（x0,y0）， 則AB所在直線為y=－x＋b.與橢圓聯(lián)立得：x2－bx＋2b2－6=0， ∴ x0= = y0= = －×+b= ∵ C在y=4x＋m上,

5、 ∴= ×4＋m, b=.又∵ △=b2－4× (2b2－6)>0, 故 b2<,即(－)2<，解得：－

6、 =1,雙曲線存在關(guān)于直線l：y=k x＋4的對稱點(diǎn)，求k的取值范圍. 注：對于此類求斜率k范圍要考慮k=0和k≠0，因?yàn)橐玫剑?. 解法一：由題意k≠0:設(shè)存在兩點(diǎn)A（x1,y1）、B(x2,y2)關(guān)于l對稱，中點(diǎn)為C（x0,y0）， 則AB所在直線為y=－x＋b.代入x2－ =1得：(3k2－1)x2＋2kb x－(b2+3) k2=0， 顯然3k2－1≠0,即k2 ≠ x0= = y0= = －×+b= ∵ C在y=k x＋4上,∴= k ×＋4, ∴k2 b=3k2－1∴b= 又∵ △= 4k2 b2+4×(3k2－1) (b2+3) k2>0, ∴

7、k2 b2+3k2－1>0∴k2 b2+ k2 b>0∴ b2+ b>0∴b>0或b<－1 >0或<－1解得: k <－或k>或－或－1（交點(diǎn)AB在同一支上）或－<0 （交點(diǎn)AB在兩支上）

8、 ∴k2< 或k2>且 k≠0解得: k <－或k>或－或－

9、中因?yàn)榇嬖谶@樣的兩點(diǎn)， 點(diǎn)關(guān)系求出兩根之和、兩根之積 故方程x2－ x＋=0的△>0，當(dāng)然，不管是兩種通法還是針對拋物線的特殊法，都無非緊緊抓住兩 即 －4>0，a> .點(diǎn)關(guān)于直線對稱所產(chǎn)生的垂直及，構(gòu)造方程，利用△求出參數(shù)范圍. 中點(diǎn)問題，不過在有關(guān)范圍關(guān)系式的產(chǎn)生上有差別 x y o 弦中點(diǎn)位置問題點(diǎn)M為相交弦AB的中點(diǎn) 橢圓 弦中點(diǎn)在內(nèi)部范圍問題 ：橢圓： ＋=1M（x0，y0）為中點(diǎn)，則＋<1 y o x 雙曲線 弦中點(diǎn)在Ⅰ（交點(diǎn)在同一支上）或Ⅱ（交點(diǎn)不在同一支上）雙曲線 ： － =1 M（x0，y0）為中點(diǎn)，則 － >1（交點(diǎn)AB在同一支上）或 －<0 （交點(diǎn)AB在兩支上） x y o 拋物線 弦中點(diǎn)在拋物線“內(nèi)部” 拋物線：y2=2pxM（x0，y0）為中點(diǎn)，則 y2<2px