《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分專題三 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用專題強(qiáng)化精練提能 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分專題三 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用專題強(qiáng)化精練提能 理(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分專題三 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用專題強(qiáng)化精練提能 理
1.(xx·高考浙江卷)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則( )
A.a(chǎn)1d>0,dS4>0 B.a(chǎn)1d<0,dS4<0
C.a(chǎn)1d>0,dS4<0 D.a(chǎn)1d<0,dS4>0
解析:選B.因?yàn)閍3,a4,a8成等比數(shù)列,所以a=a3a8,所以(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展開整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-d2.因?yàn)閐≠0,所以a1d<0.因?yàn)镾n=na1+d,所以S4=4a1+6d,dS
2、4=4a1d+6d2=-d2<0.
2.(xx·濟(jì)寧市模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n項(xiàng)和為Sn,則S60=( )
A.-30 B.-60
C.90 D.120
解析:選D.由題意可得,當(dāng)n=4k-3(k∈N*)時(shí),an=a4k-3=1;當(dāng)n=4k-2(k∈N*)時(shí),an=a4k-2=6-8k;當(dāng)n=4k-1(k∈N*)時(shí),an=a4k-1=1;當(dāng)n=4k(k∈N*)時(shí),an=a4k=8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=8,所以S60=8×15=120.
3.對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1
3、-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為an=2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.2 B.2n
C.2n+1-2 D.2n-1-2
解析:選C.因?yàn)閍n+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,所以Sn==2n+1-2.
4.已知曲線C:y=(x>0)及兩點(diǎn)A1(x1,0)和A2(x2,0),其中x2>x1>0.過A1,A2分別作x軸的垂線,交曲線C于B1,B2兩點(diǎn),直線B1B2與x軸交于點(diǎn)A3(x3,0)
4、,那么( )
A.x1,,x2成等差數(shù)列
B.x1,,x2成等比數(shù)列
C.x1,x3,x2成等差數(shù)列
D.x1,x3,x2成等比數(shù)列
解析:選A.由題意,B1,B2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,
所以直線B1B2的方程為y=-(x-x1)+,
令y=0,得x=x1+x2,
所以x3=x1+x2,因此,x1,,x2成等差數(shù)列.
5.(xx·煙臺(tái)模擬)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且3Sn=anan+1,則= ( )
A. B.
C. D.
解析:選C.當(dāng)n=1時(shí),3S1=a1a2,3a1=a1a2,所以a2=3,
當(dāng)n≥2時(shí),由3Sn=anan+1,可得
5、3Sn-1=an-1an,
兩式相減得:3an=an(an+1-an-1),
又因?yàn)閍n≠0,所以an+1-an-1=3,
所以{a2n}是一個(gè)以3為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,
所以=a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=.
6.在等差數(shù)列{an}中,a2=5,a6=21,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若S2n+1-Sn≤對(duì)任意的n∈N*恒成立,則正整數(shù)m的最小值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:選C.在等差數(shù)列{an}中,因?yàn)閍2=5,a6=21,所以解得a1=1,d=4,所以==.因?yàn)椋?
=-
=--=--=+>0,所以數(shù)列(n∈N*)是遞減數(shù)列,
6、數(shù)列(n∈N*)的最大項(xiàng)為S3-S1=+=,所以≤,m≥.又m是正整數(shù),所以m的最小值是5.
7.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________.
解析:因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
所以Sn+1-Sn=SnSn+1.
因?yàn)镾n≠0,所以-=1,即-=-1.
又=-1,所以{}是首項(xiàng)為-1,公差為-1的等差數(shù)列.
所以=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以Sn=-.
答案:-
8.已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的n>1,n∈N*,Sn+1+Sn-1=2(
7、Sn+1)都成立,則S10=________.
解析:因?yàn)?
所以an+2+an=2an+1,
所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始為等差數(shù)列,當(dāng)n=2時(shí),S3+S1=2S2+2,所以a3=a2+2=4,所以S10=1+2+4+6+…+18=1+=91.
答案:91
9.(xx·南昌市調(diào)研測(cè)試卷)一牧羊人趕著一群羊通過6個(gè)關(guān)口,每過1個(gè)關(guān)口,守關(guān)人將帶走當(dāng)時(shí)羊的一半,然后退還1只給牧羊人,過完這些關(guān)口后,牧羊人只剩下2只羊,則牧羊人在過第1個(gè)關(guān)口前有________只羊.
解析:記此牧羊人通過第1個(gè)關(guān)口前、通過第2個(gè)關(guān)口前、…、通過第6個(gè)關(guān)口前,剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列{an}(n=1,2,3
8、,4,5,6),則由題意得a2=a1+1,a3=a2+1,…,a6=a5+1,而a6+1=2,解得a6=2,因此代入得a5=2,a4=2,…,a1=2.
答案:2
10.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列,bn=,若對(duì)任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
解析:依題意得bn=1+,對(duì)任意的n∈N*,都有bn≥b8,即數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第8項(xiàng),于是有≥.又?jǐn)?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,因此有即由此解得-8
9、各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=-logan,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a=9a2a6得a=9a,
所以q2=.
由條件可知q>0,故q=.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)因?yàn)閍n=,所以bn=-log=2n,
從而==,
所以Tn=
=
=.
12.(xx·高考天津卷)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5
10、成等差數(shù)列.
(1)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,
所以a2(q-1)=a3(q-1).
又因?yàn)閝≠1,所以a3=a2=2.由a3=a1·q,得q=2.
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),an=a2k-1=2k-1=2 ;
當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),an=a2k=2k=2.
所以,{an}的通項(xiàng)公式為an=
(2)由(1)得bn==,n∈N*.
設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則
Sn=1×+2×+3×+…+(n-1
11、)×+n×,
Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,
上述兩式相減,得
Sn=1+++…+-=-=2--,
整理,得Sn=4-,n∈N*.
所以,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為4-,n∈N*.
13.某市投資甲、乙兩個(gè)工廠,xx年兩工廠的年產(chǎn)量均為100萬噸,在今后的若干年內(nèi),甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸,乙工廠第n年比上一年增加2n-1萬噸.記xx年為第一年,甲、乙兩工廠第n年的年產(chǎn)量分別記為an,bn.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍,則將另一工廠兼并,問到哪一年底其中一個(gè)工廠將被另一工廠兼并?
解:
12、(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,a1=100,d=10,
所以an=10n+90.
因?yàn)閎n-bn-1=2n-1,bn-1-bn-2=2n-2,…,b2-b1=2,
所以bn=100+2+22+…+2n-1=2n+98.
(2)當(dāng)n≤5時(shí),an≥bn且an<2bn.
當(dāng)n≥6時(shí),an≤bn,所以甲工廠有可能被乙工廠兼并.
當(dāng)2an
13、否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)由題意,可得2an+1+Sn-2=0.①
當(dāng)n≥2時(shí),2an+Sn-1-2=0.②
①-②,得2an+1-2an+an=0,所以=(n≥2).
因?yàn)閍1=1,2a2+a1=2,所以a2=.
所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)由(1)知,Sn==2-.
若為等差數(shù)列,則S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差數(shù)列,則2=S1++S3+,即2=1+++,解得λ=2.
又λ=2時(shí),Sn+2n+=2n+2,
顯然{2n+2}成等差數(shù)列,故存在實(shí)數(shù)λ=2,
使得數(shù)列成等差數(shù)列.