2018版高考數學二輪復習 第3部分 考前增分策略 專題1 考前教材重溫 3 三角函數與平面向量教學案 理

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1、 3.三角函數與平面向量 ■要點重溫…………………………………………………………………………· 1.三角函數的定義: 在平面直角坐標系中,設α的終邊上任意一點P的坐標是(x,y),它與原點的距離是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 特別地,當r=1時,sin α=y,cos α=x,tan α=. [應用1] 已知角α的終邊經過點P(3,-4),則sin α+cos α的值為________. [答案]?。? 2.弧長公式:l=|α|R,扇形面積公式:S=lR=|α|R2,1弧度(1 rad)=≈57.3°. [應用2] 已知扇形的周長為8 cm

2、,圓心角為2 rad,求該扇形的面積. [解] 設扇形的半徑為r, 弧長為l,則有,解得 . 故扇形的面積為S=rl=4 cm2. 3.關于函數y=Asin(ωx+φ),( A,ω>0) ①五點法作圖; [應用3] 函數f(x)=sin x+2|sin x|, x∈(0,2π)的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點,則k的取值范圍是________. [答案] (1,3).(要作出y=f(x)的圖象,運用數形結合的思想求解. ) ② 周期T=.一般來說,周期函數加絕對值或平方,其周期減半.如y=sin2x, y=|cos x|,但y=|tan x|的周期是π,y=|sin x|

3、+|cos x|的周期是;函數y=sin(x2), y=sin|x|都不是周期函數. [應用4] 函數y=|sin x|cos x-1的最小正周期與最大值分別為________. 【導學號:07804168】 [解析] y= 作出其圖象(圖略)知原函數的最小正周期為2π,最大值為-. [答案] 2π;- ③ 單調性和對稱性: y=sin x的單調遞增區(qū)間為(k∈Z);單調遞減區(qū)間為(k∈Z); 對稱軸為x=kπ+(k∈Z);對稱中心為(kπ,0)(k∈Z). y=cos x的單調遞增區(qū)間為[2kπ-π, 2kπ](k∈Z);單調遞減區(qū)間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z);

4、 對稱軸為x=kπ(k∈Z);對稱中心為(kπ+,0)(k∈Z). y=tan x的單調遞增區(qū)間為(k∈Z);對稱中心為(k∈Z). [應用5] 函數f(x)=2sin,x∈[-π,0]的單調遞減區(qū)間為________. [解析] ∵x∈[-π,0],∴x-∈,令z=x-,則z∈, ∵正弦函數y=sin z在上單調遞增, ∴由-≤x-≤-得:-≤x≤0. ∴函數f(x)=2sin在x∈[-π,0]的單調遞增區(qū)間為. ∴函數f(x)=2sin在x∈[-π,0]的單調遞減區(qū)間為. [答案]  [應用6] 求函數y=sin4x+2sin xcos x-cos4x的最小正周期和最小值

5、;并寫出該函數在 [0,π]上的單調遞增區(qū)間. [解] ∵函數y=sin4x+2sin xcos x-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-). 故該函數的最小正周期是π. 當2x-=2kπ-時,即x=kπ-時,y有最小值. 由于函數y=2sin,∴ymin=-2, 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z. 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 令k=0時,- ≤x≤. 又∵0≤x≤π,∴0≤x≤, k=1時, π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π. 故該函數的最小正周期是π;最小值是-2

6、;單調遞增區(qū)間是,. ④ 變換: y=sin xy=siny=sin y=sin xy=sin(2x)y=sin 你知道上述兩種變換過程的區(qū)別嗎? [應用7] 要得到函數y=cos x的圖象,只需將函數y=sin的圖象上所有的點(  ) A.橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變),再向左平行移動個單位長度 B.橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),再向右平行移動個單位長度 C.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平行移動個單位長度 D.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向右平行移動個單位長度 [解析] 將函數y=sin(2x+)圖象上所有的點的橫坐標伸長到原

7、來的2倍(縱坐標不變),得函數y=sin(x+)的圖象;再向左平行移動個單位長度后便得y=sin(x++)=cos x的圖象.故選C. [答案] C [應用8] 將函數y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后,得到一個偶函數的圖象,則φ的一個可能取值為________. 【導學號:07804169】 A.   B. C.0 D.- [解析] y=sin(2x+φ)y=sin=sin, 由于所得函數為偶函數,則 f(0)=sin=±1, φ+=kπ+?φ=kπ+,k∈Z,取k=0得φ=,故選A. [答案] A ⑤用待定系數法求函數y=Asin(ωx+φ)解析式.

8、 由圖中的最大值或最小值確定A,再由周期確定ω,由圖象上“特殊點”的坐標來確定φ. 特別提醒:將點的坐標代入解析式時,要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點.“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次類推即可. [應用9] 已知函數y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的圖象如圖4所示,則φ=________. 圖4 [解析] 由圖象可得T=2=π=,解之得ω=.將代入y=sin,得sin=-1,則π+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z. 又∵φ∈[-π,π),∴φ=π. [答案] π. 4.三角恒等變換的切入點

9、 (1)角的變換:可利用和、差、倍、半角公式; (2)名的互換:誘導公式、正切化正余弦公式; (3)次的變換:利用升、降冪公式; (4)形的變換:統一函數形式. 值得注意的是: ①在三角恒等變換中,要特別注意角的各種變換.如:β=(α+β)-α,α=(α-β)+β, =-; [應用10] 已知sin(-α)=,則sin(π+2α)=________. [解] -.(提示:設-α=β) ②注意sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ三者間的關系. [應用11] 已知θ∈,sin θ-cos θ=,求的值. [解]?。剑剑?, 因為θ∈,sin

10、θ-cos θ=,所以sin θcos θ=,sin θ+cos θ=,所以原式=. ③在三角函數的求值問題中,要特別關注角的范圍,通常需要結合已知的三角函數值進一步縮小角的范圍,以確定所求值的符號,這是此類問題中的難點. [應用12] 設α為第四象限的角,若=,則tan2α=________. 【導學號:07804170】 [解析] ∵===cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=.又∵α為第四象限角,即2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z, ∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,k∈Z,即2α為第三、四象限角. ∴sin2α=-=-=-. ∴tan2α===-

11、. [答案] - ④注意二倍角公式的變形,如: sin2α=,cos2α=. 輔助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tanφ=. [應用13] 已知函數f(x)=sincos+cos2 . (1) 將f(x)寫成Asin(ωx+φ)+k的形式.并求其圖象對稱中心的橫坐標; (2) 如果△ABC的三邊,a,b,c成等比數列,且邊b所對的角為x,試求x的取值范圍及此時函數f(x)的值域. [解] (1)f(x)=sin+, 由sin=0,即x +=kπ(k∈Z). 得x=π,k∈Z. 即對稱中心的橫坐標為π,k∈Z. (2)由已知b2=ac,cos x

12、== =-≥, 又x=B∈(0,π), ∴0<x≤, ∴x+∈(,]. ∴sin<sin≤1. ∴

13、sin A+sin C的值. [解] (1)由cos Asin B+(c-sinA)cos(A+C)=0, 得cos Asin B-(c-sin A)cos B=0, 即sin(A+B)=ccos B,sin C=ccos B,=cos B, 因為=,所以=cos B, 即tan B=,B=. (2)由S=acsin B=,得ac=2, 由b=及余弦定理得()2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,所以a+c=3,所以sin A+sin C=(a+c)=. (4)解三角形時,可能會出現多解的情況,一定要注意檢驗.比如,在已知兩邊a,b及一邊的對

14、角A的情況下,如果A為銳角,那么可能出現以下情況(如圖5). 圖5 a<bsin A  a=bsin A  bsin A<a<b  a≥b 無解    一解      兩解   一解 [應用15] 在△ABC中,已知b=6,c=10,B=30°,則解此三角形的結果有(  ) 【導學號:07804171】 A.無解 B.一解 C.兩解 D.一解或兩解 [解析] 由正弦定理知sin C==,又由c>b>csin B知,C有兩解.也可依已知條件,畫出△ABC(圖略),由圖知有兩解.故選C. [答案] C 6.向量共線基本定理:a∥b?存在實數λ,使得b=λa(a≠0)?

15、x1y2-x2y1=0 [應用16] 若a=(2,-2),則與a平行的單位向量的坐標為________. [答案] , 7.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量,那么對于這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 特別地,=λ1+λ2,則λ1+λ2=1是三點P,A,B共線的充要條件. [應用17] 如圖6,在△ABC中,H為BC上異于B,C的任一點,M為AH的中點,若=λ+μ,則λ+μ=________. 圖6 [解析] 由B,H,C三點共線,可令=x+(1-x).又M是AH的中點,所以==x+(1-x).又=λ+μ

16、,所以λ+μ=x+(1-x)=. [答案]  8.夾角與數量積的關系 (1)當θ為銳角時,a·b>0,且a、b不同向,a·b>0是θ為銳角的必要不充分條件; (2)當θ為直角時,a·b=0,但由a·b=0,不能得到a⊥b,還可能a=0或b=0. (3)當θ為鈍角時,a·b<0,且a、b不反向,a·b<0是θ為鈍角的必要不充分條件. [應用18] 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是________. [解析] 由θ為銳角,得a·b>0,且a、b不同向. ∴0<≠1,∴,解得 ∴λ的取值范圍是{λ|λ>-且λ≠2}. [答

17、案] {λ|λ>-且λ≠2} 9.解決向量問題有兩條途徑: 數的角度:①利用平面向量基本定理,用兩個基向量表示所求向量; ②建系,利用坐標運算. 形的角度:利用向量運算的幾何意義. [應用19] 如圖7在△ABC中,∠BAC=120°,AB=1,AC=2,D為BC邊上一點,=2,則·=________. 圖7 [答案]  10.向量中常用的結論: (1)=λ+μ (λ,μ為實數),若λ+μ=1,則三點A、B、C共線; (2)在△ABC中,若D是BC邊的中點,則=(+); (3)已知O,N,P在△ABC所在平面內.若||=||=||,則O為△ABC的外心;若++=0,則N

18、為△ABC的重心;若·=·=·,則P為△ABC的垂心. [應用20] 已知O是邊長為1的正三角形ABC的中心,則(+)·(+)=________. 【導學號:07804172】 [解析] 取邊長為1的等邊△ABC的邊AB的中點為D,邊AC的中點為E, 則+=2,+=2, 而由等邊三角形的性質可得,OA=2OD,OD⊥AB, 所以∠AOD=, 同理可得∠AOE=, 再根據OD=OE=·=,可得(+)·(+)=2·2=4·=4××cos=-. [答案]?。? ■查缺補漏…………………………………………………………………………· 1.點A(sin 2 018°,cos 2

19、018°)位于(  ) A.第一象限  B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C [因為sin2 018°=sin(11×180°+38°)=-sin 38°<0,cos 2 018°=cos(11×180°+38°)=-cos 38°<0,所以點A(sin 2 018°,cos 2 018°)位于第三象限,選C.] 2.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為(  ) A. B. C. D. A [(a-b)⊥(3a+2b)?(a-b)·(3a+2b)=0?3a2-2b2-a·b=0?a·b=b2. ∴cos〈a,b〉===?〈a

20、,b〉=.選A. 3.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,則sin B為(  ) 【導學號:07804173】 A. B. C. D. A [因為bsin B-asin A=asin C,所以b2-a2=ac, ∵c=2a,∴a2+c2-b2=4a2-ac=3a2, ∴cos B===, 由于0

21、)=sin(2x+φ)向右平移個單位得到函數g(x)=sin=sin2x-+φ,此函數圖象關于y軸對稱,即函數g(x)為偶函數,則-+φ=+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.因為0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以f(x)的最小值為sin=-,故選D.] 5.在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,則cos C的最小值為(  ) A. B. C. D.- C [∵cos C==,又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2. ∴cos C≥. ∴cos C的最小值為.] 6.如圖8,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,∠

22、A=60°,點M在AB邊上,且AM=AB,則·等于(  ) 圖8 A.- B. C.-1 D.1 D [=+=+, 又=+, 所以·=(+)·(+) =2+2+· =1+-· =-||·||cos 60° =-×1×2×=1.] 7.函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖9所示,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(x)的單調遞增區(qū)間是(  ) 【導學號:07804174】 圖9 A.[6k-1,6k+2](k∈Z) B.[6k-4,6k-1](k∈Z) C.[3k-1,3k+2](k∈Z) D.[3k-4,3k-1](k∈

23、Z) B [∵|AB|=5,|yA-yB|=4,∴|xA-xB|=3,即=3,∴T==6,∴ω=. ∵f(x)=2sin過點(2,-2), 即2sin=-2,∴sin=-1, 又∵0≤φ≤π,∴+φ=,解得φ=, ∴f(x)=2sin,由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得6k-4≤x≤6k-1(k∈Z),故f(x)的單調遞增區(qū)間為[6k-4,6k-1](k∈Z).故選B.] 8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,O為△ABC的外心,D為BC邊上的中點,c=4,·=5,sin C+sin A-4sin B=0,則cos A=(  ) A. B. C. D.

24、 C [由題意O為△ABC的外心,D為BC邊上的中點, 可得:=(+),∵·=5,可得 ·(+)=(·)+(·)=5, ∴=,同理=,∴+=5, 即+=5;∵c=4,∴b=2, 又∵sin C+sin A-4sin B=0,∴4b-c=a,∴a=4, 由余弦定理可得:cos A==,故選C. ] 9.已知cos α=,sin(α+β)=,0<α<,0<β<,則cos β=________.  [∵0<α<且cos α=

25、 β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.] 10.當0<x<時,函數f(x)=的最小值為________. [解析] ∵f(x)==+4tan x≥4,當且僅當tan x=時取等號,所以最小值為4. [答案] 4 11.某同學用“五點法”畫函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)在某一個周期內的圖象時,列表并填入的部分數據如下表: x x1 x2 x3 ωx+φ 0 π 2π Asin(ωx+φ)+B 1 4 1 -2 1 (1)求函數f(x)的解析式; (2)若

26、<α<π,f=,求f的值. 【導學號:07804175】 [解] (1)由題意可得,即. 由題意可得,即 ∴函數f(x)的解析式為:f(x)=3sin+1 (2)由f=可得3sin+1=,化簡得sin=, ∵f=3sin+1 =3sin+1 =-3sin+1 =-6sin·cos+1. 又∵α∈,∴α+∈, ∴cos=-, f=-6sincos+1=-6××+1=. 12.(2017·青島模擬)已知向量,a=,b=,實數k為大于零的常數,函數f(x)=a·b,x∈R,且函數f(x)的最大值為. (1)求k的值; (2)在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C所

27、對的邊,若

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