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1、2022年高中數(shù)學《任意角的三角函數(shù) 誘導公式》教案 蘇教版必修4
一、課題:三角函數(shù)的誘導公式(1)
二、教學目標:1.理解正弦、余弦的誘導公式二、三的推導過程;
2.掌握公式二、三,并會正確運用公式進行有關計算、化簡;
3.了解、領會把為知問題化歸為已知問題的數(shù)學思想,提高分析問題、解決問題的能力。
三、教學重、難點:1.誘導公式二、三的推導、記憶及符號的判斷;
2.應用誘導公式二、三的推導。
四、教學過程:
(一)復習:
1.利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值;
2.誘導公式一及其用途:
.
問:由公式一把任意角轉(zhuǎn)化為內(nèi)的角后,如何進一步求出它
2、的三角函數(shù)值?
我們對范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值是熟悉的,那么若能把內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值,則問題將得到解決,這就是數(shù)學化歸思想。
(二)新課講解:
1.引入:對于任何一個內(nèi)的角,以下四種情況有且只有一種成立(其中為銳角):
所以,我們只需研究的同名三角函數(shù)的關系即研究了的關系了。
2.誘導公式二:
提問:(1)銳角的終邊與的終邊位置關系如何?
(2)寫出的終邊與的終邊與單位圓交點的坐標。
(3)任意角與呢?
通過圖演示,可以得到:任意與的終邊都是關于原點中心對稱的。
則有,由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可知:
,
3、 ;
, .
從而,我們得到誘導公式二: ;.
說明:①公式二中的指任意角;
②若是弧度制,即有,;
③公式特點:函數(shù)名不變,符號看象限;
④可以導出正切:.
(此公式要使等式兩邊同時有意義)
3.誘導公式三:
提問:(1)的終邊與的終邊位置關系如何?從而得出應先研究;
(2)任何角與的終邊位置關系如何?
對照誘導公式二的推導過程,由學生自己完成誘導公式三的推導,
即得:誘導公式三:;.
說明:①公式二中的指任意角;
②在角度制和弧度制下,公式都成立;
③公式特點:函數(shù)名不變,符號看象限(交代清楚在什么情況下“名不變”,以及符號確定的具體方
4、法);
④可以導出正切:.
4.例題分析:
例1 求下列三角函數(shù)值:(1); (2).
分析:先將不是范圍內(nèi)角的三角函數(shù),轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)的角的三角函
數(shù)(利用誘導公式一)或先將負角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導公式化到范圍內(nèi)角
的三角函數(shù)的值。
解:(1)(誘導公式一)
(誘導公式二)
.
(2)(誘導公式三)
(誘導公式一)
(誘導公式二)
.
方法小結(jié):用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),其一般步驟是:
①化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù);
②化為內(nèi)的三角函數(shù);
③化為銳角的三角函數(shù)。
可概括為:“負化正,大化小,化到銳角為終了”(有時也直接化到
5、銳角求值)。
例2 化簡.
解:原式
.
五、課堂練習:
六、小結(jié):1.簡述數(shù)學的化歸思想;
2.兩個誘導公式的推導和記憶;
3.公式二可以將范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù);
4.公式三可以將負角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)。
七、作業(yè):
1.2.3 三角函數(shù)的誘導公式(2)
一、課題:三角函數(shù)的誘導公式(2)
二、教學目標:1.引導學生利用公式一、二、三推導公式四、五;
2.在理解、記憶五組誘導公式的基礎上,正確運用公式求任意角的三角函數(shù)值及對三角函數(shù)式的化簡、證明;
3.加深理解化歸思想。
三、教學重、難點
6、:五組誘導公式的記憶、理解、運用。
四、教學過程:
(一)復習:
1.復習誘導公式一、二、三;
2.對“函數(shù)名不變,符號看象限”的理解。
(二)新課講解:
1.公式推導:
我們繼續(xù)推導公式:即的同名三角函數(shù)的關系。
(1)請學生自行仿上節(jié)課的推導方法得出它們的關系。
(2)啟發(fā)學生討論:能否根據(jù)誘導公式一、二、三推導出它們的關系。
[推導過程];
;
;
.
[結(jié)論]誘導公式四:;
.
誘導公式五:;
.
說明:①公式二中的指任意角;
②在角度制和弧度制下,公式都成立;
③公式特點:函數(shù)名不變,符號看象限;
④可以導出正切:;.
2.五組誘導公式
7、:
五組公式可概括如下:的三角函數(shù)值,等于的同名函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號。
說明:(1)要化的角的形式為(為常整數(shù));
(2)記憶方法:“函數(shù)名不變,符號看象限”;
(3)利用五組誘導公式就可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)。
其化簡方向仍為:“負化正,大化小,化到銳角為終了”。
3.例題分析:
例1 求下列三角函數(shù)值:(1);(2).
解:(1);
(2).
例2 化簡:
(1);
(2).
解:(1)原式.
(2)原式
.
五、課堂練習:
六、小結(jié):1.五組誘導公式的形式及記憶口訣“函數(shù)
8、名不變,符號看象限”;
2.求任意角的三角函數(shù)值的一般步驟;
3.熟練運用公式化簡、求值。
七、作業(yè):
1.2.3 三角函數(shù)的誘導公式(3)
一、課題:三角函數(shù)的誘導公式(3)
二、教學目標:1.牢固掌握五組誘導公式,熟練運用公式進行三角函數(shù)的求值、化簡及恒等證明;
2.能運用化歸思想解決與其它知識結(jié)合的綜合性問題;
3.滲透分類討論的數(shù)學思想,提高分析和解決問題的能力。
三、教學重、難點:1.熟練、準確地運用公式進行三角函數(shù)求值、化簡及證明;
2.帶字母的三角函數(shù)的化簡(分類討論類型)。
四、教學過程:
(一)復習:
9、1.復習五組誘導公式(包括正切);
2.分析記憶公式的口訣“函數(shù)名不變,符號看象限”;
3.求任意角的三角函數(shù)的一般步驟。
4.練習:
(1)化簡:課本32頁的練習第4題;
(2)求值:①. (答案)
②. (答案)
(3)證明:.
說明:結(jié)合“口訣”,加強運用公式的熟練性、準確性。
(二)新課講解:
例1 已知:,求的值。
解:∵,
∴原式.
說明:第二步到第三步應用了“弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一個不為零的,得到一個只含的教簡單的三角函數(shù)式。
變式訓練:已知:,求的值。
解答:,原式
.
說明:同樣應用上題的技巧,把看成是一個分母為
10、的三角函數(shù)式,注意結(jié)合“口訣”及的運用。
例2 已知,且是第四象限角,求的值。
解:
由已知得:, ∴原式.
說明:關鍵在于抓住是第四象限角,判斷的正負號,利用同角三角函數(shù)關系式得出結(jié)論。
變式訓練:將例2中的“是第四象限角”條件去掉,結(jié)果又怎樣?
解答:原式,
∵為負值,∴是第三、四象限角。
當是第三象限角時,.∴原式.
當是第四象限角時,即為上例。
說明:抓住已知條件判斷角所在象限,利用分類討論的思想,同上題類似做法,得出結(jié)論。
例3 化簡.
解:①當時,
原式.
②當時,
原式.
說明:關鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別,所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型,分別加以討論。
五、小結(jié):1.熟練運用公式化簡、求值、證明;
2.運用化歸思想和分類討論的思想分析解決問題。
六、作業(yè): 補充:1.化簡;
2.化簡且;