2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

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1、第3章 空間向量與立體幾何 空間向量及其運(yùn)算 【例1】　(1)在空間四邊形O-ABC中，其對角線為OB，AC，M是OA的中點(diǎn)，G為△ABC的重心，用基向量，，表示向量. (2)已知三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． ①求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積． ②若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標(biāo)． [解]　(1)如圖，連接AG并延長交BC于點(diǎn)D. ∴D為BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)． ∵G為△ABC的重心，∴＝＝(＋)， 又∵＝－，＝－， ∴＝(＋)＝(－2＋＋)． ∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，∴＝－. ∴＝－＝(－2＋＋)＋

2、＝－＋＋. (2)①由題意，可得＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， 所以cos〈，〉＝＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7. ②設(shè)a＝(x，y，z)，由題意，得， 解得或. 所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(－1，－1，－1)． (1)向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義. (2)熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式,設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， ① 加減運(yùn)算：a±b＝(x1±x2，y1±

3、y2，z1±z2). ② 數(shù)量積運(yùn)算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. ③ 向量夾角：cos〈a，b〉＝. ④ 向量長度：設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 則＝\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2). 提醒：在利用坐標(biāo)運(yùn)算公式時(shí)注意先對向量式子進(jìn)行化簡再運(yùn)算. 1．已知a＝(5,3,1)，b＝，若a與b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． [解]　由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－. 因?yàn)閍與b的夾角為鈍角， 所以a·b＜0，即3t－＜0，所以t＜. 若a與b的夾角為180°，則存在λ＜0，使a＝λb， 即(

4、5,3,1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的范圍是∪. 利用空間向量證明平行、垂直問題 【例2】　四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證： (1)PC∥平面EBD； (2)平面PBC⊥平面FCD. [證明]　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)DC＝a，PD＝b，則D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E. (1)＝，＝(a，a,0)． 設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，得n＝， 因?yàn)椤＝(a,0，

5、－b)·＝0， 所以⊥n，故PC∥平面EBD. (2)由題意得平面PDC的一個(gè)法向量為＝(0，a,0)， 又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)， 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則即 得y1＝0，令x1＝1，則z1＝， 所以m＝， 因?yàn)椤＝(0，a,0)·＝0， 所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD. (1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量. (2)證明線面平行的方法 ① 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. ② 能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線. ③ 利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平

6、面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量. (3)證明面面平行的方法 ① 轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理. ② 證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量. (4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直. (5)證明線面垂直的方法 ① 證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量. ② 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直. (6)證明面面垂直的方法 ① 轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. ②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直. 2．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D. (1)求證：A1C⊥平面AMN. (2

7、)當(dāng)AB＝2，AD＝2，A1A＝3時(shí)，問在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P使得C1P∥平面AMN，若存在，試確定P的位置． [解]　(1)因?yàn)镃B⊥平面AA1B1B， AM?平面AA1B1B，所以CB⊥AM， 又因?yàn)锳M⊥A1B，A1B∩CB＝B， 所以AM⊥平面A1BC， 所以A1C⊥AM， 同理可證A1C⊥AN，又AM∩AN＝A， 所以A1C⊥平面AMN. (2)以C為原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)锳B＝2，AD＝2，A1A＝3， 所以C(0,0,0)，A(2,2,0)，A1(2,2,3)，B(0,2,0)，

8、D(2,0,0)，C1(0,0,3)，因?yàn)镸，N分別在BB1，DD1上，所以設(shè)N(2,0，z)，M(0,2，y)， 則＝(－2,0，y)，＝(0，－2，z)， ＝(－2,0，－3)，＝(0，－2，－3)，因?yàn)锳M⊥A1B，AN⊥A1D， 所以解得 所以＝，＝， 由(1)知A1C⊥平面AMN. 設(shè)平面AMN的法向量n＝(x，y，z)， 則 取z＝3，得n＝(2,2,3)， 設(shè)線段AA1上存在一點(diǎn)P(2,2，t)，使得C1P∥平面AMN，則＝(2,2，t－3)， 因?yàn)镃1P∥平面AMN，所以·n＝4＋4＋3t－9＝0， 解得t＝.所以P， 所以線段AA1上存在一點(diǎn)P，使得C

9、1P∥平面AMN. 利用空間向量求角 【例3】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M為PC的中點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝. (1)求證：PQ⊥AB； (2)求二面角P-QB-M的余弦值． [解]　(1)在△PAD中，PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，所以PQ⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD. 又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB. (2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，Q為AD的中點(diǎn)， 所以四

10、邊形BCDQ為平行四邊形． 因?yàn)锳D⊥DC，所以AD⊥QB. 由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz如圖所示，則Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，C(－1，，0)，B(0，，0)，＝(0，，0)． 因?yàn)锳Q⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB， 即為平面PQB的一個(gè)法向量， 且＝(1,0,0)． 因?yàn)镸是棱PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以＝. 設(shè)平面MQB的法向量為m＝(x，y，z)， 則，即， 令z＝1，得x＝，y＝0，所以m＝(，0,1)， 所以cos〈，m〉＝＝. 由題意，知二面角P-QB-M為銳角

11、， 所以二面角P-QB-M的余弦值為. 用向量法求空間角的注意點(diǎn) (1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為0°<θ≤90°，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解． (2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ. (3)二面角：如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角． 3．(2019·全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABC

12、D-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)證明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值． [解]　(1)由長方體ABCD-A1B1C1D1可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，又因?yàn)锽E⊥EC1，EC1∩C1B1＝C1，EC1?平面EB1C1，C1B1?面EB1C1， ∴BE⊥平面EB1C1. (2)以CD，CB，CC1所在的直線為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AE＝A1E＝1，∵BE⊥面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB＝1，設(shè)E(1,1,1)，A(1

13、,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)， ∵BC⊥EB1， ∴EB1⊥面EBC，故可取平面EBC的法向量為m＝＝(－1,0,1)． 設(shè)平面ECC1的法向量為n＝(x，y，z)， 由 可得 令x＝1，則n＝(1，－1,0)， ∴cos〈m，n〉＝＝－， 故二面角B-EC-C1的正弦值為. 數(shù)學(xué)思想在向量中的應(yīng)用 【例4】　如圖所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)． (1)證明：直線MN∥平面OCD； (2)求異面直線AB與MD所成角的大小． [解]　作AP⊥C

14、D于點(diǎn)P，分別以AB，AP，AO所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)， P，D， O(0,0,2)，M(0,0,1)， N. (1)證明：＝， ＝，＝. 設(shè)平面OCD的法向量為n＝(x，y，z)， 由n·＝0，n·＝0，得 令z＝，得n＝(0,4，)． ∵·n＝×0＋×4＋(－1)×＝0， ∴⊥n. 又MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD. (2)設(shè)異面直線AB與MD所成的角為θ. ∵＝(1,0,0)，＝， ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∴與所成的角為. 故異面直線AB與MD所成的角θ＝π－＝.

15、 空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法——向量法和坐標(biāo)法.這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，最后把運(yùn)算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論.這樣就把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想. 4．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，AB⊥BC，如圖所示，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD. (1)求證：CD⊥AB. (2)若點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面ACD的距離． (3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成的角為60°？若存在，求出

16、的值；若不存在，請說明理由． [解]　(1)證明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，AB⊥BC，所以AD＝AB＝，BD＝＝2，∠DBC＝∠ADB＝45°， CD＝＝2， 所以BD2＋CD2＝BC2，所以CD⊥BD. 因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，所以CD⊥AB. (2)由(1)知CD⊥BD.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DB所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，過點(diǎn)D作垂直于平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖所示，由已知得A(1，0,1)，B(2,0,0)，C(0

17、,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以＝(0，－2,0)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)． 設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則·n＝0，·n＝0，即 令x＝1，得z＝－1，y＝0，則平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(1,0，－1)，所以點(diǎn)M到平面ACD的距離為d＝＝＝. (3)假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成的角為60°.設(shè)＝λ(0<λ<1)，N(a，b,0)，則(a－2，b,0)＝λ(－2,2,0)， 所以N(2－2λ，2λ，0)，＝(1－2λ，2λ，－1)． 又平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(1,0，－1)，且直線AN與平面ACD所成的角為60°，所以sin 60°＝， 即＝，可得8λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝或λ＝－(舍去)． 綜上所述，在線段BC上存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成的角為60°，此時(shí)＝. - 10 -