2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 [解析]　當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. [答案]　D 2．(xx·岳陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋

2、)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7　　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 [解析]　1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應(yīng)取8. [答案]　B 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. [解析]　n＝k＋1時(shí)，左端為(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1

3、)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，∴應(yīng)乘2(2k＋1)． [答案]　B 4．對(duì)于不等式

4、可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為(　　) A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1 [解析]　1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個(gè)區(qū)域． [答案]　C 6．(xx·南寧模擬)已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為(　　) A．18 B．36 C．48 D．54 [解析]　由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝

5、360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當(dāng)n＝1時(shí)，可知猜想成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值為36. [答案]　B 二、填空題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時(shí)，第一步驗(yàn)證為_(kāi)_______． [解析]　由n∈N＋可知初始值為1. [答案]　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝4≥右邊，不等式成立 8．(xx·徐州模擬)用

6、數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝k(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真． [解析]　n為正奇數(shù)，假設(shè)n＝k成立后，需證明的應(yīng)為n＝k＋2時(shí)成立． [答案]　k＋2 9．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是__________． [解析]　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2； ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. [答案]　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2

7、＋(2k＋2)2 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明…> (k>1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)乘上______________________，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是__________． [解析]　因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是，最后一個(gè)是，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1項(xiàng)． [答案]　… 2k－1 三、解答題 11．(xx·綿陽(yáng)一模)已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論． [解析]　由x1＝及xn＋1＝， 得x2＝，x4＝，x6＝， 由x2＞x4＞x6猜想：數(shù)列{x2n}是

8、遞減數(shù)列． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，已證命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－ ＝ ＝＞0， 即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2. 也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 結(jié)合(1)和(2)知命題成立． 12．(xx·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2(n＝1,2,3，…)． (1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明)． (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明． (1)解：a2＝

9、a－2a1＋2＝5，a3＝a－2×2a2＋2＝7，a4＝a－2×3a3＋2＝9， 猜想an＝2n＋1(n∈N＋)． (2)證明：Sn＝＝n2＋2n(n∈N＋)， 使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n＝6. 下證：當(dāng)n≥6(n∈N＋)時(shí)都有2n>n2＋2n. ①當(dāng)n＝6時(shí)，26＝64,62＋2×6＝48,64>48，命題成立． ②假設(shè)n＝k(k≥6，k∈N＋)時(shí)，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k) ＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時(shí)，不等式成立； 由①②可得，對(duì)于所有的n≥6(n∈N＋) 都有2n>n2＋2n成立．