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1、2022年高中數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程教案 蘇教版必修1
教學(xué)目標(biāo):
使學(xué)生掌握二次函數(shù)與二次方程這二者之間的相互聯(lián)系,能運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
教學(xué)重點:
利用函數(shù)的圖象研究二次方程的根的分布問題.
教學(xué)難點:
利用函數(shù)的圖象研究二次方程的根的分布問題.
教學(xué)過程:
Ⅰ.復(fù)習(xí)引入
初中二次函數(shù)的圖象及有關(guān)的問題
Ⅱ.講授新課
問題:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)之間有怎樣的關(guān)系?
我的思路:(1)當(dāng)△=b2-4ac>0時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有兩個交點(x1,0)、(x2,0),(
2、不妨設(shè)x1<x2)對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有兩個不等實根x1、x2;
?。?)當(dāng)△=b2-4ac=0時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有且只有一個交點(x0,0),對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有兩個相等實根x0;
(3)當(dāng)△=b2-4ac<0時,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與x軸沒有公共點,對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)沒有實根.
?。劾?]已知集合A={x|x2-5x+4≤0}與B={x|x2-2ax+a+2≤0,aR},若A∪B=A,求a的取值范圍.
解析:本例主要考查學(xué)生對于二次方程
3、的根的分布解決能力和靈活轉(zhuǎn)化意識.
∵A=[1,4],A∪B=A,∴BA.
若B=,即x2-2ax+a+2>0恒成立,則△=4a2-4(a+2)<0,
∴-1<a<2;
若B≠,解法一:△=4a2-4(a+2)≥0, ∴a≥2或a≤-1.
∵方程x2-2ax+a+2=0的兩根為x1,2=a±.
則B={x|a-≤x≤a+},由題意知
解之得2≤a≤,綜合可知a(-1,].
解法二:f(x)=x2-2ax+a+2,
如圖知
解之得2≤a≤,綜上可知a(-1,].
?。劾?]已知x的不等式>ax的解區(qū)間是(0,2),
4、求a的值.
解析:本題主要考查含參數(shù)無理不等式的解法,運用逆向思維解決問題.
解法一:在同一坐標(biāo)系中,分別畫出兩個函數(shù)y1=和y2=ax的圖象.
如下圖所示,欲使解區(qū)間恰為(0,2),則直線y=ax必過點(2,2),則a=1.
解法二:∵0<x<2,當(dāng)a≥0時,則4x-x2>a2x2.
∴0<x<,則=2,∴a=1.
當(dāng)a<0時,原不等式的解為(0,4),與題意不符,
∴a<0舍去.
綜上知a=1.
?。劾?]已知函數(shù)f(x)=x2+2bx十c(c<b<1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有實根,
?。?)證明:-3<c≤-1且b≥0;
?。?
5、)若m是方程f(x)+1=0的一個實根,判斷f(m-4)的正負(fù),并說明理由.
解析:(1)由f(1)=0,則有b=-,
又因為c<b<1,消去b解之得-3<c<-; ?、?
又方程f(x)+1=0有實根,即x2+2bx+c+1=0有實根,
故△=4b2-4(c+1)≥0,消去b解之得c≥3或c≤-1; ?、?
由①②可知,-3<c≤-1且b≥0.
?。?)f(x)=x2+2bx+c=(x-c)(x-1),f(m)=-1<0,∴c<m<1,
從而c-4<m-4<-3<c,
∴f(m-4)=(m-4-c)(m-
6、4-1)>0,即f(m-4)的符號為正.
Ⅲ.課后作業(yè)
1.關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是(-∞,-)∪(,+∞),求ab的值
解析:方程ax2+bx+2=0的兩根為-、,
則 ∴ ∴ab=24.
2.方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1,求實數(shù)a的取值范圍.
解析:方法一:利用韋達(dá)定理,設(shè)方程x2-2ax+4=0的兩根為x1、x2,
則解之得2≤a<.
方法二:利用二次函數(shù)圖象的特征,設(shè)f(x)=x2-2ax+4,
則解之得2≤a<.
3.已知不等式ax2-5x+b>0的解集為{x|-3<x<-2},求不等式6x2-5x+a>0的解集.
解析:由題意,方程ax2-5x+b=0的兩根為-3、-2,由韋達(dá)定理得
則所求不等式為6x2-5x-1>0,解之得x<-或x>1.
4.關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解的集合為{-2},求實數(shù)k的取值范圍.
解析:不等式組可化為,
∵x=-2,(如下圖)
∴(2x+5)(x+k)<0必為-<x<-k,-2<-k≤3,得-3≤k<2.