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1、九年級數(shù)學教案示例 北師大版(I)
課時安排
1課時
從容說課
本節(jié)在前兩節(jié)的基礎上進一步學習用銳角三角函數(shù)解決實際問題,經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的過程,提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.因此本節(jié)選取了現(xiàn)實生活中的幾個題材:船右觸礁的危險嗎,小明測塔的高度,改變商場樓梯的安全性能等,使學生真正體會到三角函數(shù)在解決實際問題中必不可少的重要地位.提高了學生學習數(shù)學的興趣.
因此,本節(jié)的重點是讓學生親歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用,能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,能夠借助計算器進行三角函數(shù)的計算,并能進一步對結(jié)果的意義進行
2、說明,發(fā)展數(shù)學的應用意識和解決問題的能力.教學時,教師可讓學生在審清題意的基礎上,自己畫出示意圖,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,這是本節(jié)課的重點也是難點.同時,讓學生對“三角學”的發(fā)展史有所了解.
第六課時
課 題
§1.4 船有觸礁的危險嗎
教學目標
(一)教學知識點
1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應用.
2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,能夠借助于計算器進行有關三角函數(shù)的計算,并能對結(jié)果的意義進行說明.
(二)能力訓練要求
發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和解決問題的能力.
(三)情
3、感與價值觀要求
1.在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中,畫出示意圖,培養(yǎng)獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣.
2.選擇生活中學生感興趣的題材,使學生能積極參與數(shù)學活動,提高學習數(shù)學、學好數(shù)學的欲望.
教具重點
1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.
2.發(fā)展學生數(shù)學應用意識和解決問題的能力.
教學難點
根據(jù)題意,了解有關術語,準確地畫出示意圖.
教學方法
探索——發(fā)現(xiàn)法
教具準備
多媒體演示
教學過程
Ⅰ.創(chuàng)設問題情境,引入新課
[師]直角三角形就像一個萬
4、花筒,為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關系后,接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關系,它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題,都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用,例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.
下面我們就來看一個問題(多媒體演示).
海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行,開始在A島南偏西55°的B處,往東行駛20海里后,到達該島的南偏西25°的C處,之后,貨輪繼續(xù)往東航行,你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.
下面就請同學們用銳角三角函數(shù)知
5、識解決此問題.(板書:船有觸礁的危險嗎)
Ⅱ.講授新課
[師]我們注意到題中有很多方位,在平面圖形中,方位是如何規(guī)定的?
[生]應該是“上北下南,左西右東”.
[師]請同學們根據(jù)題意在練習本上畫出示意圖,然后說明你是怎樣畫出來的.
[生]首先我們可將小島A確定,貨輪B在小島A的南偏西55°的B處,C在B的正東方,且在A南偏東25°處.示意圖如下.
[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛,有沒有觸礁的危險,由誰來決定?
[生]根據(jù)題意,小島四周10海里內(nèi)有暗礁,那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里,則無觸礁的危險,如果
6、小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC,D為垂足,即AD的長度.我們需根據(jù)題意,計算出AD的長度,然后與10海里比較.
[師]這位同學分析得很好,能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意,有哪些已知條件呢?
[生]已知BC°=20海里,∠BAD=55°,∠CAD=25°.
[師]在示意圖中,有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢?
[生]在Rt△ACD中,只知道∠CAD=25°,不能求AD.
[生]在Rt△ABD中,知道∠BAD=55°,雖然知
7、道BC=20海里,但它不是Rt△ABD的邊,也不能求出AD.
[師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來,站在一個更高的角度考慮?
[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系,AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差,即BC=BD-CD.BD、CD的對角是已知的,BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.
[師]有何聯(lián)系呢?
[生]在Rt△ABD中,tan55°=,BD=ADtan55°;在Rt△ACD中,tan25°=,CD=ADtan25°.
[生]利用BC=BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程,即ADtan55°-ADtan25°=
8、20.
[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實,在解決數(shù)學問題時,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我們初中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想之一.
下面我們一起完整地將這個題做完.
[師生共析]解:過A作BC的垂線,交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD,從而BD=AD
tan55°,CD=ADtan25°,由BD-CD=BC,又BC=20海里.得
ADtan55°-ADtan25°=20.
AD(tan55°-tan25°)=20,
AD=≈20.79(海里).
這樣AD≈20.79海里>10海里,所以貨輪
9、沒有觸礁的危險.
[師]接下來,我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的,并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.
多媒體演示
想一想你會更聰明:
如圖,小明想測量塔
CD的高度.他在A處
仰望塔頂,測得仰角
為30°,再往塔的方
向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計,結(jié)果精確到1 m)
[師]我想請一位同學告訴我什么是仰角?在這個圖中,30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?
[生]當從低處觀測高處的目標時,視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC
10、,60°的仰角指∠DBC.
[師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路,然后回答.
(教師留給學生充分的思考時間,感覺有困難的學生可給以指導)
[生]首先,我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊,在Rt△ADC中,tan30°=,
即AC=在Rt△BDC中,tan60°=,
即BC=,又∵AB=AC-BC=50 m,得
-=50.
解得CD≈43(m),
即塔CD的高度約為43 m.
[生]我有一個問題,小明在測角時,小明本身有一個高度,因此在測量CD的高度時應考慮小明的身高.
11、
[師]這位同學能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑,很值得贊賞.在實際測量時.的確應該考慮小明的身高,更準確一點應考慮小明在測量時,眼睛離地面的距離.
如果設小明測量時,眼睛離地面的距離為1.6 m,其他數(shù)據(jù)不變,此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?
[生]示意圖如
右圖所示,由前面的
解答過程可知CC′≈
43 m,則CD=43+
1.6=44.6 m.即考慮小明的高度,塔的高度為44.6 m.
[師]同學們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題,想請同學們幫忙解決一下.
多媒體演示:
某商場準備改善原來
樓梯的安全性能,把
12、
傾角由40°減至35°,
已知原樓梯長為4 m,
調(diào)整后的樓梯會加長多少?樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m)
請同學們根據(jù)題意,畫出示意圖,將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題,(先獨立完成,然后相互交流,討論各自的想法)
[生]在這個問題
中,要注意調(diào)整前后
的梯樓的高度是一個
不變量.根據(jù)題意可
畫㈩示意圖(如右
圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長,BC是原樓梯的占地長度;AD是調(diào)整后的樓梯的長度,DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角,∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題即為:
如圖,AB⊥DB,
13、∠ACB=40°,∠ADB=35°,AC=4m.求AD-AC及DC的長度.
[師]這位同學把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它,開始吧!
[生]解:由條件可知,在Rt△ABC中,sin40°=,即AB=4sin40°m,原樓梯占地
長BC=4cos40°m.
調(diào)整后,在Rt△ADB中,sin35°=,則AD=m.樓梯占地長
DB=m.
∴調(diào)整后樓梯加長AD-AC=-4≈0.48(m),樓梯比原來多占DC=DB-BC= -4cos40°≈0.61(m).
14、
Ⅲ.隨堂練習
1.如圖,一燈柱AB被
一鋼纜CD固定,CD與地面
成40°夾角,且DB=5 m,
現(xiàn)再在C點上方2m處加固
另一條鋼纜ED,那么鋼纜
ED的長度為多少?
解:在Rt△CBD中,∠CDB=40°,DB=5 m,sin40°= ,BC=DBsin40°=5sin40°(m).
在Rt△EDB中,DB=5 m,
BE=BC+EC=2+5sin40°(m).
根據(jù)勾股定理,得DE=≈7.96(m).
所以鋼纜ED的長度為7.96 m.
2.如圖,水庫大壩的
截面是梯形ABCD,壩頂AD
=
15、6 m,坡長CD=8 m.坡底
BC=30 m,∠ADC=135°.
(1)求∠ABC的大?。?
(2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3)
解:過A、D分別作AE⊥BC,DF⊥BC,E、F為垂足.
(1)在梯形ABCD中.∠ADC=135°,
∴∠FDC=45°,EF=AD=6 m.在Rt△FDC中,DC=8 m.DF=FC=CD.sin45°=4 (m).
∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).
在Rt△AEB中,AE=DF=4 (m).
tanAB
16、C=≈0.308.
∴∠ABC≈17°8′21″.
(2)梯形ABCD的面積S=(AD+BC)×AE
= (6+30)×4 =72 (m2).
壩長為100 m,那么建筑這個大壩共需土石料100×72 ≈10182.34(m3).
綜上所述,∠ABC=17°8′21″,建筑大壩共需10182.34 m3土石料.
Ⅳ.課時小結(jié)
本節(jié)課我們運用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關的實際問題,提高了我們分析和
解決實際問題的能力.
其實,我們這一章所學的內(nèi)容屬于“三角學”的范疇.請同學們閱讀“讀一讀”,了解“三角學”的發(fā)展,相信
17、你會對“三角學”更感興趣.
Ⅴ.課后作業(yè)
習題1.6第1、2、3題.
Ⅵ.活動與探究
(xx年貴州貴
陽)如圖,某貨船以
20海里/時的速度
將一批重要物資由A
處運往正西方向的B
處,經(jīng)16小時的航行到達,到達后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知,一臺風中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動,距臺風中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響.
(1)問:B處是否會受到臺風的影響?請說明理由.
(2)為避免受到臺風的影響,該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù):≈1.4,
≈1.7)
18、[過程]這是一道需借助三角知識解決的應用問題,需抓住問題的本質(zhì)特征.在轉(zhuǎn)化、抽象成數(shù)學問題上下功夫.
[結(jié)果](1)過點B作BD⊥AC.垂足為D.
依題意,得∠BAC=30°,在Rt△ABD中,BD= AB=×20×16=160<200,
∴B處會受到臺風影響.
(2)以點B為圓心,200海里為半徑畫圓交AC于E、F,由勾股定理可求得DE=120.
AD=160.
AE=AD-DE=160 -120,
∴=3.8(小時).
因此,陔船應在3.8小時內(nèi)卸完貨物.
板書設計
§1.4 船有觸礁的危險嗎
一、船布觸礁的危險嗎
1.根據(jù)題意,畫出示意圖.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.
2.用三角函數(shù)和方程的思想解決關于直角三角形的問題.
3.解釋最后的結(jié)果.
二、測量塔高
三、改造樓梯