2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課時(shí)作業(yè) 1.在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中,若a3=1,a2a4=,則a1=(  ) A.-1         B.0 C. D. 解析:由題知,a2+a4=2a3=2,又∵a2a4=,數(shù)列{an}單調(diào)遞增,∴a2=,a4=.∴公差d==.∴a1=a2-d=0. 答案:B 2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,則a1=(  ) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵S8-S4=36,a6=2a4, ∴解得故選A. 答案:A 3

2、.等差數(shù)列{an}中,a1=1,an=100(n≥3).若{an}的公差為某一自然數(shù),則n的所有可能取值為(  ) A.3,7,9,15,100 B.4,10,12,34,100 C.5,11,16,30,100 D.4,10,13,43,100 解析:由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得,公差d==.又因?yàn)閐∈N,n≥3,所以n-1可能為3,9,11,33,99,n的所有可能取值為4,10,12,34,100,故選B. 答案:B 4.(2018·武漢市模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且a2=3a4-6,則S9=(  ) A.25 B.27 C.50 D.54 解析

3、:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)閍2=3a4-6,所以a1+d=3(a1+3d)-6,所以a5=a1+4d=3,故S9=9a5=27. 答案:B 5.(2018·昆明市檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,=a2,則a8=(  ) A.12 B.13 C.14 D.15 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得=1+d,解得d=2,d=-1(舍去),所以a8=1+7×2=15,故選D. 答案:D 6.已知等差數(shù)列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-a=0,S2n-1=38,則n等于__________. 解

4、析:∵{an}是等差數(shù)列,∴2an=an-1+an+1,又∵an-1+an+1-a=0,∴2an-a=0,即an(2-an)=0.∵an≠0,∴an=2.∴S2n-1=(2n-1)an=2(2n-1)=38,解得n=10. 答案:10 7.(2018·長(zhǎng)春模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部數(shù)學(xué)專著,下有源自其中的一個(gè)問題:“今有金菙(chuí),長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤.問金菙重幾何?”其意思為:“今有金杖(粗細(xì)均勻變化)長(zhǎng)5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤.問金杖重多少?”答案是________. 解析:由題意可知等差數(shù)列中a1=4,a5=2, 則S5==

5、=15, ∴金杖重15斤. 答案:15斤 8.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S5=5a4-10,則數(shù)列{an}的公差為________. 解析:由S5=5a4-10,得5a3=5a4-10,則公差d=2. 答案:2 9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=(n∈N*,n≥2),數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn=(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解析:(1)證明:∵bn=,且an=, ∴bn+1===, ∴bn+1-bn=-=2. 又∵b1==1,∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知

6、數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1+(n-1)×2=2n-1,又bn=,∴an==.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=. 10.等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3. 解得a1=1,d=. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)由(1)知,bn=[]. 當(dāng)n=1,2,3時(shí),1≤<2,bn=1; 當(dāng)n=4,5時(shí),2≤<3,bn=2;

7、當(dāng)n=6,7,8時(shí),3≤<4,bn=3; 當(dāng)n=9,10時(shí),4≤<5,bn=4. 所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24. B組——能力提升練 1.(2018·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b2=12,則a8=(  ) A.0 B.-109 C.-181 D.121 解析:設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,則d=b3-b2=-14,因?yàn)閍n+1-an=bn,所以a8-a1=b1+b2+…+b7==[(b2-d)+(b2+5d)]=-112,又a1=3,則a8=-109.

8、 答案:B 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,其中m∈N*且m≥2.則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值為(  ) A. B. C. D. 解析:因?yàn)镾m-1=13,Sm=0,Sm+1=-15, 所以am=Sm-Sm-1=0-13=-13,am+1=Sm+1-Sm=-15-0=-15, 因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列, 所以公差d=am+1-am=-15-(-13)=-2, 所以 解得a1=13. 所以an=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n, 當(dāng)an≥0時(shí),n≤7.5,當(dāng)an+1 ≤0時(shí),n≥6.5, 所以數(shù)列

9、{}的前6項(xiàng)為正數(shù),所以==(-), 所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值為×(-+-+-+…+1-)=×(1-)=.故選D. 答案:D 3.(2018·豫南九校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,Sn是其前n項(xiàng)和,若a2,a3,a6成等比數(shù)列,且a10=-17,則的最小值是(  ) A.- B.- C.- D.- 解析:(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)?d=-2a1,a10=a1+9d=-17,∴a1=1,d=-2,Sn=2n-n2,>,>,n=4時(shí),=-最?。xA. 答案:A 4.“楊輝三角”又稱“賈憲三角”,是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)

10、行高次開方運(yùn)算,而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中,輯錄了賈憲三角形數(shù)表,并稱之為“開方作法本源”圖.下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”.該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)是(  ) 2 017 2 016 2 015 2 014……6 5 4 3 2 1 4 033 4 031 4 029……………11 9 7 5 3 8 064 8 060……………………20 16 12 8 16 124………………………36 28 20 ……………………… A.2 017×22 016 B.2 018

11、×22 015 C.2 017×22 015 D.2 018×22 016 解析:從給出的數(shù)表可以看出,該數(shù)表每行都是等差數(shù)列,其中第一行從右到左是公差為1的等差數(shù)列,第二行從右到左的公差為2,第三行從右到左的公差為4,…,即第n行從右到左的公差為2n-1,而從右向左看,每行的第一個(gè)數(shù)分別為1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n行的第一個(gè)數(shù)為(n+1)×2n-2.顯然第2 017行只有一個(gè)數(shù),其值為(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故選B. 答案:B 5.在等差數(shù)列{an}中,a9=a12+6,則數(shù)列{a

12、n}的前11項(xiàng)和S11等于__________. 解析:S11==11a6,設(shè)公差為d, 由a9=a12+6得a6+3d=(a6+6d)+6,解得a6=12,所以S11=11×12=132. 答案:132 6.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為________. 解析:由已知得,解得a1=-3,d=,那么nSn=n2a1+d=-.由于函數(shù)f(x)=-在x=處取得極小值,又n=6時(shí),6S6=-48,n=7時(shí),7S7=-49,故nSn的最小值為-49. 答案:-49 7.(2018·長(zhǎng)沙市模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,若點(diǎn)An(

13、n,)在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng),其中c是與x無關(guān)的常數(shù),且a1=3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)記bn=aan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值. 解析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)An(n,)在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng), 所以=-n+c,所以Sn=-n2+cn. 因?yàn)閍1=3,所以c=4,所以Sn=-n2+4n,所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n≥2). 又a1=3滿足上式,所以an=-2n+5(n∈N*). (2)由(1)知,bn=aan=-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5, 所以Tn==2n2-3n. 所以Tn的最小值是T1=-

14、1. 8.已知等差數(shù)列{an},a1=-11,公差d≠0,且a2,a5,a6成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析:(1)∵a2,a5,a6成等比數(shù)列,∴a=a2a6,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+5d), ∴2a1d+11d2=0,又d≠0,a1=-11,∴d=2, ∴an=-11+(n-1)×2=2n-13. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn==n2-12n, ∵an=2n-13,∴當(dāng)n≤6時(shí),an<0;當(dāng)n≥7時(shí),an>0. ∴當(dāng)n≤6時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an=-Sn=12n-n2; 當(dāng)n≥7時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=-a1-a2-…-a6+a7+…+an=-S6+Sn-S6=Sn-2S6=n2-12n+72. 綜上,Tn=

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