2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 課堂達標(biāo)54 幾何概型 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 課堂達標(biāo)54 幾何概型 文 新人教版 1.(2016·全國Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(  ) A.    B.     C.     D. [解析] 由題至少等15秒遇綠燈的概率為 P==.故選B. [答案] B 2.(2018·貴陽市監(jiān)測考試)在[-4,4]上隨機取一個實數(shù)m,能使函數(shù)f(x)=x3+mx2+3x在R上單調(diào)遞增的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 由題意,得f′(x)=3x

2、2+2mx+3,要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則3x2+2mx+3≥0在R上恒成立,即Δ=4m2-36≤0,解得-3≤m≤3,所以所求概率為=,故選D. [答案] D 3.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則sin x+cos x∈[1,]的概率是(  ) A. B. C. D. [解析] 因為x∈,所以x+∈, 由sin x+cos x=sin∈[1,],得≤sin≤1, 所以x∈,故要求的概率為=. [答案] B 4.(2018·石家莊模擬)已知O、A、B三地在同一水平面內(nèi),A地在O地正東方向2 km處,B地在O地正北方向2 km處,某測繪隊員在A、B之間的直線公路上任選一

3、點C作為測繪點,用測繪儀進行測繪.O地為一磁場,距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾,使測量結(jié)果不準(zhǔn)確.則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是(  ) A. B. C.1- D.1- [解析] 由題意知在等腰直角三角形OAB中,以O(shè)為圓心,為半徑的圓截AB所得的線段長為2,而|AB|=2,故該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1-=1-. [答案] D 5.(2018·山西四校聯(lián)考)在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點P,則△PBC的面積大于的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 設(shè)AB,AC上分別有點D,E滿足AD=AB且AE=AC, 則△A

4、DE∽△ABC,DE∥BC且DE=BC. ∵點A到DE的距離等于點A到BC的距離的, ∴DE到BC的距離等于△ABC高的. 當(dāng)動點P在△ADE內(nèi)時,P到BC的距離大于DE到BC的距離, ∴當(dāng)P在△ADE內(nèi)部運動時,△PBC的面積大于, ∴所求概率為=2=. [答案] D 6.(2018·佛山二模)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足條件為事件A,則事件A發(fā)生的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 由題意,得 即表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,可知陰影部分的面積為8,所以所求概率為,故選C. [答案] C

5、 7.如圖,正四棱錐S-ABCD的頂點都在球面上,球心O在平面ABCD上,在球O內(nèi)任取一點,則這點取自正四棱錐內(nèi)的概率為______. [解析] 設(shè)球的半徑為R,則所求的概率為P===. [答案]  8.如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為______. [解析] 當(dāng)點P在BC上時,AP與BC有公共點,此時AP掃過△ABC,所以P===. [答案]  9.在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P,則三棱錐S-APC的體積大于的概率是______. [解析] 由題意可知 >,三棱錐S-A

6、BC的高與三棱錐S-APC的高相同.作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,則PM,BN分別為△APC與△ABC的高,所以==>,又=,所以>,故所求的概率為(即為長度之比). [答案]  10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在正方體內(nèi)隨機取點M. (1)求四棱錐M-ABCD的體積小于的概率; (2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率. [解] (1)正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)M-ABCD的高為h,令×S四邊形ABCD×h=, ∵S四邊形ABCD=1,∴h=. 若體積小于,則h<,即點M在正方體的下半部分, ∴P==. (2)∵V三棱柱=×12

7、×1=, ∴所求概率P1==. [B能力提升練] 1.(2018·重慶適應(yīng)性測試)在區(qū)間[1,4]上任取兩個實數(shù),則所取兩個實數(shù)之和大于3的概率為(  ) A. B. C. D. [解析] 依題意,記從區(qū)間[1,4]上取出的兩個實數(shù)為x,y,不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(4-1)2=9,不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(4-1)2-×12=,因此所求的概率為=,選D. [答案] D 2.(2018·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點,++2 =0,現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi),則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(  ) A. B. C.

8、D. [解析] 以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC, 則+=,因為++2 =0, 所以+=-2 ,得=-2, 由此可得,P是△ABC邊BC上的中線AO的中點,點P到BC的距離等于A到BC距離的,所以S△PBC=S△ABC,所以將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi),黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為=,故選D. [答案] D 3.如圖所示,圖2中實線圍成的部分是長方體(圖1)的平面展開圖,其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形.若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點,它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是,則此長方體的體積是______. [解析] 設(shè)長方體的高為h,由幾何概型的概率計算公式可知,質(zhì)

9、點落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率P==,解得h=3或h=-(舍去),故長方體的體積為1×1×3=3. [答案] 3 4.在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個數(shù),記為m和n,則方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是__________. [解析] ∵方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓,∴m>n.如圖,由題意知,在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m,n),點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率,易知直線m=n恰好將矩形平分,∴所求的概率為P=. [答案]  5.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭,它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1 h,乙船停泊時間為

10、2 h,求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率. [解] 設(shè)甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y,記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”,則0≤x≤24,0≤y≤24,要使兩船都不需要等待碼頭空出,當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達1 h以上或乙比甲早到達2 h以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件構(gòu)成集合A={(x,y)|y-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}. A為圖中陰影部分,全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部. 所求概率為P(A)====. [C尖子生專練] 已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=b2x2-(a+1)x+1. (1)若a,b分別表

11、示將一質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù),求y=f(x)恰有一個零點的概率. (2)若a,b∈[1,6],求滿足y=f(x)有零點的概率. [解] (1)設(shè)(a,b)表示一個基本事件,則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36個. 用A表示事件“y=f(x)恰有一個零點”, 即Δ=|-(a+1)|2-4b2=0, 則a+1=2b. 則A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3個, 所以P(A)==. 即事件“y=f(x)恰有一個零點”的概率為. (2)用B表示事件“y=f(x)有零點”,即a+1≥2b. 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6},構(gòu)成事件B的區(qū)域為{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a-2b+1≥0},如圖所示: 所以所求的概率為P(B)==. 即事件“y=f(x)有零點”的概率為.

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