2022屆高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 課堂達標46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 課堂達標46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版 1.已知點A(0,2)和雙曲線x2-=1,過點A與雙曲線只有一個公共點的直線的條數(shù)為(  ) A.1    B.2    C.3    D.4 [解析] 設過點A(0,2)的直線為y=kx+2.由得(4-k2)x2-4kx-8=0.當k2=4即k=±2時,方程只有一解,即只有一個交點.當k2≠4,方程有一解時Δ=(-4k)2-4×(4-k2)×(-8)=0,∴k2=8,∴k=±2,為切線斜率,共有4條直線.故選D. [答案] D 2.(2018·嘉定模擬)過點P(1,1)作直線與雙曲線x2

2、-=1交于A,B兩點,使點P為AB中點,則這樣的直線(  ) A.存在一條,且方程為2x-y-1=0 B.存在無數(shù)條 C.存在兩條,方程為2x±(y+1)=0 D.不存在 [解析] 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2,則x-y=1,x-y=1, 兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2=(y1-y2),即kAB=2,故所求直線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 聯(lián)立可得2x2-4x+3=0,但此方程沒有實數(shù)解,故這樣的直線不存在.故選D. [答案] D 3.若直線y=kx+2與雙

3、曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點,則k的取值范圍是(  ) A. B. C. D. [解析] 由得(1-k2)x2-4kx-10=0. 設直線與雙曲線右支交于不同的兩點A(x1,y1), B(x2,y2),則解得-

4、a2-50)=0,設直線y=3x-2與橢圓的交點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 由根與系數(shù)關系得x1+x2=,由題意知x1+x2=1,即=1,解得a2=75,所以該橢圓方程為+=1. [答案] C 5.已知F為拋物線y2=8x的焦點,過點F且斜率為1的直線l交拋物線于A,B兩點,則||FA|-|FB||的值為(  ) A.4 B.8 C.8 D.16 [解析] 依題意知F(2,0),所以直線l的方程為y=x-2, 聯(lián)立方程,得消去y得x2-12x+4=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=4,x1+x2=12, 則||FA|-|FB||=|(

5、x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|===8. [答案] C 6.經(jīng)過橢圓+y2=1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點.設O為坐標原點,則·等于(  ) A.-3 B.- C.-或-3 D.± [解析] 依題意,當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時,其方程為y-0=tan 45°(x-1), 即y=x-1,代入橢圓方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以兩個交點坐標分別為(0,-1),,∴·=-,同理,直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時,也可得·=-. [答案] B 7.已知雙曲線x2-=1上存在兩點M,N關于直線y=x+m對稱,且MN

6、的中點在拋物線y2=18x上,則實數(shù)m的值為______. [解析] 設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點P(x0,y0),則 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),顯然x1≠x2. ∴·=3, 即kMN·=3, ∵M,N關于直線y=x+m對稱, ∴kMN=-1,∴y0=-3x0,又∵y0=x0+m, ∴P, 代入拋物線方程得m2=18·, 解得m=0或-8,經(jīng)檢驗都符合. [答案] 0或-8 8.(2018·東北三省聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0),F(xiàn)(,0)為其右焦點,過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2

7、.則橢圓C的方程為______. [解析] 由題意得解得 ∴橢圓C的方程為+=1. [答案]?。? 9.(2018·蘭州、張掖聯(lián)考)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程是______. [解析] 如圖,分別過點A,B作準線的垂線AE,BD,分別交準線于點E,D,則|BF|=|BD|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BD|,∴∠BCD=30°,又|AE|=|AF|=3,∴|AC|=6,即點F是AC的中點,根據(jù)題意得p=, ∴拋物線的方程是y2=3x. [答案]

8、 y2=3x 10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N. (1)求橢圓C的方程; (2)當△AMN的面積為時,求k的值. [解] (1)由題意得解得b=, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 設點M,N的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 則y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=, 所以|MN|===. 又因為點A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離d=, 所以△AMN的面積為 S=|MN|·

9、d=,由=,解得k=±1. [B能力提升練] 1.(2018·河南洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)斜率為1的直線過雙曲線C的左焦點且與該雙曲線交于A,B兩點,若+與向量n=(-3,-1)共線,則雙曲線C的離心率為(  ) A. B. C. D.3 [解析] 由題意得直線方程為y=x+c,代入雙曲線的方程并整理可得(b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-a2b2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,y1+y2=x1+x2+2c=, ∴+=, 又∵+與向量n=(-3,-1)共線, ∴=3·,∴a2=3b2, 又c2=a2+b2,

10、∴e==. [答案] B 2.(2018·麗水一模)斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A,B兩點,則|AB|的最大值為(  ) A.2 B. C. D. [解析] 設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t, 由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0. 則x1+x2=-t,x1x2=. ∴|AB|=|x1-x2| =· =· =·, 當t=0時,|AB|max=. [答案] C 3.如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F(xiàn)兩點,則=

11、______. [解析] 由正方形的定義可知BC=CD,結合拋物線的定義得點D為拋物線的焦點,所以|AD|=p=a,D(,0),F(xiàn)(+b,b),將點F的坐標代入拋物線的方程得b2=2p(+b)=a2+2ab,變形得()2--1=0,解得=1+或=1-(舍去),所以=1+. [答案] 1+ 4.已知雙曲線C:x2-=1,直線y=-2x+m與雙曲線C的右支交于A,B兩點(A在B的上方),且與y軸交于點M,則的取值范圍為______. [解析] 由 可得x2-4mx+m2+3=0, 由題意得方程在[1,+∞)上有兩個不相等的實根, 設f(x)=x2-4mx+m2+3,則得m>1,

12、 設A(x1,y1),B(x2,y2)(x11得,的取值范圍為(1,7+4). [答案] (1,7+4) 5.設拋物線過定點A(-1,0),且以直線x=1為準線. (1)求拋物線頂點的軌跡C的方程; (2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點M,N,且線段MN恰被直線x=-平分,設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍. [解] (1)設拋物線頂點為P(x,y), 則焦點F(2x-1,y). 再根據(jù)拋物線的定義得|AF|=2,即(2x)2+y2=4, 所以軌跡C的方程為x2+=1. (

13、2)設弦MN的中點為P,M(xM,yM), N(xN,yN), 則由點M,N為橢圓C上的點,可知 兩式相減,得4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0, 將xM+xN=2×=-1,yM+yN=2y0,=-代入上式得k=-. 又點P在弦MN的垂直平分線上,所以y0=-k+m.所以m=y(tǒng)0+k=y(tǒng)0. 由點P在線段BB′上, 所以yB′

14、 (1)求頂點C的軌跡λ的方程,并判斷軌跡λ為何種曲線; (2)當m=-時,設點P(0,1),過點P作直線l與曲線λ交于E,F(xiàn)兩點,且=,求直線l的方程. [解] (1)令C點坐標為(x,y), 則直線AC的斜率k1=, 直線BC的斜率k2=, 所以有k1k2=·==m, 化簡得,-x2+=1(x≠0). 所以當m=-1時,λ表示以(0,0)為圓心,為半徑的圓, 且除去(0,-),(0,)兩點; 當m<-1時,軌跡λ表示焦點在y軸上的橢圓, 且除去(0,-),(0,)兩點;當-1<m<0時, 軌跡λ表示焦點在x軸上的橢圓, 且除去(0,-),(0,)兩點; 當m>0時,軌跡λ表示焦點在y軸上的雙曲線, 且除去(0,-),(0,)兩點. (2)由題意知當m=-時曲線C為+=1(x≠0), 當直線l的斜率不存在時,不符合題意. 設直線l的方程為y=kx+1, 代入橢圓方程整理得(3+4k2)x2+8kx-8=0. 設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2), 由=得,x1=-3x2. 由韋達定理得x1+x2=,x1x2=, 所以x2=,x=,消去x2, 解得k=±, 所以直線l的方程為y=±x+1.

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