2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.1 條件概率學(xué)案 新人教A版選修2-3
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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.1 條件概率學(xué)案 新人教A版選修2-3 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題. 知識點一 條件概率 100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格,90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格,85件產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格. 令A(yù)={產(chǎn)品的長度合格},B={產(chǎn)品的質(zhì)量合格},AB={產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格}. 思考1 試求P(A),P(B),P(AB). 答案 P(A)=,P(B)=,P(AB)=. 思考2 任取一件產(chǎn)品,已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生),求它的長
2、度(即A發(fā)生)也合格(記為A|B)的概率. 答案 事件A|B發(fā)生,相當(dāng)于從90件質(zhì)量合格的產(chǎn)品中任取1件長度合格,其概率為P(A|B)=. 思考3 P(B),P(AB),P(A|B)間有怎樣的關(guān)系. 答案 P(A|B)=. 梳理 條件 設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0 含義 在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率 記作 P(B|A) 讀作 A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率 計算公式 ①縮小樣本空間法:P(B|A)= ②公式法:P(B|A)= 知識點二 條件概率的性質(zhì) 1.任何事件的條件概率都在0和1之間,即0≤P(B|A)≤1. 2.如果B和C是兩個互
3、斥事件,則 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 1.若事件A,B互斥,則P(B|A)=1.( × ) 2.事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生,相當(dāng)于A,B同時發(fā)生.( √ ) 類型一 求條件概率 例1 現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目,2個語言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個節(jié)目,求 (1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 解 設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件
4、B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB. (1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個,總的事件數(shù)n(Ω)=A=30. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有n(A)=AA=20, 所以P(A)===. (2)因為n(AB)=A=12,所以P(AB)===. (3)方法一 由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)===. 方法二 因為n(AB)=12,n(A)=20, 所以P(B|A)===. 反思與感悟 利用定義計算條件概率的步驟 (1)分別計算概率P(AB)和P(A). (2)將它們相除得到條件概率P(B|A)=,這個公式適用于一般情形,其
5、中AB表示A,B同時發(fā)生. 跟蹤訓(xùn)練1 某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 A 解析 設(shè)某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件B,隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件A,故所求概率為P(A|B)===0.8. 例2 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)
6、比甲抽到的數(shù)大的概率. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 解 將甲抽到數(shù)字a,乙抽到數(shù)字b,記作(a,b),甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15個.在這15個中,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9個,所以所求概率P==. 引申探究 1.在本例條件下,求乙抽到偶數(shù)的概率. 解 在
7、甲抽到奇數(shù)的情形中,乙抽到偶數(shù)的有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),共9個,所以所求概率P==. 2.若甲先取(放回),乙后取,若事件A:“甲抽到的數(shù)大于4”;事件B:“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”,求P(B|A). 解 甲抽到的數(shù)大于4的情形有:(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12個,其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情形有:(5,2),(6,1),共2個.所以P(B|A)==. 反思與感悟 將原來的基
8、本事件全體Ω縮小為已知的條件事件A,原來的事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個基本事件,每個基本事件發(fā)生的概率相等,從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率,即P(B|A)=,這里n(A)和n(AB)的計數(shù)是基于縮小的基本事件范圍的. 跟蹤訓(xùn)練2 5個乒乓球,其中3個新的,2個舊的,每次取一個,不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為________. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 答案 解析 設(shè)第1次取到新球為事件A,第2次取到新球為事件B,則P(B|A)===. 類型二 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 例
9、3 把外形相同的球分裝在三個盒子中,每盒10個.其中,第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個;第三個盒子中有紅球8個,白球2個.試驗按如下規(guī)則進行:先在第一個盒子中任取一個球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二個盒子中任取一個球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗成功,求試驗成功的概率. 考點 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點 條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解 設(shè)A={從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球}, B={從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球}, R={第二次取出的球是紅球}, W={第二次取出的球是
10、白球}, 則容易求得P(A)=,P(B)=,P(R|A)=, P(W|A)=,P(R|B)=,P(W|B)=. 事件“試驗成功”表示為AR∪BR,又事件AR與事件BR互斥,故由概率的加法公式,得 P(AR∪BR)=P(AR)+P(BR) =P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B) =×+×=0.59. 反思與感悟 當(dāng)所求事件的概率相對較復(fù)雜時,往往把該事件分成兩個(或多個)互不相容的較簡單的事件之和,求出這些簡單事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得較復(fù)雜事件的概率. 跟蹤訓(xùn)練3 在某次考試中,要從20道題中隨機抽出6道題,若考生至少能答對其中
11、4道題即可通過,至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過,求他獲得優(yōu)秀成績的概率. 考點 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點 條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解 記事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題,另一道答錯”,事件C為“該考生答對了其中4道題,另2道題答錯”,事件D為“該考生在這次考試中通過”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =++=,P(AD)=P(A),P(BD)=P(B), P(E|D)=
12、P(A|D)+P(B|D) =+=+=. 故獲得優(yōu)秀成績的概率為. 1.已知P(B|A)=,P(AB)=,則P(A)等于( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 C 解析 因為P(B|A)=,所以P(A)===. 2.市場上供應(yīng)的燈泡中,甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是( ) A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概
13、率 答案 A 解析 記事件A為“甲廠產(chǎn)品”,事件B為“合格產(chǎn)品”,則P(A)=0.7,P(B|A)=0.95, ∴P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665. 3.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 答案 B 解析 P(A)==,P(AB)==, P(B|A)==. 4.假定生男、生女是等可能的,一個家庭中有兩個小孩,已知有一個是女孩,則另一個小孩是男
14、孩的概率是________. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 答案 解析 一個家庭的兩個小孩只有4種可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女},由題意可知這4個基本事件的發(fā)生是等可能的,所求概率P=. 5.拋擲紅、藍兩枚骰子,記事件A為“藍色骰子的點數(shù)為4或6”,事件B為“兩枚骰子的點數(shù)之和大于8”,求: (1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率; (2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 解 拋擲紅、藍兩枚骰子,事件總數(shù)為6×6=36,事件A的基本事件數(shù)為6×
15、2=12, 所以P(A)==. 由于3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8. 所以事件B的基本事件數(shù)為4+3+2+1=10, 所以P(B)==. 事件AB的基本事件數(shù)為6. 故P(AB)==. 由條件概率公式得 (1)P(B|A)===. (2)P(A|B)===. 1.條件概率:P(B|A)==. 2.概率P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系:P(AB)表示在樣本空間Ω中,計算AB發(fā)生的概率,而P(B|A)表示在縮小的樣本空間ΩA中,計算B發(fā)生的概率.用古典概型公式,則P(B|A)=,P(AB)=. 一、
16、 選擇題 1.某班學(xué)生考試成績中,數(shù)學(xué)不及格的占15%,語文不及格的占5%,兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格,則他語文也不及格的概率是( ) A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 A 解析 記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A,“語文不及格”為事件B,P(B|A)===0.2, 所以數(shù)學(xué)不及格時,該生語文也不及格的概率為0.2. 2.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次,設(shè)事件A={兩個點數(shù)互不相同},B={出現(xiàn)一個5點},則P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的
17、定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 答案 A 解析 出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有6×5=30(種),出現(xiàn)一個5點共有5×2=10(種),所以P(B|A)==. 3.7名同學(xué)站成一排,已知甲站在中間,則乙站在末尾的概率是( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 答案 C 解析 記“甲站在中間”為事件A,“乙站在末尾”為事件B, 則n(A)=A, n(AB)=A, 所以P(B|A)==. 4.盒中裝有6件產(chǎn)品,其中4件一等品,2件二等品,從中不放回地取兩次,每次取1件,已知第二次取得一等品,則
18、第一次取得二等品的概率為( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 D 解析 設(shè)“第二次取得一等品”為事件A,“第一次取得二等品”為事件B,則P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)==×=. 5.在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機投擲一個點M(其坐標(biāo)為x),若A=,B=,則P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 A 解析 P(A)==.∵A∩B=, ∴P(AB)==,∴P(B|A)===. 6.甲、乙、丙三人到三個景點旅游,每
19、人只去一個景點,設(shè)事件A為“三個人去的景點不相同”,B為“甲獨自去一個景點”,則概率P(A|B)等于( ) A. B. C. D. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 利用縮小基本事件空間求條件概率 答案 C 解析 由題意可知.n(B)=C22=12,n(AB)=A=6. 所以P(A|B)===. 7.已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡,這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需要一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下,第2次抽到的是卡口燈泡的概率為( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 方法一
20、 設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”,事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”,則P(A)=,P(AB)=×=,則所求概率為P(B|A)===. 方法二 第1次抽到螺口燈泡后還剩余9只燈泡,其中有7只卡口燈泡,故第2次抽到卡口燈泡的概率為=. 二、填空題 8.某種元件用滿6 000小時未壞的概率是,用滿10 000小時未壞的概率是,現(xiàn)有一個此種元件,已經(jīng)用過6 000小時未壞,則它能用到10 000小時的概率為________. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 解析 設(shè)“用滿6 000小時未壞”為事件A,“用滿10 000小時未壞”為事件B,則P
21、(A)=,P(AB)=P(B)=,所以P(B|A)===. 9.如圖,四邊形EFGH是以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”, 則(1)P(A)=________; (2)P(B|A)=________. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 (1) (2) 解析 正方形的面積為2,圓的面積為π. (1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”, ∴P(A)=. (2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,
22、 ∴P(AB)=,∴P(B|A)==. 10.設(shè)某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率 0.4,現(xiàn)有一個20歲的這種動物,則它能活到25歲的概率是________. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 答案 0.5 解析 設(shè)該動物活到20歲為事件A,活到25歲為事件B,則P(A)=0.8,P(B)=0.4, 又P(AB)=P(B), 所以P(B|A)====0.5. 11.有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍色、黑色各兩瓶,某同學(xué)從中隨機任取兩瓶,若取得的兩瓶中有一瓶是藍色,則另一瓶是紅色或黑色的概率為________. 考點 條件概率
23、的性質(zhì)及應(yīng)用 題點 條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 答案 解析 設(shè)事件A為“其中一瓶是藍色”,事件B為“另一瓶是紅色”,事件C為“另一瓶是黑色”,事件D為“另一瓶是紅色或黑色”, 則D=B∪C且B與C互斥. 又P(A)==, P(AB)==, P(AC)==, 故P(D|A)=P(B∪C|A) =P(B|A)+P(C|A) =+=. 三、解答題 12.從1~100共100個正整數(shù)中,任取一數(shù),已知取出的一個數(shù)不大于50,求此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率. 考點 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點 條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解 設(shè)事件C為“取出的數(shù)不大于50”,事件A為“取出的數(shù)是2
24、的倍數(shù)”,事件B為“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”. 則P(C)=,且所求概率為 P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C) =+- =2×=. 13.壇子里放著5個大小、形狀都相同的咸鴨蛋,其中有3個是綠皮的,2個是白皮的.如果不放回地依次拿出2個鴨蛋,求: (1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率; (2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率; (3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下,第2次拿出綠皮鴨蛋的概率. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直接利用公式求條件概率 解 設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事件A,“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事件B,則第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋為事
25、件AB. (1)從5個鴨蛋中不放回地依次拿出2個鴨蛋的總基本事件數(shù)為n(Ω)=A=20. 又n(A)=A×A=12, 于是P(A)===. (2)因為n(AB)=3×2=6, 所以P(AB)===. (3)由(1)(2),可得在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下,第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)===. 四、探究與拓展 14.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別是1,2,3,4,5,6點),落在水平桌面后,記正面朝上的點數(shù)分別為x,y,記事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,則概率P(B|A)=________. 考點 條件概率的定義及計算公式 題點 直
26、接利用公式求條件概率 答案 解析 根據(jù)題意,事件A為“x+y為偶數(shù)”,則x,y兩個數(shù)均為奇數(shù)或偶數(shù),共有2×3×3=18個基本事件. ∴事件A發(fā)生的概率為P(A)==,而A,B同時發(fā)生,基本事件有“2+4”,“2+6”,“4+2”,“4+6”,“6+2”,“6+4”,共6個, ∴事件A,B同時發(fā)生的概率為P(AB)==, ∴P(B|A)===. 15.甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品,乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品. (1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品,求這2個產(chǎn)品都是次品的概率; (2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中,然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品,求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.
27、 考點 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點 條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解 (1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為C=28,這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為C=3,所以這2個產(chǎn)品都是次品的概率為. (2)設(shè)事件A為“從乙箱中取一個正品”,事件B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”,事件B2為“從甲箱中取出1個正品,1個次品”,事件B3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”,則事件B1,事件B2,事件B3彼此互斥. P(B1)==,P(B2)==, P(B3)==, 所以P(A|B1)=, P(A|B2)=,P(A|B3)=. 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=.
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