2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解離散型隨機(jī)變量及分布列,并掌握兩個(gè)特殊的分布列——二項(xiàng)分布和超幾何分布.3.理解離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,并能應(yīng)用其解決一些簡單的實(shí)際問題.4.了解正態(tài)分布曲線特點(diǎn)及曲線所表示的意義. 1.離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量;所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量,稱為離散型隨機(jī)變量. (2)若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi

2、(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,具有性質(zhì): ①pi ≥ 0,i=1,2,…,n; ②pi=1. 離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和. 2.兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、件{X=k}發(fā)生的概率:P(X=k)= (k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,則稱分布列 X 0 1 … m P … 為超幾何分布列. 4.條件概率及其性質(zhì) (1)對于任何兩個(gè)事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號(hào)P(B|A)來表示,其公式為P(B|A)=(P(A)>0). 在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù),則P(B|A)=. (2)條件概率具有的性質(zhì): ①0≤P(B|A)≤1; ②如果B和C是兩個(gè)互斥事件, 則P(B∪C|A)=P(

4、B|A)+P(C|A). 5.相互獨(dú)立事件 (1)對于事件A,B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱A,B是相互獨(dú)立事件. (2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B), P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若A與B相互獨(dú)立,則A與,與B,與也都相互獨(dú)立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立. 6.二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的

5、次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為X~B(n,p),并稱p為成功概率. 7.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)方差 稱D(X)= (xi-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)

6、的平均偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差. (3)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX+b)=aE(X)+b. ②D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù)) (4)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 ①若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p). ②若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). 8.正態(tài)分布 (1)正態(tài)曲線:函數(shù)φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中μ和σ為參數(shù)(σ>0,μ∈R).我們稱函數(shù)φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線. (2)正態(tài)曲線的性質(zhì): ①曲線位于x軸上方,與x軸不相交; ②曲線是單峰的

7、,它關(guān)于直線x=μ對稱; ③曲線在x=μ處達(dá)到峰值; ④曲線與x軸之間的面積為 1 ; ⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著 μ 的變化而沿x軸平移,如圖甲所示; ⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中; σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示.   (3)正態(tài)分布的定義及表示 如果對于任何實(shí)數(shù)a,b (a

8、μ-2σ

9、根, 則Δ=b2-4c≥0,即b≥2. ∵b,c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù), ∴當(dāng)先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5時(shí), 若b=5,則c=1,2,3,4,5,6; 若c=5,則b=5,6.b=5,c=5只能算一種情況,從而P(MN)=. ∴在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率為P(N|M)==. 反思與感悟 條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ),計(jì)算條件概率時(shí),必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率.一般地,計(jì)算條件概率常有兩種方法 (1)P(B|A)=. (2)P(B|A)=.在古典概型下,n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件

10、個(gè)數(shù);n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù). 跟蹤訓(xùn)練1 已知男人中有5%患色盲,女人中有0.25%患色盲,從100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人. (1)求此人患色盲的概率; (2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.(以上各問結(jié)果寫成最簡分式形式) 考點(diǎn) 條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn) 條件概率的性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解 設(shè)“任選一人是男人”為事件A,“任選一人是女人”為事件B,“任選一人是色盲”為事件C. (1)此人患色盲的概率 P(C)=P(AC)+P(BC) =P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B) =×+×=. (2)由(1)得P(AC)=,又因?yàn)镻(C)=,

11、所以P(A|C)===. 類型二 相互獨(dú)立事件的概率與二項(xiàng)分布 例2 天氣預(yù)報(bào),在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為,至少有一個(gè)地方降雨的概率為,已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率,且在這段時(shí)間甲、乙兩地降雨互不影響. (1)分別求甲、乙兩地降雨的概率; (2)在甲、乙兩地3天假期中,僅有一地降雨的天數(shù)為X,求X的分布列、均值與方差. 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 求二項(xiàng)分布的分布列 解 (1)設(shè)甲、乙兩地降雨的事件分別為A,B,且P(A)=x,P(B)=y(tǒng). 由題意得解得 所以甲地降雨的概率為,乙地降雨的概率為. (2)在甲、乙兩地中,僅有一地降雨的概率為P=P(A

12、)+P(B)=P(A)P()+P()P(B) =×+×=. X的可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=C3=, P(X=1)=C12=, P(X=2)=C2=, P(X=3)=C3=, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 方差D(X)=×2+×2+×2+×2=. 反思與感悟 (1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題 ①“P(AB)=P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件,也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具. ②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題,務(wù)必分

13、清事件間的相互關(guān)系. ③公式“P(A∪B)=1-P( )”常應(yīng)用于相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率. (2)二項(xiàng)分布的判定 與二項(xiàng)分布有關(guān)的問題關(guān)鍵是二項(xiàng)分布的判定,可從以下幾個(gè)方面判定: ①每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的. ②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的. ③每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生. ④隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù). 跟蹤訓(xùn)練2 在一次抗洪搶險(xiǎn)中,準(zhǔn)備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大汽油罐,已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是. (1)求油灌被引爆的概率;

14、 (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ,求ξ不小于4的概率. 考點(diǎn) 互斥、對立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題 題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題 解 (1)油罐引爆的對立事件為油罐沒有引爆,沒有引爆的可能情況是:射擊5次只擊中一次或一次也沒有擊中,故該事件的概率為 P=C××4+5, 所以所求的概率為 1-P=1-=. (2)當(dāng)ξ=4時(shí),記事件為A, 則P(A)=C××2×=, 當(dāng)ξ=5時(shí),意味著前4次射擊只擊中一次或一次也未擊中,記為事件B. 則P(B)=C××3+4=, 所以所求概率為P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. 類型三 離散型隨機(jī)變

15、量的均值與方差 例3 為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額. (1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求: ①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率; ②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值; (2)商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡,請對袋中的4個(gè)球的面值給

16、出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說明理由. 考點(diǎn) 均值與方差的應(yīng)用 題點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用 解 (1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X, ①依題意,得P(X=60)==, 即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為. ②依題意得X的所有可能取值為20,60, P(X=20)==,P(X=60)=, 即X的分布列為 X 20 60 P 所以這位顧客所獲獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)=20×+60×=40. (2)根據(jù)商場的預(yù)算,每位顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元,所以先尋找均值為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之

17、和的最大值,所以均值不可能為60元. 如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以均值也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1,對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40), 記為方案2, 以下是對這兩個(gè)方案的分析: 對于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的均值E(X1)=20×+60×+100×=60.

18、X1的方差D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=, 對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的均值E(X2)=40×+60×+80×=60, X2的方差D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=. 由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1小,所以應(yīng)該選擇方案2. 反思與感悟 求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義,寫出X可能的全部取值; (2)求X取每個(gè)值的概率或求

19、出函數(shù)P(X=k); (3)寫出X的分布列; (4)由分布列和均值的定義求出E(X); (5)由方差的定義,求D(X),若X~B(n,p),則可直接利用公式求,E(X)=np,D(X)=np(1-p). 跟蹤訓(xùn)練3 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級,等級系數(shù)X依次為1,2,…,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件;乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件,假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn). (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的分布列如下表: X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1

20、 且X1的均值E(X1)=6,求a,b的值; (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件,相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個(gè)樣本,數(shù)據(jù)如下:  3 5 3 3 8 5 5 6 3 4  6 3 4 7 5 3 4 8 5 3  8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)X2的均值; (3)在(1)(2)的條件下,若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具有可購買性?說明理由. 注:①產(chǎn)品的“性價(jià)比”=; ②“性價(jià)比”高的產(chǎn)品更具有可購買性. 考點(diǎn) 均值與方差的應(yīng)用 題點(diǎn) 均值與方差的綜合應(yīng)用 解 (

21、1)∵E(X1)=6, ∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6, 即6a+7b=3.2, 又由X1的分布列得0.4+a+b+0.1=1, 即a+b=0.5. 由解得 (2)由已知得,樣本的頻率分布表如下: X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,可得等級系數(shù)X2的分布列如下: X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 ∴E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0

22、.1+8×0.1=4.8,即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的均值為4.8. (3)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性,理由如下: 甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的均值為6,價(jià)格為6元/件, 其性價(jià)比為=1, 乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的均值等于4.8,價(jià)格為4元/件, 其性價(jià)比為=1.2. ∴乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性. 類型四 正態(tài)分布的應(yīng)用 例4 為了評估某大米包裝生產(chǎn)設(shè)備的性能,從該設(shè)備包裝的大米中隨機(jī)抽取100袋作為樣本,稱其重量為 重量kg 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 合計(jì) 包

23、數(shù) 1 1 3 5 6 19 34 18 3 4 2 1 2 1 100 經(jīng)計(jì)算:樣本的平均值μ=10.10,標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.21. (1)為評判該生產(chǎn)線的性能,從該生產(chǎn)線中任抽取一袋,設(shè)其重量為X(kg),并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判. ①P(μ-σ

24、大于μ+2σ的包裝認(rèn)為是不合格的包裝,從設(shè)備的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5袋大米,求其中不合格包裝袋數(shù)Y的均值E(Y). 考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn) 正態(tài)分布的綜合應(yīng)用 解 (1)由題意得 P(μ-σ0.682 6, P(μ-2σ

25、,即Y~B, 所以E(Y)=5×=0.3. 反思與感悟 正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略 解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率,在此過程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想. 跟蹤訓(xùn)練4 某市去年高考考生成績X服從正態(tài)分布N(500,502),現(xiàn)有25 000名考生,試確定考生成績在550分~600分的人數(shù). 考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn) 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 解 ∵考生成績X~N(500,502),∴μ=500,σ=50, ∴P=(550

26、2×50

27、的概率分別是,,.假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響,那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn) 獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 設(shè)“國慶節(jié)放假,甲、乙、丙三人去北京旅游”分別為事件A,B,C,則A,B,C相互獨(dú)立且P(A)=,P(B)=,P(C)=,∴至少有1人去北京旅游的概率為1-P( )=1-P()·P()·P()=1-××=1-=,故選B. 3.某班有50名學(xué)生,一次考試后的數(shù)學(xué)成績?chǔ)巍玁(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,則估計(jì)該班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在120分以上(含

28、120分)的人數(shù)為(  ) A.10 B.9 C.8 D.7 考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn) 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案 C 解析 ∵數(shù)學(xué)成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102), 且P(100≤ξ≤110)=0.34, ∴P(ξ≥120)=P(ξ<100)=×(1-0.34×2)=0.16, ∴該班數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為0.16×50=8. 4.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=m·k,k=1,2,3,則m的值為 . 考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn) 根據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案  解析 因?yàn)镻(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)

29、=1, 即m=1,所以m=. 5.某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì),分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù),若P(X=0)=,則隨機(jī)變量X的均值E(X)= . 考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn) 獨(dú)立事件與分布列 答案  解析 隨機(jī)變量X的可能取值是0,1,2,3. 由題意知P(X=0)=(1-p)2=,所以p=,于是P(X=1)=××+××+××=,P(X=3)=××=,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-

30、--=,所以均值E(X)=0×+1×+2×+3×=. 1.條件概率的兩個(gè)求解策略 (1)定義法:計(jì)算P(A),P(B),P(AB),利用P(A|B)=求解. (2)縮小樣本空間法:利用P(B|A)=求解. 其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問題. 2.求解實(shí)際問題的均值與方差的解題思路:先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,然后求出隨機(jī)變量的分布列,同時(shí)要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì). 一、選擇題 1.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為(  ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5

31、 B.6 C.7 D.8 考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 答案 C 解析 由題意和分布列的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1, 且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3, 解得b=0.4,a=7. 2.某工程施工在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?,施工期間的年降水量X(單位:mm)對工期延誤天數(shù)Y的影響及相應(yīng)的概率P如下表所示: 年降水量X X<100 100≤X<200 200≤X<300 X≥300 工期延誤天數(shù)Y 0 5 15 30 概率P 0.4 0.2 0.1 0.3 在年降水量X至少是100的條件下,

32、工期延誤小于30天的概率為(  ) A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.2 考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率 答案 B 解析 設(shè)事件A為“年降水量X至少是100”,事件B為“工期延誤小于30天”,則P(B|A)===0.5,故選B. 3.從應(yīng)屆高中畢業(yè)生中選拔飛行員,已知這批學(xué)生體型合格的概率為,視力合格的概率為,其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為,從中任選一名學(xué)生,則該生均合格的概率為(假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn) 求多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案 D

33、 解析 該生各項(xiàng)均合格的概率為××=. 4.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4),則P(X<1-3a)=P(X>a2+7)成立的一個(gè)必要不充分條件是(  ) A.a(chǎn)=1或2 B.a(chǎn)=±1或2 C.a(chǎn)=2 D.a(chǎn)= 考點(diǎn) 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn) 正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用 答案 B 解析 ∵X~N(3,4),P(X<1-3a)=P(X>a2+7), ∴(1-3a)+(a2+7)=2×3,∴a=1或2.故選B. 5.(2017·福建莆田二十四中高二期中)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該

34、同學(xué)通過測試的概率為(  ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 考點(diǎn) 互斥、對立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題 題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題 答案 A 解析 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得,該同學(xué)通過測試的概率為C0.62×0.4+C0.63=0.648. 6.命題r:隨機(jī)變量ξ~N(3,σ2),若P(ξ≤2)=0.4,則P(ξ≤4)=0.6.命題q:隨機(jī)變量η~B(n,p),且E(η)=200,D(η)=100,則p=0.5.則(  ) A.r正確,q錯(cuò)誤 B.r錯(cuò)誤,q正確 C.r錯(cuò)誤,q也錯(cuò)誤 D.r正確,q也正確 考點(diǎn) 正態(tài)

35、分布的應(yīng)用 題點(diǎn) 正態(tài)分布的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 因?yàn)殡S機(jī)變量ξ~N(3,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于x=3對稱,又P(ξ≤2)=0.4,則P(ξ>4)=P(ξ≤2)=0.4,所以P(ξ≤4)=0.6,所以r是正確的;隨機(jī)變量η~B(n,p),且E(η)=np=200,D(η)=np(1-p)=100,所以200(1-p)=100,解得p=0.5,所以q是正確的.故選D. 7.節(jié)日期間,某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元,銷售價(jià)是每束5元;節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測,節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列 X 200 300 400 5

36、00 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若進(jìn)這種鮮花500束,則利潤的均值為(  ) A.706元 B.690元 C.754元 D.720元 考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的概率與計(jì)算 題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算 答案 A 解析 因?yàn)镋(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340, 所以利潤的均值為340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706元,故選A. 8.某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是[40,50),[50,60),[60,70),[7

37、0,80),[80,90),[90,100].從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,這2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為ξ,則ξ的均值為(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 常見的幾種均值 題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值 答案 B 解析 由頻率分布直方圖知,3×0.006×10+0.01×10+0.054×10+10x=1,解得x=0.018,∴成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.018+0.006)×10×50=12,成績在90分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)為0.006×10×50=3, ∴ξ的可能取值為0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)=

38、=,P(ξ=2)==,∴E(ξ)=0×+1×+2×=. 二、填空題 9.盒中有10支螺絲釘,其中3支是壞的,現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩支,那么在第一支抽取為好的條件下,第二支是壞的概率為 . 考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率 答案  解析 記事件A為“第一支抽取為好的”,事件B為“第二支是壞的”,則 P(A)=, P(AB)=×=, ∴P(B|A)==. 10.甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽,規(guī)定:若甲贏一局,比賽結(jié)束,甲勝出;若乙贏兩局,比賽結(jié)束,乙勝出.已知每一局甲、乙二人獲勝的概率分別為,,則甲勝出的概率為 . 考點(diǎn)

39、 互斥、對立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題 題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題 答案  解析 方法一 甲勝的情況為:①舉行一局比賽,甲勝出,比賽結(jié)束,②舉行兩局比賽,第一局乙勝,第二局甲勝,其概率分別為,×,且這兩個(gè)事件是互斥的,所以甲勝出的概率為+×=. 方法二 因?yàn)楸荣惤Y(jié)果只有甲勝出和乙勝出兩個(gè)結(jié)果,而乙勝出的情況只有一種,舉行兩局比賽都是乙勝出,其概率為×=,所以甲勝出的概率為1-=. 11.一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品,如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元,生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元,生產(chǎn)一件次品,要賠20元,已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,則

40、這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利 元. 考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算 題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算 答案 37 解析 設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的取值可以是-20,30,50.依題意,X的分布列為 X -20 30 50 P 0.1 0.3 0.6 故E(X)=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37(元). 12.一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8,每穴只要有一粒發(fā)芽,就不需補(bǔ)種,否則需要補(bǔ)種.則每穴至少種 粒,才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(lg 2=0.301 0) 考點(diǎn) 互斥、對立、

41、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題 題點(diǎn) 互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件的概率問題 答案 3 解析 記事件A為“種一粒種子,發(fā)芽”, 則P(A)=0.8,P()=1-0.8=0.2. 因?yàn)槊垦ǚNn粒相當(dāng)于做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”, 則P()=C0.80(1-0.8)n=0.2n, 所以P(B)=1-P()=1-0.2n. 根據(jù)題意,得P(B)>98%,即0.2n<0.02. 兩邊同時(shí)取以10為底的對數(shù),得 nlg 0.2=≈2.43. 因?yàn)閚∈N*, 所以n的最小正整數(shù)值為3. 三、

42、解答題 13.一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率; (2)用X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與均值. (注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 考點(diǎn) 常見的幾種均值 題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值 解 (1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率P==. (2)X的所有可能取值為1,2,3, 則P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. 故X的分布列為 X 1 2 3

43、 P 從而E(X)=1×+2×+3×=. 四、探究與拓展 14.某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇. 方案甲:員工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.第一次抽獎(jiǎng),若未中獎(jiǎng),則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng),則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎(jiǎng)金,不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng);若正面朝上,員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)且在第二次抽獎(jiǎng)中,若中獎(jiǎng),則獲得獎(jiǎng)金1 000元;若未中獎(jiǎng),則所獲得的獎(jiǎng)金為0元. 方案乙:員工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為,每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元. (1)求某員工選擇方

44、案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列; (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng).哪個(gè)方案更劃算? 考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用 解 (1)由題意得,X的所有可能取值為0,500,1 000,則P(X=0)=+××=, P(X=500)=×=, P(X=1 000)=××=, 所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為 X 0 500 1 000 P (2)由(1)可知,選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的均值E(X)=500×+1 000×=520, 若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),中獎(jiǎng)次數(shù)ξ~B, 則E(ξ)=

45、3×=,抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金Y的均值E(Y)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,故選擇方案甲較劃算. 15.某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式; (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求

46、量發(fā)生的概率. ①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列、均值及方差; ②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝?請說明理由. 考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用 解 (1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí),利潤y=80. 當(dāng)日需求量n<16時(shí),利潤y=10n-80. 所以當(dāng)天的利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為 y=(n∈N) (2)①X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. 故X的分布列為 X 60 70 80 P

47、0.1 0.2 0.7 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76, D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②方法一:花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花. 理由如下: 若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4, D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.

48、16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,D(X)

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