14、,“p且q”為真?
解:若p為真,則1∈{x|x21;
若q為真,則2∈{x|x24.
若“p或q”為真,則a>1或a>4,即a>1;
若“p且q”為真,則a>1且a>4,即a>4.
一、選擇題
1.“p∨q為假命題”是“綈p為真命題”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:p∨q為假命題,則p,q均為假命題,故p∨q為假命題?綈p為真命題,但綈p為真命題 p∨q為假命題.
答案:A
2.已知p:點(diǎn)P在直線y=2x-3上,q:點(diǎn)P在直線y=-3x+2上,
15、則使命題p∧q為真命題的一個點(diǎn)P(x,y)是( )
A.(0,-3) B.(1,2)
C.(1,-1) D.(-1,1)
解析:因?yàn)閜∧q為真命題,所以p,q均為真命題,即點(diǎn)P為直線y=2x-3與y=-3x+2的交點(diǎn),
故有解得故選C.
答案:C
3.已知全集U=R,A?U,B?U,如果命題p:∈(A∪B),則命題“綈p”是( )
A.?A B.∈(?UA)∩(?UB)
C.∈?UB D.?(A∩B)
解析:由p:∈(A∪B),可知綈p:?(A∪B),
即∈?U(A∪B),而?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
答案:B
4.下列各組命題中,滿足“p或q”為真,
16、且“非p”為真的是( )
A.p:0=?;q:0∈?
B.p:在△ABC中,若cos 2A=cos 2B,則A=B;q:函數(shù)y=sin x在第一象限是增函數(shù)
C.p:a+b≥2(a,b∈R);q:不等式|x|>x的解集為(-∞,0)
D.p:圓(x-1)2+(y-2)2=1的面積被直線x=1平分;q:過點(diǎn)M(0,1)且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線有兩條
解析:A中,p,q均為假命題,故“p或q”為假,排除A;B中,由在△ABC中,cos 2A=cos 2B,得1-2sin2A=1-2sin2B,即(sin A+sin B)(sin A-sin B)=0,所以A-B=
17、0,故p為真,從而“非p”為假,排除B;C中,p為假,從而“非p”為真,q為真,從而“p或q”為真;D中,p為真,故“非p”為假,排除D.故選C.
答案:C
二、填空題
5.命題“若abc=0,則a,b,c中至少有一個為零”的否定為:________,否命題為:________.
解析:否定形式:若abc=0,則a,b,c全不為零.
否命題:若abc≠0,則a,b,c全不為零.
答案:若abc=0,則a,b,c全不為零 若abc≠0,則a,b,c全不為零
6.已知命題p:x≤1,命題q:<1,則綈p是q的________條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必
18、要”中的一個).
解析:p:x≤1?綈p:x>1?<1,但<1 x>1.
∴綈p是q的充分不必要條件.
答案:充分不必要
7.若命題p:不等式ax+b>0的解集為,命題q:關(guān)于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集為{x|a<x<b},則“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的復(fù)合命題中的真命題是________.
解析:因命題p,q均為假命題,所以“p∨q”“p∧q”為假命題,“綈p”為真命題.
答案:綈p
8.已知條件p:(x+1)2>4,條件q:x>a,且綈p是綈q的充分不必要條件,則a的取值范圍是________.
解析:由綈p是綈q的充分而不必要條件,可知綈p?綈q,但綈
19、q 綈p,又一個命題與它的逆否命題等價,可知q?p,但pq,又p:x>1或x<-3,可知{x|x>a}{x|x<-3或x>1},所以a≥1.
答案:[1,+∞)
三、解答題
9.寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題,并判斷真假.
(1)p:1是質(zhì)數(shù),q:1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p:平行四邊形的對角線一定相等,q:平行四邊形的對角線互相垂直;
(3)p:N?Z,q:0∈N.
解:(1)因?yàn)閜假q真,所以p或q:1是質(zhì)數(shù)或1是方程x2+2x-3=0的根,為真命題;p且q:1是質(zhì)數(shù)且1是方程x2+2x-3=0的根,為假命題;非p:1不是
20、質(zhì)數(shù),為真命題.
(2)因?yàn)閜假q假,所以p或q:平行四邊形的對角線一定相等或互相垂直,為假命題;p且q:平行四邊形的對角線一定相等且互相垂直,為假命題;非p:平行四邊形的對角線不一定相等,為真命題.
(3)因?yàn)閜真q真,所以p或q:N?Z或0∈N,為真命題;p且q:N?Z且0∈N,為真命題;非p:NZ,為假命題.
10.設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;q:關(guān)于x的方程x2+2x+loga=0(a>0,且a≠1)的解集只有一個子集.若p∨q為真,p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:當(dāng)命題p是真命題時,應(yīng)有a>1.
當(dāng)命題q是真命題時,
關(guān)于x的方程x2+2x+loga=0無解,
所以Δ=4-4loga<0,解得1