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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 專題研究2 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理
1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于( )
A.1 B.2
C.3 D.0
答案 C
解析 邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形.
2.(2017·山東德州一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n+2=2n+3-1,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊的式子為( )
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
答案 D
解析 當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+2+22+23.故選D.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++
2、…+>(n∈N*)成立,其初始值至少應(yīng)取( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 B
解析 1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7.
∴初始值至少應(yīng)取8.
4.設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于( )
A. B.+
C.+ D.++
答案 D
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除時(shí),當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為( )
A.56·34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34·34k+1+52·52k
C.34k+1+52k+1 D
3、.25(34k+1+52k+1)
答案 A
解析 因?yàn)橐褂脷w納假設(shè),必須將34(k+1)+1+52(k+1)+1分解為歸納假設(shè)和能被8整除的兩部分.所以應(yīng)變形為56·34k+1+25(34k+1+52k+1).
6.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,記cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),試通過計(jì)算c1,c2,c3的值,推測cn=__________.
答案
解析 c1=2(1-a1)=2×(1-)=,
c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1-)×(1-)=,
c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1-)×(1-)×(1-)=,
故由歸納推理得cn
4、=.
7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的自然數(shù)n都有:(Sn-1)2=anSn.
(1)求S1,S2,S3;
(2)猜想Sn的表達(dá)式并證明.
答案 (1)S1=,S2=,S3= (2)Sn=,證明略
解析 (1)由(S1-1)2=S12,得S1=;
由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;
由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.
(2)猜想:Sn=.
證明:①當(dāng)n=1時(shí),顯然成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí),Sk=成立.
則當(dāng)n=k+1時(shí),由(Sk+1-1)2=ak+1Sk+1,得Sk+1===.
從而n=k+1時(shí),猜想也
5、成立.
綜合①②得結(jié)論成立.
8.已知函數(shù)f(x)=x-sinx,數(shù)列{an}滿足:00,
所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
又f(x)在[0,1]上連續(xù),
從而f(0)
6、正整數(shù)都成立.
又因?yàn)?
7、k+1<-·+-=-<.
所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
根據(jù)(1)、(2)可知,對(duì)任何n∈N+,不等式an<成立.
10.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an·(4-an),(n∈N).
證明:an
8、1+ak)
=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).
而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0.
又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]<2.
所以n=k+1時(shí)命題成立.
由(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N時(shí)有an
9、(4-ak)<×2×(4-2).
也即當(dāng)n=k+1時(shí),ak
10、bn+1.
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),由上可得結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即
ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1==(k+2)2.所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立.
(2)=<.
當(dāng)n≥2時(shí),由(1)知
an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+
11、1)·n.
故++…+
<+(++…+)
=+(-+-+…+-)
=+(-)<+=.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>的過程中,由n=k推導(dǎo)n=k+1時(shí),不等式的左邊增加的式子是________.
答案
解析 不等式的左邊增加的式子是+-=,故填.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)任意的n∈N*,++…+=.
答案 略
解析 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊==,右邊==,左邊=右邊,所以等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立,即有
++…+=,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
++…++
=+=
===,
所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.
由(1)(2)
12、可知,對(duì)一切n∈N*等式都成立.
3.(2017·湖北宜昌一中模擬)已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).試比較+++…+與1的大小,并說明理由.
答案?。?1
解析 ∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1.
∵函數(shù)g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
于是由a1≥1,
得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
進(jìn)而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1.
由此猜想:an≥2n-1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想:
①當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,
即ak≥2k-1,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增知,
ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,
即n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
由①、②知,對(duì)任意n∈N*,
都有an≥2n-1.
即1+an≥2n,
∴≤.
∴+++…+≤+++…+=1-()n<1.