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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 高考大題專項(xiàng)練 七 極坐標(biāo)與參數(shù)方程（B）理
1.(2018·順德區(qū)一模)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線C1經(jīng)過坐標(biāo)變換后得到的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的極坐標(biāo)方程;
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,射線θ=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.
2.(2018·日照二模)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y-2=0.在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲線Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ.
(1)求曲線Γ的直角坐標(biāo)方程;
(
2、2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-4),直線l和曲線Γ相交于M,N兩點(diǎn),證明:|MN|2=|PM|·|PN|.
3.(2018·六安高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1過點(diǎn)P(a,1),其參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R),以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos 2θ+ 4cos θ-ρ=0.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若已知曲線C1和曲線C2交于A,B兩點(diǎn),且|PA|=2|PB|,求實(shí)數(shù)a 的值.
4.(2018·思明區(qū)校級(jí)模擬)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲
3、線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2,正三角形ABC的頂點(diǎn)都在C1上,且A,B,C依逆時(shí)針次序排列,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)求點(diǎn)B,C的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)P是圓C2:x2+(y+)2=1上的任意一點(diǎn),求|PB|2+|PC|2的取值 范圍.
1.解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),
轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1,
曲線C1經(jīng)過坐標(biāo)變換后得到的軌跡為曲線C2.
即+y′2=1,
故C2的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.
轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為+ρ2sin2θ=1.
(2)曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為ρ1=1,
由題意得到A(1,
4、),
將B(ρ2,)代入坐標(biāo)方程+ρ2sin2θ=1.
得到ρ2=,
則|AB|=|ρ1-ρ2|=-1.
2.(1)解:因?yàn)棣?ρcos2θ=ρ-2cos θ,
所以ρ-ρcos2θ=2cos θ,
所以ρsin2θ=2cos θ,
所以曲線Γ的直角坐標(biāo)方程為y2=2x.
(2)證明:因?yàn)橹本€l的方程為x-y-2=0,
所以定點(diǎn)P(-2,-4)在直線l上,
所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
將曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程聯(lián)立,
得t2-10t+40=0(*)
因?yàn)棣?(-10)2-4×1×40=40>0,
所以直線l和曲線Γ相交,設(shè)交點(diǎn)M,N所對應(yīng)參數(shù)
5、分別為t1,t2,
t1+t2=10,t1t2=40,
則|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|,
故|MN|2=|t1-t2|2=+-2t1t2
=(t1+t2)2-4t1t2
=(10)2-4×1×40=40,
又|PM|·|PN|=|t1|·|t2|=|t1t2|=40,
所以|MN|2=|PM|·|PN|.
3.解:(1)C1的參數(shù)方程(t為參數(shù),a∈R)
消參得普通方程為x-y-a+1=0,
C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cos θ-ρ=0兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcos θ- ρ2=0
即y2=4x.
(2)將曲線C1的
6、參數(shù)方程(t為參數(shù),a∈R)代入曲線C2:y2=4x得t2-t+1-4a=0,
由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0,得a>0,
設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由題意得|t1|=2|t2|,
即t1=2t2或t1=-2t2,
當(dāng)t1=2t2時(shí),解得a=,
當(dāng)t1=-2t2時(shí),解得a=,
綜上,a=或.
4.解:(1)因?yàn)榍€C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2,所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4,
因?yàn)檎切蜛BC的頂點(diǎn)都在C1上,且A,B,C依逆時(shí)針次序排列,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2cos 120°,2sin 120°),即B(-1,),
C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2cos 240°,2sin 240°),即C(-1,-).
(2)因?yàn)閳AC2:x2+(y+)2=1,
所以圓C2的參數(shù)方程0≤α<2π,
設(shè)點(diǎn)P(cos α,-+sin α),0≤α<2π,
所以|PB|2+|PC|2=(cos α+1)2+(sin α-2)2+(cos α+1)2+sin2α=16+4cos α-4sin α=16+8cos(α+),
所以|PB|2+|PC|2的取值范圍是[8,24].
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