2022-2023年高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2-2-3 獨立重復試驗與二項分布隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023年高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2-2-3 獨立重復試驗與二項分布隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3 1．設(shè)隨機變量ξ服從二項分布ξ～B，則P(ξ≤3)等于(　　) A. B. C. D. [解析]　P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C×6＋C·6＋C·6＋C·6＝. [答案]　C 2．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(　　) A. B.3× C.× D．C×3× [解析]　由題意知前3次取出的

2、均為黑球，第4次取得的為白球，故其概率為3×. [答案]　B 3．甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為3∶2，比賽時均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲隊打完4局才勝的概率為(　　) A．C3× B．C2× C．C3× D．C3× [解析]　在一次比賽中甲獲勝的概率為，輸?shù)母怕蕿?由題意知，甲隊打完4局才勝，則第4局甲必勝，前3局中有2局甲勝，故甲隊打完4局才勝的概率為C3×. [答案]　A 4．設(shè)隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，則P(η≥1)＝________. [解析]　P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)

3、2＝.即(1－p)2＝，解得p＝，故P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)4＝1－4＝. [答案]　 課內(nèi)拓展　課外探究 1．求隨機事件概率的步驟 第一步，確定事件的性質(zhì)，古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗，然后把所給問題歸結(jié)為四類事件中的某一類； 第二步，判斷事件的運算，和事件、積事件，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式． 第三步，運用公式， 古典概型：P(A)＝； 互斥事件：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 條件概率：P(B|A)＝； 獨立事件：P(AB)＝P(A)P(B)； n次獨立重復試驗：Pn(k)＝Cpk(1－p

4、)n－k求得． 概率問題常常與排列、組合知識相結(jié)合． 某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正、反面的概率都是.構(gòu)造數(shù)列{an}，使an＝記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. (1)求S8＝2的概率； (2)求S2≠0且S8＝2的概率． [解]　(1)S8＝2，需要8次中有5次正面，3次反面，則S8＝2的概率為P1＝C5·3＝. (2)S2≠0，即前2次同時出現(xiàn)正面或同時出現(xiàn)反面． ①當前2次同時出現(xiàn)正面時，S2＝2，要使S8＝2，則需要后6次出現(xiàn)3次反面，3次正面，相應的概率為P2＝××C33＝. ②當前2次同時出現(xiàn)反面時，S2＝－2，要使S8＝2，則需要后6次出現(xiàn)5次正面，1次反面，相應

5、的概率為P3＝×C5×1＝. 所以S2≠0，且S8＝2的概率為P2＋P3＝. [點評]　此題以數(shù)列的和為載體，實際是一個典型的n次獨立重復試驗恰有k次發(fā)生的問題，不過用相關(guān)知識前，需要進行有效的轉(zhuǎn)化． 2．服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大問題 一般地，若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，其中0n，則k取n時P(X＝k)最大； (2)如果(n＋1)p是不超

6、過n的正整數(shù)，則當k取(n＋1)p－1和(n＋1)p時，P(X＝k)都達到最大值； (3)如果(n＋1)p是不超過n的非整數(shù)，由于k≤(n＋1)p當且僅當k≤[(n＋1)p](注：[(n＋1)p]表示不超過(n＋1)p的最大整數(shù))，故k取[(n＋1)p]時P(X＝k)最大． 十層電梯從底層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？ [解]　依題意，從底層到頂層停不少于3次，應包括停3次，停4次，停5次，……，停9次． ∴從底層到頂層停不少于3次的概率p＝C3·6＋C45＋C54＋…＋C9＝(C＋C＋C＋…＋C)9＝[29－(C＋C＋C)]·9＝(29－46)9＝. 設(shè)從底層到頂層停k次，則其概率為Ck9－k＝C9，∴當k＝4或k＝5時，C最大，即C9最大． 故從底層到頂層停不少于3次的概率為，停4次或5次的概率最大． [點評]　二項分布中的Cpkqn－k正好是(q＋p)n的二項展開式Cqnp0＋Cqn－1p1＋…＋Cqn－kpk＋…＋Cq0pn中的第k＋1項，故可以利用二項式系數(shù)的增減性求最值．