《2022高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修2-2(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修2-2
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)
1.(2018·運(yùn)城期中)下列表述正確的是( D )
①歸納推理是由特殊到一般的推理;
②演繹推理是由一般到特殊的推理;
③類比推理是由特殊到一般的推理;
④分析法是一種間接證明法.
A.①②③④ B.②③④
C.①②④ D.①②
[解析] 根據(jù)題意,依次分析4個(gè)命題:
對(duì)于①、歸納推理是由特殊到一般的推理,符合歸納推理的定義,正確;
對(duì)于②、演繹推理是由一般到特殊的推理,符合演繹
2、推理的定義,正確;
對(duì)于③、類比推理是由特殊到特殊的推理,錯(cuò)誤;
對(duì)于④、分析法、綜合法是常見的直接證明法,④錯(cuò)誤;
則正確的是①②.
故選D.
2.觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特點(diǎn),按此規(guī)律,則第100項(xiàng)為( B )
A.10 B.14
C.13 D.100
[解析] 設(shè)n∈N*,則數(shù)字n共有n個(gè),
所以≤100即n(n+1)≤200,
又因?yàn)閚∈N*,所以n=13,到第13個(gè)13時(shí)共有=91項(xiàng),從第92項(xiàng)開始為14,故第100項(xiàng)為14.
3.欲證-<-成立,只需證( C )
A.(-)2<(-)2
B.(-)2<(-)2
C.(+)2
3、<(+)2
D.(--)2<(-)2
[解析] ∵-<0,-<0,
∴原不等式只需證+<+,
∴只需證(+)2<(+)2,故選C.
4.(2017·蚌埠期末)用反證法證明命題“若a2+b2=0(a,b∈R),則a,b全為0”,其反設(shè)正確的是( B )
A.a(chǎn),b至少有一個(gè)為0
B.a(chǎn),b至少有一個(gè)不為0
C.a(chǎn),b全部為0
D.a(chǎn),b中只有一個(gè)為0
[解析] 由于“a、b全為0(a、b∈R)”的否定為:“a、b至少有一個(gè)不為0”,故選B.
5.(2017·全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī).老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙
4、、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說:我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息,則( D )
A.乙可以知道四人的成績(jī)
B.丁可以知道四人的成績(jī)
C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)
D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)
[解析] 由甲說:“我還是不知道我的成績(jī)”可推知甲看到乙、丙的成績(jī)?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀,1個(gè)良好”.乙看丙的成績(jī),結(jié)合甲的說法,丙為“優(yōu)秀”時(shí),乙為“良好”;丙為“良好”時(shí),乙為“優(yōu)秀”,可得乙可以知道自己的成績(jī).丁看甲的成績(jī),結(jié)合甲的說法,甲為“優(yōu)秀”時(shí),丁為“良好”;甲為“良好”時(shí),丁為“優(yōu)秀”,可得丁可以知道自己的成績(jī).
故選D.
6.(2016·棗莊一模)用數(shù)學(xué)
5、歸納法證明“1+++…+1)”時(shí),由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是( C )
A.2k-1 B.2k-1
C.2k D.2k+1
[解析] 左邊的特點(diǎn)是分母逐漸增加1,末項(xiàng)為;
由n=k時(shí),末項(xiàng)為到n=k+1時(shí)末項(xiàng)為=,∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.
故選C.
7.觀察下列式子:1+<,1++<,1+++<,…,則可歸納出1+++…+小于( C )
A. B.
C. D.
[解析] 所猜測(cè)的分式的分母為n+1,而分子3,5,7…恰好是第n+1個(gè)正奇數(shù),即2n+1.故選C.
8.(2018·廣東二模)已知“正三角形的內(nèi)切圓
6、與三邊相切,切點(diǎn)是各邊的中點(diǎn)”,類比之可以猜想:正四面體的內(nèi)切球與各面相切,切點(diǎn)是( C )
A.各面內(nèi)某邊的中點(diǎn)
B.各面內(nèi)某條中線的中點(diǎn)
C.各面內(nèi)某條高的三等分點(diǎn)
D.各面內(nèi)某條角平分線的四等分點(diǎn)
[解析] 由平面中關(guān)于正三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì):“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”,根據(jù)平面上關(guān)于正三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)類比為空間中關(guān)于內(nèi)切球的性質(zhì),
可以推斷在空間幾何中有:“正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的位置是各正三角形的中心”,即各面內(nèi)某條高的三等分點(diǎn).
故選C.
9.已知a+b+c=0,則ab+bc+ca的值( D )
A.大于0 B.小于0
C.不小于0
7、 D.不大于0
[解析] 解法1:∵a+b+c=0,
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴ab+ac+bc=-≤0.
解法2:令c=0,若b=0,則ab+bc+ac=0,否則a、b異號(hào),∴ab+bc+ac=ab<0,排除A、B、C,選D.
10.已知a,b,c,d∈R,則P=ac+bd,Q=
的大小關(guān)系為( D )
A.P≥Q B.P>Q
C.Q>P D.Q≥P
[解析] Q2=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2=P2,
又∵Q≥0,∴Q≥P.
11.(20
8、16·浙江文,5)已知a,b>0,且a≠1,b≠1,若logab>1,則( D )
A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0
C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0
[解析] 根據(jù)題意,logab>1?logab-logaa>0?loga>0?或,即或.
當(dāng)時(shí),0a>1,∴b-1>0,b-a>0.∴(b-1)(b-a)>0,故選D.
12.已知函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為( B )
A. B.
C.2
9、D.
[解析] 由f ′(x)的圖象知,f ′(x)=2x+2,
設(shè)f(x)=x2+2x+c,由f(0)=0知,c=0,∴f(x)=x2+2x,
由x2+2x=0得x=0或-2.
故所求面積S=--2(x2+2x)dx==.
二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
13.(2018·大武口區(qū)校級(jí)一模)甲、乙、丙、丁四人分別從一個(gè)裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)完全相同的小球的袋中依次取出一個(gè)小球.現(xiàn)知道:①甲取出的小球編號(hào)為偶數(shù);②乙取出的小球編號(hào)比甲大;③乙、丙取出的小球編號(hào)差的絕對(duì)值比甲大.則丁取出的小球編號(hào)是3.
[解析] 由①②可知,
10、甲取出的小球編號(hào)為2,乙取出的小球編號(hào)可能是3或4.又|1-4|=3>2,|1-3|=2,
所以由③可知,乙取出的小球編號(hào)是4,丙取出的小球編號(hào)是1,
故丁取出的小球編號(hào)是3.
故答案為3.
14.(2018·晉城二模)設(shè)an=n(n+1),利用 n(n+1)=求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,設(shè)bn=n(n+1)(n+2),類比這種方法可以求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=.
[解析] bn=n(n+1)(n+2)
=,
可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=[1·2·3·4-0+2·3·4·5-1·2·3·4+3·4·5·6-2·3·4·5+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1
11、)n(n+1)(n+2)]=,
故答案為.
15.(2018·沈陽一模)在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程中,我們使用了倒序相加的方法,類比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=44.5.
[解析] 設(shè)S=sin21°+sin22°+…+sin289°,
則S=sin289°+sin288°+…+sin21°,
兩式倒序相加,得:
2S=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°)
=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)
=89,
∞S=44
12、.5.
故答案為44.5.
16.(2018·靜安區(qū)一模)類似平面直角坐標(biāo)系,我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系(兩條數(shù)軸的原點(diǎn)重合于O點(diǎn)且單位長(zhǎng)度相同)稱為斜坐標(biāo)系,在斜坐標(biāo)系xOy中,若=xe1+ye2(其中e1、e2分別為斜坐標(biāo)系的x軸,y軸正方向上的單位向量,x,y∈R),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),若在斜坐標(biāo)系xOy中,∠xOy=60°,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),則點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為.
[解析] 由題意可得=e1+2e2,
平方可得2=e+4e+4e1·e2
=1+4+4×1×1×=7,
可得||=,
故答案為.
三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共70分,解答
13、應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)(2016·泉州高二檢測(cè))已知a>0,b>0用分析法證明:≥.
[證明] 因?yàn)閍>0,b>0,
要證≥,
只要證,(a+b)2≥4ab,只要證(a+b)2-4ab≥0,
即證a2-2ab+b2≥0,
而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立,
故≥成立.
18.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)滿足下列條件:
(1)f()=1,(2)f(xy)=f(x)+f(y),)(3)f(x)的值域?yàn)閇-1,1].試證明:不在f(x)的定義域內(nèi).
[證明] 假設(shè)在f(x)的定義域內(nèi),因?yàn)閒(xy)=f(x)+f(y),所
14、以f()=f(×)=f()+f()=2.
又f(x)的值域?yàn)閇-1,1],2?[-1,1],
所以不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi).
19.(本題滿分12分)我們知道,在△ABC中,若c2=a2+b2,則△ABC是直角三角形.現(xiàn)在請(qǐng)你研究:若cn=an+bn(n>2),問△ABC為何種三角形?為什么?
[解析] 銳角三角形 ∵cn=an+bn (n>2),∴c>a, c>b,由c是△ABC的最大邊,所以要證△ABC是銳角三角形,只需證角C為銳角,即證cosC>0.
∵cosC=,
∴要證cosC>0,只要證a2+b2>c2,①
注意到條件:an+bn=cn,
于是將①等價(jià)變形為:(a
15、2+b2)cn-2>cn.②
∵c>a,c>b,n>2,∴cn-2>an-2,cn-2>bn-2,
即cn-2-an-2>0,cn-2-bn-2>0,
從而(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-an-bn
=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0,
這說明②式成立,從而①式也成立.
故cosC>0,C是銳角,△ABC為銳角三角形.
20.(本題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
16、
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
[解析] (1)選擇②式,計(jì)算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°
=1-sin30°=1-=.
(2)推廣后的三角恒等式為
sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.
證明如下:
17、sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
21.(本題滿分12分)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)稱性質(zhì).對(duì)于橢圓+=1(a>b>0)有如下命題:AB是橢圓+=1(a>b>0)的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn),則kOM·kAB=-為定值.那么對(duì)于雙曲線-=1(a>0,b>0),則有命題:AB是雙曲線-=1(a>0,b>0)
18、的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn),猜想kOM·kAB的值,并證明.
[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則有
kOM==,kAB=,
即kOM·kAB==.
將A、B坐標(biāo)代入雙曲線方程-=1中可得:
-=1①
-=1②
①-②得:=,
∴=,即kOM·kAB=.
22.(本題滿分14分)(2017·馬鞍山高二檢測(cè))已知數(shù)列{xn}滿足x1=,xn+1=,n∈N* .猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
[解析] 由x1=及xn+1=,得x2=,x4=,x6=,
由x2>x4>x6猜想:數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),已證命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即x2k>x2k+2,那么x2k+2-x2k+4=-=
==
>0,
即x2(k+1)>x2(k+1)+2,
也就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.結(jié)合(1)和(2)知命題成立.