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1、2022屆高考數(shù)學二輪復習 高考大題專項練 五 解析幾何（A）理
1.(2018·江西九江模擬)給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F(,0),其短軸上的一個端點到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程;
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過點P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個公共點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N.
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.
2.(2018·武侯區(qū)校級模擬)已知橢圓C的左右頂點
2、分別為A,B,A點坐標為(-,0),P為橢圓C上不同于A,B的任意一點,且滿足kAP·kBP=-.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設F為橢圓C的右焦點,直線PF與橢圓C的另一交點為Q,PQ的中點為M,若|OM|=|QM|,求直線PF的斜率.
3.已知拋物線C頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;
(3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.
3、
4.(2018·紅橋區(qū)一模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C與y軸交于A,B兩點,且|AB|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點P是橢圓C上的一個動點,且點P在y軸的右側.直線PA,PB與直線x=4分別交于M,N兩點.若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E,F,求點P橫坐標的取值范圍及|EF|的最大值.
1.(1)解:由題意知c=,a=,所以b=1.
所以橢圓的方程為+y2=1,
“準圓”的方程為x2+y2=4.
(2)①解:因為“準圓”x2+y2=4與y軸正半軸的交點為P(0,2),
設過點P(0,2),且與橢圓有一個公共點的直線為y=
4、kx+2,
聯(lián)立方程組
消去y,
得到(1+3k2)x2+12kx+9=0,
因為橢圓與y=kx+2只有一個公共點,
所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,
解得k=±1.
所以l1,l2的方程分別為y=x+2,y=-x+2.
②證明:a.當l1,l2中有一條無斜率時,不妨設l1無斜率,因為l1與橢圓只有一個公共點,
則其方程為x=或x=-.
當l1的方程為x=時,此時l1與準圓交于點(,1),(,-1),
此時經過點(,1)(或(,-1))且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1(或y=-1),
即l2為y=1(或y=-1),顯然直線l1,l2垂直;
同理可證l
5、1方程為x=-時,直線l1,l2垂直.
b.當l1,l2都有斜率時,設點P(x0,y0),其中+=4,
設經過點P(x0,y0)與橢圓只有一個公共點的直線為y=t(x-x0)+y0,
聯(lián)立方程組
消去y得到x2+3[tx+(y0-tx0)]2-3=0,
即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,
Δ=[6t(y0-tx0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,
經過化簡得到(3-)t2+2x0y0t+1-=0,
因為+=4,
所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,
設l1,l2的斜率分別為t1,t2,
因為l
6、1,l2與橢圓都只有一個公共點,
所以t1,t2滿足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,
所以t1·t2==-1,
即l1,l2垂直.
綜合a和b知l1,l2垂直,
因為l1,l2經過點P(x0,y0),又分別交其“準圓”于點M,N,且l1,l2垂直,
所以線段MN為“準圓”x2+y2=4的直徑,
所以|MN|=4.
2.解:(1)設P(x,y)(x≠±),
所以kAP·kBP=-,所以·=-,
整理得+y2=1(x≠±),
因為A,B兩點在橢圓上,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由題可知,斜率一定存在且k≠0,
設過焦點F的直線方程為x=my
7、+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
聯(lián)立則(m2+2)y2+2my-1=0,
所以所以
所以|OM|=,
而|QM|=|PQ|
=·
=·
=·.
因為|OM|=|QM|,
所以=·,
所以m2=,所以k2=2,所以k=±.
因此,直線PF的斜率為±.
3.解:(1)因為拋物線C的焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,
所以=,
得c=1,
所以F(0,1),即拋物線C的方程為x2=4y.
(2)設切點A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=4y得y′=x,
所以切線PA:y-y1=x1(x-x1),
8、有y=x1x-+y1,
而=4y1,
即切線PA:y=x1x-y1,
同理可得切線PB:y=x2x-y2.
因為兩切線均過定點P(x0,y0),
所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,
由此兩式知點A,B均在直線y0=xx0-y上,
所以直線AB的方程為y0=xx0-y,
即y=x0x-y0.
(3)設點P的坐標為(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
則|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y1+1)·(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1.
由
得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,
有y1+y2=x′2-2
9、y′,y1y2=y′2,
所以|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1
=y′2+(y′+2)2-2y′+1
=2(y′+)2+,
當y′=-,x′=時,
即P(,-)時,|AF|·|BF|取得最小值.
4.解:(1)由題意可得,2b=2,即b=1,
e==,得=,
解得a2=4,
橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)法一 設P(x0,y0)(0
10、
線段MN的中點為(4,),
所以圓的方程為(x-4)2+(y-)2=(1-)2,
令y=0,則(x-4)2+=(1-)2,
因為+=1,所以=-,
所以(x-4)2+-5=0,
設交點坐標為(x1,0),(x2,0),
可得x1=4+,x2=4-,
因為這個圓與x軸相交,該方程有兩個不同的實數(shù)解,
所以5->0,解得x0∈(,2].
則|x1-x2|=2(0,解得x0∈(,2].
該圓的直徑為
|-1-[+1] |=|2-|,
圓心到x軸的距離為
|-1+[+1]|=||,
該圓在x軸上截得的弦長為2=2(
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