2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)41 空間幾何體的表面積和體積 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)41 空間幾何體的表面積和體積 理 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°,半徑為l的扇形,則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積比是(  ) A.32 B.21 C.43 D.53 解析:底面半徑r=l=l,故圓錐中S側(cè)=πl(wèi)2,S表=πl(wèi)2+π2=πl(wèi)2,所以表面積與側(cè)面積的比為43. 答案:C 2.[2019·東北三省四市聯(lián)考]某幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為(  ) A.12+2 B.8+2 C.4+4 D.8+4 解析:本題考查三視圖及幾何體的表面積.由三視圖可知,該幾何體是底面為正

2、方形,一條棱垂直于底面的四棱錐,其底面邊長(zhǎng)為2,高為2,故該四棱錐的表面積為S=2×2+2××2×2+2××2×2=8+4,故選D. 答案:D 3.[2019·益陽(yáng)市,湘潭市高三調(diào)研]如圖,網(wǎng)格紙上小正方體的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的體積是(  ) A. B. C. D.4 解析:由三視圖可得三棱錐為圖中所示的三棱錐A-PBC(放到棱長(zhǎng)為2的正方體中),VA-PBC=×S△PBC×AB=××2×2×2=.故選B. 答案:B 4.[2019·開封市高三考試]某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為(  ) A.

3、B. C. D. 解析:由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120°,即該幾何體是某圓錐的三分之一部分,又由側(cè)視圖知幾何體的高為4,底面圓的半徑為2,所以該幾何體的體積V=××π×22×4=π,故選D. 答案:D 5.[2019·山東濰坊模擬]某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(  ) A.4+2 B.4+4 C.6+2 D.6+4 解析:由三視圖還原幾何體和直觀圖如圖所示,易知BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,所以BC⊥PC,又AP=AC=BC=2,所以PC==2,又AB=2,所以S△PBC=S△PAB=×2×2=2,S△ABC=S△PAC=×2×

4、2=2,所以該幾何體的表面積為4+4. 答案:B 6.[2018·福州高三期末]已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一球面上,則這個(gè)球的體積等于(  ) A.π B.π C.16π D.32π 解析:設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,依題意得,R2=(3-R)2+()2,解得R=2,所以所求球的體積V=πR3=π×23=π,故選B. 答案:B 7.[2018·福州高三期末]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(  ) A.14 B.10+4 C.+4 D.+4 解析:解法一 由三視圖可知,該

5、幾何體為一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)小三棱錐后剩余的幾何體,如圖所示.所以該多面體的表面積S=2×+×(22-12)+×22+2×2+××()2=+4,故選D. 解法二 由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)小三棱錐后剩余的幾何體,如圖所示.所以該多面體的表面積S=S三棱柱表-S三棱錐側(cè)+S三棱錐底=-3×+××()2=+4,故選D. 答案:D 8.[2019·山西八校聯(lián)考]已知一個(gè)球的表面上有A,B,C三個(gè)點(diǎn),且AB=AC=BC=2,若球心到平面ABC的距離為1,則該球的表面積為(  ) A.20π B.15π C.10π D.2π 解析:設(shè)球心為O,△ABC的中心為O′,因?yàn)?/p>

6、AB=AC=BC=2,所以AO′=×3=2,因?yàn)榍蛐牡狡矫鍭BC的距離為1,所以O(shè)O′=1,所以AO==,故該球的表面積S=4π×(OA)2=20π.故選A. 答案:A 9.[2019·石家莊摸底考試]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為(  ) A. B. C.8(2π+1) D.16(π+1) 解析:由三視圖得該幾何體為圓錐與正四棱錐的組合體,其中圓錐的底面半徑為2,高為4,正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,所以該幾何體的體積為×2×2×2+×π×22×4=,故選B. 答案:B 10.[2019·南昌調(diào)研]已知三棱錐P

7、-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC滿足AB=2,∠ACB=90°,PA為球O的直徑且PA=4,則點(diǎn)P的底面ABC的距離為(  ) A. B.2 C. D.2 解析:取AB的中點(diǎn)O1,連接OO1,如圖,在△ABC中,AB=2,∠ACB=90°,所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓,所以O(shè)1A=,且OO1⊥AO1,又球O的直徑PA=4,所以O(shè)A=2,所以O(shè)O1==,且OO1⊥底面ABC,所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO1=2. 答案:B 二、填空題 11.[2019·南昌模擬]如圖,直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若將

8、直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積為________. 解析:本題考查幾何體的表面積.所得幾何體的表面積是底面圓半徑為1、高為1的圓柱的下底面積、側(cè)面積和底面圓半徑為1、高為1的圓錐的側(cè)面積之和,即為π+2π+π=(3+)π. 答案:(3+)π 12.[2019·山東濰坊模擬]已知正四棱柱的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,且球的表面積為12π,當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí),正四棱柱的高為________. 解析:設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,球的半徑為r,由題意知4πr2=12π,所以r2=3,又2a2+h2=(2r)2=12,所以a2=6-,所以正四棱柱的體積V=a2h=h,則V′=6

9、-h(huán)2,由V′>0,得02,所以當(dāng)h=2時(shí),正四棱柱的體積最大,Vmax=8. 答案:2 13.[2019·福州四校聯(lián)考]已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,AB為球O的直徑,若該三棱柱的體積為,BC=3,BD=,∠CBD=90°,則球O的體積為________. 解析:設(shè)A到平面BCD的距離為h,∵三棱錐的體積為,BC=3,BD=,∠CBD=90°,∴××3××h=,∴h=2,∴球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點(diǎn)為E,連接OE,則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD,∵△BCD外接圓的直徑CD=2,∴球O的半徑OD=2,∴球O的體積為.

10、 答案: 14.[2018·江蘇卷,10]如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________. 解析:本題考查組合體體積的計(jì)算. 多面體由兩個(gè)完全相同的正四棱錐組合而成,其中正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為1, ∴其體積為×()2×1=,∴多面體的體積為. 答案: [能力挑戰(zhàn)] 15.[2019·廣東廣州調(diào)研]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(  ) A.4+4+2 B.14+4 C.10+4+2 D.4 解析:如圖,該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形,有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐S

11、-ABCD.連接AC,因?yàn)锳C==2,SC==2,SD=SB==2,CD==2,SB2+BC2=(2)2+42=24=SC2,故△SCD為等腰三角形,△SCB為直角三角形.過(guò)D作DK⊥SC于點(diǎn)K,則DK==,△SCD的面積為××2=2,△SBC的面積為×2×4=4.所求幾何體的表面積為×(2+4)×2+2××2×2+4+2=10+4+2,選C. 答案:C 16.[2019·河北聯(lián)盟考試]某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積是(  ) A.13 B.14 C.15 D.16 解析:所求幾何體可看作是將長(zhǎng)方體截去兩個(gè)三棱柱得到的幾何體,在長(zhǎng)方體中還原該幾何體,如圖中A

12、BCD-A′B′C′D′所求,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,3,兩個(gè)三棱柱的高為2,底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為3和1.5的直角三角形,故該幾何體的體積V=4×2×3-2××3××2=15,故選C. 答案:C 17.[2019·廣州調(diào)研]如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1,圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的外接球的表面積為________. 解析:依題意可得該幾何體的直觀圖為圖中所示的三棱錐B-CDE,且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,1),C(0,1,0),D(1,2,0),E(0,2,0),設(shè)球心為P(x,y,z),依題意可得|PB|=|PC|=|PD|=|PE|.由|PD|=|PE|得(x-1)2+(y-2)2+z2=x2+(y-2)2+z2,解得x=.由|PC|=|PE|得x2+(y-1)2+z2=x2+(y-2)2+z2,解得y=.由|PB|=|PE|得x2+y2+(z-1)2=x2+(y-2)2+z2,解得z=.故P,故三棱錐外接球的半徑R=|PB|==,故該三棱錐的外接球的表面積S=4π×=11π. 答案:11π

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