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1、安徽省2022中考數(shù)學(xué)決勝一輪復(fù)習(xí) 第4章 三角形 第4節(jié) 解直角三角形習(xí)題
1.在∠A,∠B都是銳角的△ABC中,+2=0,則∠C的度數(shù)是( C )
A.75° B.90°
C.105° D.120°
2.△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方體邊長為1),AD⊥BC于D,下列選項中,錯誤的是( C )
A.sin α=cos α B.tan C=2
C.sin β=cos β D.tan α=1
3.如圖,邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,半徑為1的⊙O的圓心O在格點上,則∠BED的正切值等于( D )
A. B.
C.2 D.
4.一座
2、樓梯的示意圖如圖所示,BC是鉛垂線,CA是水平線,BA與CA的夾角為θ.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯,已知CA=4米,樓梯寬度1米,則地毯的面積至少需要( D )
A. 米2 B. 米2
C.(4+) 米2 D.(4+4tan θ) 米2
5.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos∠B=,則BC邊長為( D )
A.7 B.8
C.8或17 D.7或17
6.如圖,A,B,C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則tan∠BAC的值為__1__.
7.一般地,當(dāng)α,β為任意角時,sin(α+β)與sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=s
3、in αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°+30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=1.類似地,可以求得sin 15°的值是____.
8.(原創(chuàng)題)計算:-2+|tan 60°-2|+2cos 30°.
解:原式=4+2-+2×=6-+=6.
9.如圖,AD是△ABC的中線,tan B=,cos C=,AC=.
求:(1)BC的長;
(2)sin∠ADC的值.
解:(1)過點A作AE⊥BC于點E,∵cos C=,∴∠C=45°,在Rt△ACE中,C
4、E=AC·cos C=1,∴AE=CE=1,在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4;
(2)∵AD是△ABC的中線,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1,∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.
10.如圖,有一個三角形的鋼架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(+1)m.請計算說明,工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1 m的圓形門?
解:過點B作BD⊥AC,垂足為點D.在Rt△ABD中,∠ABD=90°-∠A=60°,則AD=tan∠ABD×BD=BD;在Rt△BCD中,∠C=45°,∴CD=
5、BD.∴AC=AD+CD=BD+BD=(+1)BD=2(+1),解得:BD=2<2.1.故工人師傅搬運此鋼架能通過這個直徑為2.1 m的圓形門.
11.如圖,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求邊AC的長;
(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D,求的值.
解:(1)過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,tan∠ABC==,設(shè)AE=3x,BE=4x,根據(jù)勾股定理,得AB=5x=5,則x=1,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∴AC===;
(2)如圖BC的垂直平分線交AB
6、于D,交BC于F,則BF=CF=BC=2.5,∴EF=FC-EC=2.5-1=1.5.∵∠AEC=∠DFC=90°,∴DF∥AE,∴===.
12.小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國——南亞博覽會”的豎直標(biāo)語牌CD.她在A點測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°,測得隧道底端B處的俯角為30°(B,C,D在同一條直線上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求標(biāo)語牌CD的長(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).(參考數(shù)據(jù):sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,≈1.73)
解:過點A作AE⊥BC于點E,依題意有∠DAE=42°,∠BA
7、E=30°.在Rt△AEB中,BE=AB=×10=5(m),AE=AB×cos∠BAE=10×cos 30°=10×=5(m).在Rt△DAE中,∵tan∠DAE=,∴DE=5×tan 42°≈5×1.73×0.90=7.785(m).∴CD=DE+BE-BC=7.785+5-6.5≈6.3(m).∴標(biāo)語牌CD的長約為6.3 m.
13.如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖,燈柱AC的高為11 m,燈桿AB與燈柱AC的夾角∠A=120°,路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE長為18 m,從D,E兩處測得路燈B的仰角分別為α和β,且tan α=6,tan β=,求燈桿AB的長度.
解:過點B作BF⊥CE,交CE于點F,過點A作AG⊥AF,交BF于點G,則FG=AC=11.由題意得∠BDE=α,tan∠β=.設(shè)BF=3x,則EF=4x,在Rt△BDF中,∵tan∠BDF=,∴DF===x,∵DE=18(m),∴x+4x=18(m).∴x=4(m).∴BF=12(m),∴BG=BF-GF=12-11=1(m),∵∠BAC=120°,∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°.∴AB=2BG=2(m),∴燈桿AB的長度為2 m.