2022年高考數(shù)學二輪復習 第三篇 方法應用篇 專題3.2 換元法（講）理

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 第三篇 方法應用篇 專題3.2 換元法（講）理 換元法又稱輔助元素法、變量代換法．通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來；或者把條件與結論聯(lián)系起來；或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化. 縱觀近幾年高考對于轉化與化歸思想的的考查，換元法是轉化與化歸思想中考查的重點和熱點之一.換元法是解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，使問題得到簡化，變得容易處理.換元法的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過換元變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡

2、單化，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來；或者把條件與結論聯(lián)系起來；或者變?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化.主要考查運用換元法處理以函數(shù)、三角、不等式、數(shù)列、解析幾何為背景的最值、值域或范圍問題，通過換元法把不熟悉、不規(guī)范、復雜的典型問題轉化為熟悉、規(guī)范、簡單的典型問題，起到化隱形為顯性、化繁為簡、化難為易的作用，以優(yōu)化解題過程.要用好換元法要求學生有較強轉化與化歸意識、嚴謹治學態(tài)度和準確的計算能力.從實際教學來看，換元法是學生掌握最為模糊，知道方法但不會靈活運用的方法.分析原因，除了換元法比較靈活外，主要是學生沒有真正掌握換元法的類型和運用其解題的題型與解題規(guī)律，以至于遇到需要

3、換元的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)換元法的類型與相關題型作以總結和方法的探討.學… 換元的常見方法有：局部換元、三角換元等，在高考中換元法常適用以下幾種類型： 1、 局部換元 局部換元是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn). 1.1對于形如的值域（最值）問題，令，化為一元二次函數(shù)在某個區(qū)間上的值域（最值）問題處理. 例1．【xx屆湖南省岳陽縣第一中學高三上學期第一次月考】設函數(shù)，是定義域為R上的奇函數(shù)． （1）求的值； （2）已知，函數(shù)，，求的值域； （3）若，試問是否存在正整數(shù)，使得對恒

4、成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】試題分析： 試題解析：（1）先利用為上的奇函數(shù)得求出以及函數(shù)的表達式，（2）先由得，得出函數(shù)的單調性，再對進行整理，整理為用表示的函數(shù)，最后利用函數(shù)的單調性以及值域，得到的值域． （3）利用換元法，將不等式轉化為對勾函數(shù)問題求解，注意分類討論思想的應用． （3）=，， 假設存在滿足條件的正整數(shù)，則， ①當時，． ②當時，，則，令，則，易證在上是增函數(shù)，∴． ③當時，，則，令，則，易證在上是減函數(shù)，∴． 綜上所述，，∵是正整數(shù)，∴=3或4． ∴存在正整數(shù)=3或4，使得對恒成立

5、． 1.2、分式型函數(shù)利用均值不等式求最值問題(局部換元)； 例2．【xx屆上海市長寧、嘉定區(qū)高三一?！恳阎瘮?shù)． （1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)； （2）設，求關于的函數(shù)在時的值域的表達式； （3）若關于的不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）見解析（2）（3）． 【解析】試題分析：（1）判斷定義域是否關于原點對稱，計算判斷其與的關系； （2）令，故，換元得，轉化為二次函數(shù)，分類討論求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可. 試題解析： （1）函數(shù)的定義域為，對任意， ， 所以，函數(shù)是偶函數(shù)． （2）， 令，因為，所以，故， 原函數(shù)可化為， ，

6、 圖像的對稱軸為直線， 當時，函數(shù)在時是增函數(shù)，值域為； 當時，函數(shù)在時是減函數(shù)，在時是增函數(shù)，值域為． 綜上， （3）由，得， 當時， ，所以，所以， 所以， 恒成立． 令，則， ， 由，得，所以， ． 所以， ，即的取值范圍為． 1.3、常數(shù)換元 例3.【xx屆江蘇省南京師范大學附屬中學、天一、海門、淮陰四校高三聯(lián)考】已知，則的值為__________． 【答案】 【解析】由題意得，解得． ∴． 答案： . 1.4.復合函數(shù)中的換元 例4.已知函數(shù)，，其中且，． （I）若，且時，的最小值是－2,求實數(shù)的值； （II）若，且時，有恒成

7、立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（I）；（II）. 【解析】 （I）∵， ∴ ，………………2分 易證在上單調遞減，在上單調遞增，且， ∴，，………………3分 ∴當時，，由，解得（舍去）………………4分 當時，，由，解得.………………5分 綜上知實數(shù)的值是.………………6分 ∴.………………11分 故實數(shù)的取值范圍為.…………………12分 1.5.局部換元法與不等式 局部換元法在解關于某個函數(shù)的不等式和復雜的不等式證明中，經(jīng)常用到，通過換元將復雜的不等式問題轉化為簡單不等式、超越不等式化為一般不等式，將不熟悉的不等式問題轉化為熟悉的不等式問題,如在解

8、可化為形式為不等式時，常令，將復雜不等式化為一元二次不等式，解出t的范圍，再解不等式關于的簡單不等式. 例5.【xx屆甘肅省西北師范大學附屬中學】在等腰梯形中，，其中，以為焦點且過點的雙曲線的離心率為，以為焦點且過點的橢圓的離心率為，若對任意都有不等式恒成立，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例6.【xx屆福建省南平市高三上學期第一次綜合質量檢查（2月）】已知實數(shù)滿足，求的取值范圍__________． 【答案】 【解析】作出可行域如圖所示： 令表示可行域內的點到原點的斜率，由圖聯(lián)立直線可得. . 易知在單調遞

9、減，在單調遞增. 時， ， 時， ， 時， ， 所以. 故答案為： . 1.6 局部換元法與數(shù)列 在已知數(shù)列遞推公式求出通項公式中，常用到構造等比或等差數(shù)列法，其實質就是換元法，證明與數(shù)列有關的不等式，其實質就是求數(shù)列的最值，也常用到換元法. 例7.已知在數(shù)列中，，當時，其前項和滿足。 (Ⅰ) 求的表達式；(Ⅱ) 設，數(shù)列的前項和．證明 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 見解析. 【解析】 (1)當時，代入，得， 由于，所以，令=，則=2， 所以{}是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以=，所以 (2) ∴所以 1.7局部換元法與圓錐曲線聯(lián)系 對圓錐曲線的最值

10、問題或取值范圍問題，常轉化為函數(shù)的最值問題，當函數(shù)解析式較為復雜時，常用換元法進行轉化. 例8.等腰直角△內接于拋物線，為拋物線的頂點，，△的面積是16，拋物線的焦點為，若是拋物線上的動點，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因為等腰直角△內接于拋物線，為拋物線的頂點， 所以，可設，得，將代入，得，拋物線的方程為，所以，設，則，設，則 ，時，“” 成立.故選C. 例9.平面內動點P(x，y)與兩定點A(-2, 0), B(2,0

11、)連線的斜率之積等于，若點P的軌跡為曲線E，過點 直線 交曲線E于M，N兩點． （Ⅰ）求曲線E的方程，并證明：MAN是一定值；（Ⅱ）若四邊形AMBN的面積為S，求S的最大值 【答案】（Ⅰ）,證明見解析 (Ⅱ)16. 【解析】（Ⅰ）設動點P坐標為，當時，由條件得：， 化簡得，曲線E的方程為，, 由題可設直線的方程為,聯(lián)立方程組可得 ,化簡得： 設,則， 又,則 , 所以,所以的大小為定值 (Ⅱ) ，令 設 在上單調遞減． 由，得K=0，此時有最大值16. 2.三角換元 在求函數(shù)值域（最值）或不等式證明中，若變量范圍為（0,1）或[-1

12、,1] ，利用與三角函數(shù)值域相似性，可設或；若二元函數(shù)二元滿足的條件可化為平方和為1的形式,利用與正余弦的平方和為1的相似性，可以用三角代換，化二元函數(shù)為三角函數(shù)的值域（最值）問題求解，把二元函數(shù)化為一元函數(shù)，把不熟悉的二元函數(shù)函數(shù)問題轉化為熟悉的三角函數(shù)問題，實質上圓的參數(shù)方程，橢圓的參數(shù)方程就是三角代換，利用三角換元，可以去根號，也可以把二元函數(shù)化為一元函數(shù)求解.如求函數(shù)y＝＋的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域. 例10.設實數(shù)x，y，m，n滿足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A. B．2

13、 C. D.2(10) 【答案】A. 【解析】設x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈(0°，180°)． ∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故選A項． 例11.已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值； 【答案】（1）最小值－，最大值.（2）最大值，最小值. （2）由(1)知x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ. ∴當θ＝2kπ(k∈Z)時，x2＋y2有最大值，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)時，x2＋y2有最小值. 【反思提升】（1）在用換元法處理不等式時，先將不等式化簡看是否是某個函數(shù)的不等式問題，若是，常將這個函數(shù)換元.（2）在利用構造法求數(shù)列通項公式時，常用換元法.（3）對復合函數(shù)的零點問題或關于某個函數(shù)的方程解得個數(shù)問題，常用換元法，令內函數(shù)為t或方程中的函數(shù)為t,把復合函數(shù)的零點問題轉化為外函數(shù)的零點問題和內函數(shù)已知函數(shù)值求值問題；將復雜方程轉化為兩個簡單方程問題.