《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專(zhuān)題3.1 配方法 專(zhuān)題(講)理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專(zhuān)題3.1 配方法 專(zhuān)題(講)理(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專(zhuān)題3.1 配方法 專(zhuān)題(講)理
一、配方法的定義:配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡(jiǎn).如何配方,需要我們根據(jù)題目的要求,合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧,完成配方.配方法是數(shù)學(xué)中化歸思想應(yīng)用的重要方法之一.
二、配方法的基本步驟:配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式,具體操作時(shí)通過(guò)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,配湊成完全平方式,注意要減去所添的項(xiàng),最常見(jiàn)的配方是進(jìn)行恒等變形,使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于:已知或者未知中含有二次方程、二
2、次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問(wèn)題.如:
三、常見(jiàn)的基本配方形式
可得到各種基本配方形式,如: ;
;
;
結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì),相應(yīng)有另外的一些配方形式,如:
;
。
本文就高中階段出現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題加以類(lèi)型的總結(jié)和方法的探討.
1 配方法與函數(shù)
二次函數(shù)或通過(guò)換元能化為二次函數(shù)的函數(shù)均可用配方法求其最值.在換元的過(guò)程中要注意引入?yún)?shù)的取值范圍。
例1.【xx高考浙江文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=x2+bx,則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
3、C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
由題意知,最小值為.
令,則,
當(dāng)時(shí),的最小值為,所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”;
當(dāng)時(shí),的最小值為0,的最小值也為0,所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”.故選A.
例2.【xx屆浙江省臺(tái)州中學(xué)高三上學(xué)期第三次統(tǒng)練】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),若存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若為正整數(shù),方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足,求的最小值.
【答案】(1)或;(2)11.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),
由題意可知, 在上有兩個(gè)不等實(shí)根,或在上有兩個(gè)不等實(shí)根,則或,
解得或
4、即實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
(2)設(shè),則由題意得,即 ,
所以,由于
①當(dāng)時(shí), ,且無(wú)解,
②當(dāng)時(shí), ,且,于是無(wú)解,
③當(dāng)時(shí), ,且,由,得,此時(shí)有解,
綜上所述, ,當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為11.
2 配方法與三角函數(shù)
在三角函數(shù)中,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系及其變形
、二倍角公式及其變形為考察配方法提供了平臺(tái),
例3.【xx屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期第二次月考】函數(shù)f(x)=cos2x+sinx的最小值為_(kāi)_______.
【答案】-2
【解析】 ,所以當(dāng) 時(shí), 取最小值
3配方法與解三角形
在解三角形中,余弦定理為考察配方法提供了平臺(tái),因?yàn)?/p>
5、對(duì)于三角形的三邊,如果能用一個(gè)變量給表示出來(lái),就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題,可以通過(guò)配方法來(lái)解。
例4.【xx屆河北省石家莊市二?!吭谙ED數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中記載了著名的海倫公式,利用三角形的三條邊長(zhǎng)求三角形面積,若三角形的三邊長(zhǎng)為, , ,其面積,這里.已知在中, , ,其面積取最大值時(shí)__________.
【答案】
4 配方法與平面向量
例5.【xx屆山東省德州市高三上學(xué)期期中】已知向量.
(1)當(dāng)時(shí),求的值;
(2)當(dāng)時(shí), (為實(shí)數(shù)),且,試求的最小值.
【答案】(1) 或;(2) .
【解析】試題分析:(1)由可得,整理得,解方程可得的值;(2)由可得,根
6、據(jù)數(shù)量積的計(jì)算并將代入整理得,因此,結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可得最小值為。
試題解析:
(1)∵,
∴,
整理得,
解得或.
∴或。
(2)∵,
∴,
即
當(dāng)時(shí), ,
∴
式化簡(jiǎn)得
∴,
∴當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值是.
5配方法與不等式
例6.【xx年高考二輪】已知不等式|y+4|-|y|≤2x+對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,則常數(shù)a的最小值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】 ∵|y+4|-|y|≤|y+4-y|=4,
∴(|y+4|-|y|)max=4,要使不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立,應(yīng)
7、有2x+≥4,
∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4,
令f(x)=-(2x-2)2+4,則a≥f(x)max=4,∴a的最小值為4,故選D.
6 配方法與導(dǎo)數(shù)
例7.【xx屆廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高三11月考】設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),其中.
(1)求的取值范圍;
(2)若,求的最大值.
【答案】(1) . (2)
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?
因?yàn)?
所以.
由題意得方程有兩個(gè)不等的正根m,n(其中).
故,且.
所以
即的取值范圍是.
(2)當(dāng)時(shí), .
設(shè),
則,
于是有,
所以
,
令,
則.
所
8、以在上單調(diào)遞減,
所以.
故的最大值是。
7 配方法與數(shù)列
例 8.數(shù)列{an}中,如果存在ak,使得ak>ak-1且ak>ak+1成立(其中k≥2,k∈N*),則稱ak為數(shù)列{an}的峰值.若an=-3n2+15n-18,則{an}的峰值為( )
A.0 B.4 C.3(13) D.3(16)
【答案】A
【解析】 因?yàn)閍n=-3+4(3),且n∈N*,所以當(dāng)n=2或n=3時(shí),an取最大值,最大值為a2=a3=0.故選A.
8 配方法與立體幾何
例9.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3(3),∠
9、ABC=60°,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成如圖所示的四面體,點(diǎn)M為AC的中點(diǎn),∠BMD=60°,P在線段DM上,記DP=x,PA+PB=y(tǒng),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為( )
【答案】D
【解析】由題意可知AM=AB=,BM=MD=1,∵DP=x,∴MP=1-x,
在Rt△AMP中,PA==,
在△BMP中,由余弦定理得PB==,
∴y=PA+PB=+=+(0≤x≤1)
∵當(dāng)0≤x≤時(shí),函數(shù)y單調(diào)遞減,當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)y單調(diào)遞增,∴對(duì)應(yīng)的圖象為D.
9 配方法與解析幾何
例10.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,是拋物線上不同于原點(diǎn)的相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.
(1)求證:點(diǎn)共線;
(2)若,當(dāng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)設(shè),則,
因?yàn)?,所以,又,所?
因?yàn)椋?
且,
所以,又都過(guò)點(diǎn),所以三點(diǎn)共線.
【反思提升】綜合上面的九種類(lèi)型,配方法在高考題目中頻繁出現(xiàn),配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問(wèn)題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問(wèn)題的解決.主要用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解以及與最值一類(lèi)有關(guān)的問(wèn)題中.對(duì)于應(yīng)用配方法的意識(shí)在于平時(shí)的訓(xùn)練與積累。