5、】1
【解析】設(shè)、、為長方體的共頂點的三條棱的方向向量，因非零向量，故可為長方體體對角線的方向向量，則、、分別為
則有
解：由“線性相關(guān)”的定義，知存在不全為零的實數(shù)k1，k2，k3，使得
．
即k1(1，0)＋k2(－1，1)＋k3(2，2)＝(0，0)．
不妨取k3＝1，則k2＝2，k1＝－4．
∴ k1，k2，k3依次可?。?，2，1．
分析2：根據(jù)線性相關(guān)的定義和向量加法的運算法則，我們可以得該題的一般解法．
解法2：設(shè)存在3個不全為零的實數(shù)k1，k2，k3，使得．
則，不妨設(shè)k3≠0，于是解得．
故存在三個非零實數(shù)－4k3，2k3，k3使得
，
于是線性
6、相關(guān)，特殊地，取k3＝1．
四．以數(shù)列為背景的新定義
例7【湖南省衡陽八中2020屆高三第三次月考】 當(dāng)為正整數(shù)時，定義函數(shù)表示的最大奇因數(shù)．如，…．記．
則（1） ．（2） ．
【答案】86；
（2）
，．
例8 [2020·北京卷] 若數(shù)列An：a1，a2，…，an(n≥2)滿足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)充分性：由于a2000－a1999≤1.
a1999－a1998≤1.
……
a2－a1≤1.
所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.
又因為a1＝12，a2000＝2020.
所以
7、a2000＝a1＋1999.
故ak＋1－ak＝1>0(k＝1,2，…，1999)，即E數(shù)列An是遞增數(shù)列．
綜上，結(jié)論得證．
(3)對首項為4的E數(shù)列An，由于
a2≥a1－1＝3，
a3≥a2－1≥2，
……
a8≥a7－1≥－3，
……
所以a1＋a2＋…＋ak>0(k＝2,3，…，8)．
所以對任意的首項為4的E列An，若S(An)＝0，則必有n≥9.
又a1＝4的E數(shù)列A9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4滿足S(A9)＝0，
所以n的最小值是9.
【最新模擬試題訓(xùn)練】
【答案】A
【解析】 T全部是偶數(shù)，V全部是奇數(shù)，那么T，V對乘法是
8、封閉的，但如果T是全部偶數(shù)和1,3，那么此時T，V都符合題目要求，但是在V里面，任意取的是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面沒有3，所以V對乘法不封閉．排除B、C、D選項，所以“至少一個”是對的．
2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】
對向量，定義一種運算“”．
，已知動點P、Q分別在曲線和上運動，且(其中為坐標(biāo)原點)，若，則的最大值為
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】設(shè)
又顯然當(dāng)時，取得最大值為3.
3.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】
對于使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值1叫做的
上確界
9、,若，且，則的上確界為（ ）
A． B． C． D．-4
【答案】B
4.【山東省日照市2020屆高三12月月】若數(shù)列，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是
A.10 B.100 C.200 D.400
【答案】B
【解析】由已知得為等差數(shù)列，且所以
6.【寧夏銀川2020年高三教學(xué)質(zhì)量檢測】若直線坐標(biāo)系平面內(nèi)的兩點P,Q滿足條件：（1）P,Q都在函數(shù)的圖像上；（2）P、O關(guān)于原點對稱。則稱點[P,Q]是函數(shù)的一對“友好點對”。（注：點[P,Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”）。已知函數(shù)則此函數(shù)的“友好點對”有
A.0對
10、B.1對 C.2對 D. 3對
【答案】C
7.【河南豫西五校2020屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試】設(shè)S是實數(shù)解R的非空子集，如果則稱S是一個“和諧集”。下面命題為假命題的是
A.存在有限集S，S是一個“和諧集”
B．對任意無理數(shù)a，集合都是“和諧集”
C．若且均為“和諧集”，則
D．對任意兩個“和諧集”，若
【答案】D
8. 【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】已知點．若曲線上存在兩點，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線：
y
y=-x+3
O
A
① ； ② ； ③ ．
其中，型曲線的個數(shù)是（ ）
x
（A）（
11、B）（C）（D）
【答案】C
x
y
A
O
【解析】對于①，的圖像是一條線段，記為如圖（1）所示，從圖中可以看出：在線段上一定存在兩點B,C使△ABC為正三角形，故①滿足型曲線；對于②，
的圖象是圓在第二象限的部分，如圖（2）所示，顯然，無論點B、C在何處，△ABC都不可能為正三角形，所以②不是型曲線。
y
O
A
x
對于③，表示雙曲線在第四象限的一支，如圖（3）所示，顯然，存在點B,C，使△ABC為正三角形，所以③滿足；
綜上，型曲線的個數(shù)為2，故選C.
10.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020年3月高考適應(yīng)性考試)對于正項數(shù)列，定義,若則數(shù)列的通項公式為
12、 .
【答案】
【解析】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法的問題。
的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列 “光陰”值為，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【解析】由可得
①，
②
①－②得，所以。
12.【湖北省武漢市2020年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性】
定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對一
切實數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個承托函數(shù).現(xiàn)有如下函數(shù)：
① ② ③ ④
對于④，注意到，因此存在函數(shù)，使得對一切實數(shù)都成立，存在承托函數(shù).綜上所述，存在承托函數(shù)的的序號為②④.
13.【2020延吉市質(zhì)檢理15】曲線Ｃ：與軸交點關(guān)于
13、原點的對稱點稱為“望點”，以“望點”為圓心，凡是與曲線C有公共點圓，皆稱之為“望圓”，則當(dāng)a=1，b=1時，所有的“望圓”中，面積最小 “望圓”的面積為 ．
【答案】
【解析】因為曲線Ｃ：與軸交點關(guān)于原點的對稱點稱為“望點”，以“望點”為圓心，凡是與曲線C有公共點圓，皆稱之為“望圓”，所以當(dāng)時望圓的方程可設(shè)為，面積最小 “望圓”的半徑為（0,1）到上任意點之間最小距離，
，所以半徑，最小面積為
14、【山東省微山一中2020屆高三10月月考數(shù)學(xué)（文）】已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意實數(shù)a、b滿足，有以下結(jié)論：
①②為偶函數(shù)；③數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列；④數(shù)列｛bn｝為
14、等差數(shù)列。其中正確結(jié)論的序號是 。
【答案】 ①③④
解析:因為取得取得取得取得
由得代入（1）得
。該題通過函數(shù)方程考查函數(shù)性質(zhì)與遞推數(shù)列求數(shù)列通項公式，既考查函數(shù)方程問題一般的研究方法：賦值，又考查轉(zhuǎn)化化歸，對能力要求較高，是難題。
12.【2020海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期中練習(xí)】
（Ⅰ）寫出和的值，并用列舉法寫出集合；
（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的個數(shù)，求的最小值；
（Ⅲ）有多少個集合對（P，Q），滿足，且？
解：（Ⅰ），，.
………………………………………3分
（Ⅱ）根據(jù)題意可知：對于集合，①若且，則
所以 要使的值最
15、小，2，4，8一定屬于集合；1，6，10，16是否屬于不影響的值；集合不能含有之外的元素.
所以 當(dāng)為集合{1,6,10,16}的子集與集合{2,4,8}的并集時，取到最小值4. ………………………………………8分
所以 .
所以 .
由 知：.
所以 .
所以 .
所以 ，即.
因為 ，
所以 滿足題意的集合對（P，Q）的個數(shù)為.
………………………………………14分
13.【北京市西城區(qū)2020屆高三4月第一次模擬考試試題】
對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)
列，其中，且，這種“變換”記
16、作.繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結(jié)束．
數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．
……………3分
（Ⅱ）解：經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．……4分
若，則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……5分
當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項一定不大于數(shù)列的最大項，其中”．
證明：記數(shù)列中最大項為，則．
令，，其中．
因為， 所以，
故，證畢．
17、 ……………9分
現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．
若()，則，此數(shù)列各項均不為
或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；
若，則；
，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列．③ 當(dāng)數(shù)列中有三項為時，只能是，則，
，，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．
總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”，就會得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項又開始減少．又因為各數(shù)列的最大項是非負整數(shù)，故經(jīng)過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項一定會為，此時數(shù)列的各項均為，從而結(jié)束． ………………13分
14.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末
18、檢測】
（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時，.
【命題分析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題，考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明?？疾閷W(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。
（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根，，
則，.
不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，
滿足.
因為，，且，所以.
與已知矛盾.又有實數(shù)根，
所以方程有且只有一個實數(shù)根. …………10分
（Ⅲ）當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；
綜上，對于任意符合條件的,總有成立.……14分
15.【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】
19、
已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，
其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.
（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；
（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；
（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構(gòu)成數(shù)列.
證明：是等差數(shù)列.
【命題分析】本題考查新概念的數(shù)列問題，考查學(xué)生的自學(xué)能力.試題特點是設(shè)問很有層次性，基本上前兩個問題學(xué)生只要耐心認真做答都能夠解答出來，考察學(xué)生代數(shù)推理能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維.
（Ⅰ）解：. ………………3分
（Ⅱ）證法一：
20、
證明：由已知，，.
因此，猜想. ………………4分
故當(dāng)時猜想也成立.
由 ①、② 可知，對于任意正整數(shù)，有. ………………7分
設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知
因此，數(shù)列即是數(shù)列. ………………9分
證法二：
因為 ，
，
，
……
，
由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得
即，. ………………7分
由于，，
根據(jù)“衍生數(shù)
21、列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”. ………………9分
（Ⅲ）證法一：
證明：設(shè)數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可. ……10分
由（Ⅱ）中結(jié)論可知 ，
所以，，即成等差數(shù)列，
所以是等差數(shù)列. ………………13分
證法二：
因為 ，
所以 .
所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可. ………………10分
對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，
因為 ，
，
，
……
，
因為 ，，
所以 ， 即成等差數(shù)列.
同理可證，也成等差數(shù)列.
即 是等差數(shù)列.
所以 成等差數(shù)列. ………………13分
2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補漏系列 熱點02 新問題新情景如何面對高考中新定義問題？
