2020年高考數(shù)學(xué) 專家講壇 第7講 不等式及綜合應(yīng)用（含2020試題含點(diǎn)評(píng)）

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1、第七講　不等式及綜合應(yīng)用 真題試做?——————————————————— 1．(2020·高考浙江卷)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　　　　　　B. C．5 D．6 2．(2020·高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為________． 考情分析?——————————————————— 不等式部分在高考中往往是一到兩個(gè)填空題，重點(diǎn)考查一元二次不等式、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題和基本不等式在求最值中的應(yīng)用，

2、解答題一般沒(méi)有純不等式的題目，而會(huì)穿插在其他知識(shí)中進(jìn)行綜合考查． 一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)與工具．在近幾年的高考中，涉及二次不等式的試題占有較大的比例，試題形式活潑且多種多樣，既有填空題，又有解答題，多數(shù)是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何及實(shí)際問(wèn)題相互交叉和滲透，考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，以及邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合數(shù)學(xué)能力，充分體現(xiàn)了不等式的知識(shí)所具有的極強(qiáng)的輻射作用． 考點(diǎn)一　一元二次不等式 解一元二次不等式，換元法和圖解法是常用的技巧之一，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等

3、式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，互相轉(zhuǎn)化．通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更清晰． (1)已知函數(shù)f(x)＝則不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是(　　) A．{x|－1≤x≤－1}　　　B．{x|x≤1} C．{x|x≤－1} D．{x|－－1≤x≤－1} (2)若函數(shù)f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的圖象恒在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A．1≤a≤19 B．1

4、10對(duì)一切x∈R恒成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)解一元二次不等式通常先將不等式化為ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式，然后求出對(duì)應(yīng)方程的根(若有根的話)，再寫出不等式的解；(2)解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式，可以考慮把不等式的兩邊化成同底數(shù)的冪或同底數(shù)的對(duì)數(shù)的形式，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把它化為代數(shù)不等式，但要注意對(duì)數(shù)不等式的真數(shù)大于零這一隱含條件；(3)求解分段函數(shù)

6、條件下的不等式，應(yīng)按每段定義域?qū)?yīng)下的函數(shù)解析式分別轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；(4)求解一元二次不等式在區(qū)間上恒成立的問(wèn)題一般是把一元二次不等式看作二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的圖象判斷函數(shù)圖象在這個(gè)區(qū)間上與x軸的相對(duì)位置，列出不等式恒成立滿足的條件． 強(qiáng)化訓(xùn)練1　解不等式：(1)≤1；(2)log(x2＋2x－3)>log(3x＋1)． . 考點(diǎn)二　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 熟悉二元一次不等式Ax＋By＋C≥0表示平面區(qū)域的判定方法，會(huì)求與平面區(qū)域相關(guān)的整點(diǎn)、面積等問(wèn)題．掌握線性規(guī)劃問(wèn)題的解題步驟，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答． 設(shè)x，y滿足

7、約束條件求z＝2x－y的最大值和最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

8、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1)幾何意義法：指根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的特征找到其所代表的幾何意義，結(jié)合圖形求解，它是解決中學(xué)階段線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法，高考范圍內(nèi)的所有線性規(guī)劃問(wèn)題都可采用這一方法．常見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義有截距、向量投影(目標(biāo)函數(shù)是整式)、斜率(目標(biāo)函數(shù)是分式)、距離(目標(biāo)函數(shù)是兩個(gè)完全平方式之和)、點(diǎn)線距(目標(biāo)函數(shù)是二元一次因式的絕對(duì)值)等． (2)變量替代法：指把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去，得到新的不等式組，畫出此時(shí)的平面區(qū)域，觀察左右或上下邊界即可得到目標(biāo)函數(shù)z的值域(最值)． (3)解不等式法：指在目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃

9、問(wèn)題中，把目標(biāo)函數(shù)z代換到原約束條件中去，得到z的不等式組，直接放縮求解． (4)界點(diǎn)定值法：指通過(guò)總結(jié)，若目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的線性規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)最值的最優(yōu)解都是可行域所對(duì)應(yīng)圖形的邊界頂點(diǎn)，這時(shí)要求目標(biāo)函數(shù)的值域，只要把可行域的幾個(gè)頂點(diǎn)代入，找到目標(biāo)函數(shù)幾個(gè)取值中最大的和最小的，即目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值． 強(qiáng)化訓(xùn)練2　設(shè)定點(diǎn)A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件則||cos∠AOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為________． 考點(diǎn)三　基本不等式及其應(yīng)用 利用基本不等式及變形求最值，掌握基本不等式及變形求函數(shù)的最大值和最小值；能靈活應(yīng)用基本不等式解答函數(shù)和

10、數(shù)列等綜合問(wèn)題． (2020·高考陜西卷)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a

11、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　基本不等式是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)之一，同時(shí)也是解決很多函數(shù)最值問(wèn)題的重要手段，我們常用“一正，二定，三相等”來(lái)表明應(yīng)用基本不等式的原則，當(dāng)題目的條件不滿足這一前提，就需要適當(dāng)?shù)摹皽悺迸c“配”．高考中，以填空題形式考查是常見(jiàn)的一種形式

12、，有時(shí)也和函數(shù)結(jié)合在一起以解答題的形式考查． 強(qiáng)化訓(xùn)練3　(2020·高考山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 不等式與四類知識(shí)的交匯 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，是分析和解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，它的思想方法和內(nèi)容幾乎遍布高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié)，應(yīng)用十分廣泛，與其他知識(shí)的交匯是高考中?？汲Ｐ碌膯?wèn)題，應(yīng)該引起我們的重視，下面分類解析不等式與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯問(wèn)題． 一、不等式與集合的交匯 已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，N＝{x|≥0}，則?U(M

13、∩N)＝________． 【解析】　易求得N＝{x|x≤－1或x>2}，而M＝{x|x≥1}，∴M∩N＝{x|x>2}，∴?U(M∩N)＝{x|x≤2}． 【答案】　{x|x≤2} 　本題主要考查分式不等式的解法及集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，不等式的解法及集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是高考?？純?nèi)容，要認(rèn)真掌握，并確保得分． 二、不等式與邏輯條件的交匯 (2020·云南師大附中月考改編)已知條件p：x2－3x－4≤0；條件q：x2－6x＋9－m2≤0；若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是________． 【解析】　對(duì)于p：－1≤x≤4，對(duì)于q討論如下，當(dāng)m>0時(shí)，q：3－m≤x≤3＋m

14、；當(dāng)m<0時(shí)，q：3＋m≤x≤3－m，若p是q的充分不必要條件，只需要或解得m≤－4或m≥4. 【答案】　(－∞，－4]∪[4，＋∞) 　對(duì)于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，這決定此不等式是否為二次不等式；(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于0，這決定所求不等式的不等號(hào)的方向；(3)討論判別式是否大于0，當(dāng)判別式大于0時(shí)，判斷兩根的大小關(guān)系． 三、不等式與函數(shù)的交匯 函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，且不等式f(cos 2θ－3)＋f(4m－2m

15、cos θ)>0對(duì)所有θ恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解】　令x1＝x2＝0， 則f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0. 由題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R， f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)． 對(duì)任意實(shí)數(shù)x10， 所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)>0， 即f(x2)>f(x1)，則f(x)是增函數(shù)． 由題意，得f(cos 2θ－3)>－f(4m－2mcos θ)＝f(2mcos θ－4m)． 又f(x)是增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于cos 2θ－3>2mco

16、s θ－4m對(duì)所有θ恒成立，分離參數(shù)，得m>＝－[(2－cos θ)＋]＋4，由于的最大值是4－2. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4－2，＋∞)． 　利用函數(shù)性質(zhì)法求解恒成立問(wèn)題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)，找到參數(shù)滿足的不等式． 四、不等式與數(shù)列的交匯 已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－1(n≥1)． (1)設(shè)bn＝an－1(n＝1，2，3…)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)設(shè)cn＝，求證：數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn<. 【證明】　(1)由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)， ∴{an－1}

17、是以a1－1＝2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知an－1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋1， ∴cn＝＝＝－， ∴Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－<. 　本題以數(shù)列為載體考查了不等式的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和方法等數(shù)列知識(shí). _體驗(yàn)真題·把脈考向_ 1．【解析】選C.∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，∴3x＋4y的最小值為5. 2．【解析】由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－. ∵f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，∴b－＝0，即

18、b＝. ∴f(x)＝. 又∵f(x)＜c，∴＜c， 即－－＜x＜－＋. ∴ ②－①，得2＝6，∴c＝9. 【答案】9 _典例展示·解密高考_ 【例1】【解析】(1)當(dāng)x＋1<0，即x<－1時(shí)， f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x. ∴原不等式可化為x＋(x＋1)(－x)≤1.① 由①得－x2≤1，x∈R，此時(shí)不等式的解集為{x|x<－1}． 當(dāng)x＋1≥0，即x≥－1時(shí)，f(x＋1)＝x＋1－1＝x， ∴原不等式可化為x＋(x＋1)x≤1.② 解②得－－1≤x≤－1， 此時(shí)不等式的解集為{x|－1≤x≤－1}． 綜上可知，原不等式的解集為{x|x<－1}∪{x|

19、－1≤x≤－1}＝{x|x≤－1}． (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象恒在x軸上方， 所以不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0對(duì)一切x∈R恒成立． ①當(dāng)a2＋4a－5＝0時(shí)，有a＝－5或a＝1. 若a＝－5，不等式可化為24x＋3>0，不滿足題意； 若a＝1，不等式可化為3>0，滿足題意． ②當(dāng)a2＋4a－5≠0時(shí)，應(yīng)有 解得14. 故原不等式的解集為{x|x

20、≤－1，或x>4}． (2)原不等式可轉(zhuǎn)化為 不等式的解集為 【例2】【解】法一：(截距法)先作出可行域，如圖(1)中的△ABC及其內(nèi)部(陰影部分)，且求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)，作出直線L0：2x－y＝0，再將直線L0平移．當(dāng)L0的平行線過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最小值；當(dāng)L0的平行線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可使z＝2x－y達(dá)到最大值．所以zmin＝－，zmax＝8. 圖(1) 法二：(變量替代法)將y＝2x－z代入原約束條件，可得把z看作縱軸，畫出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖(2)所示(陰影部分)，可知最高點(diǎn)P(5，8)，最低點(diǎn)Q(1，－)，所以zmin＝－，zmax

21、＝8. 圖(2) 法三：(解不等式法)由解法二，可知 可變?yōu)? 所以解得－≤z≤8. 故z的最大值為8，z的最小值為－. 法四：(界點(diǎn)定值法)先作出可行域，如圖(1)中的△ABC及其內(nèi)部(陰影部分)，可求得A(5，2)，B(1，1)，C(1，)．把△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)中求出z值分別為8，1，－，比較大小，可知z的最大值為8，z的最小值為－. [強(qiáng)化訓(xùn)練2] 【解析】||·cos∠AOP＝·＝＝x. 作出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示，由圖形，可知當(dāng)點(diǎn)P是直線x＋y＝6與y＝2的交點(diǎn)時(shí)，x取最大值． 聯(lián)立方程得P(4，2)． 所以x的最大值為4，即||cos∠AOP的最大值為4. 【答案】4 【例3】【解析】設(shè)甲乙兩地相距s，則小王用時(shí)為＋，∴v＝＝，∵0＝a. ∴<，∴a0，y>0，z>0)， ∴＝＝≤＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴＋－＝＋－＝－＋＝－(－1)2＋1，∴當(dāng)y＝1時(shí)，＋－的最大值為1.