6、數(shù)的 ( )
A.充分但不必要條件
B.必要但不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
1.集合與常用邏輯用語中的轉(zhuǎn)化與化歸思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種策略將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種方法.由于一個(gè)命題與其逆否命題是等價(jià)的,所以對(duì)于較難判斷的命題,可轉(zhuǎn)化為它的逆否命題的判斷來解決.
【例1】已知p:≤2, q:x2-2x+1-m2≤ 0(m>0).若綈p是綈q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【題后反思】解此類題的關(guān)鍵是利用等價(jià)命題進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,例如:如果p是q的充分不必要條件,那么綈p是綈q的
7、必要不充分條件.同理,如果p是q的必要不充分條件,那么綈p是綈q的充分不必要條件;如果p是q的充要條件,那么綈p是綈q的充要條件.
【變式】已知集合M=,N={y|y=4x-2x+1},U=R,如圖所示,則圖中陰影部分表示的集合是( ).
A. B.
C. D.?
解析:由1-≥0,即≥0,解得x<0或x≥1,故函數(shù)y= 的定義域?yàn)?-∞,0)∪[1,+∞),
【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】
易錯(cuò)點(diǎn)1 集合的概念與性質(zhì)
1.(2020模擬題精選)設(shè)全集U=R,集合M={x|x>1},P={x|x2>1},則下列關(guān)系中正確的是 ( )
A.M=P
8、 B.PM
C.MP D.CUP=?
【錯(cuò)誤答案】 D
【錯(cuò)解分析】 忽視集合P中,x<-1部分.
【正確解答】 C ∵x2>1 ∴x>1或x<-1.故MP.
2.(2020模擬題精選)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合,定義集合P+Q={a+b|aP,bQ},若P{0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是( )
A.9 B.8
C.7 D.6
3.(2020模擬題精選)設(shè)f(n)=2n+1(nN),P={l,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記={nN|f(n) P},={nN|f(n)
則(CN)
9、 (CN)等于 ( )
A.{0,3} B.{1,7}
C.{3,4,5} D.{1,2,6,7}
【錯(cuò)誤答案】 D PCNQ={6,7}.QCNP={1,2}.故選D.
【錯(cuò)解分析】 未理解集合 的意義.
【正確解答】 B ∵ ={1,3,5}.={3,5,7}.∴CN={1}. CN={7}.故選B.
4.設(shè)A、B、I均為非空集合,且滿足ABI,則下列各式中錯(cuò)誤的是 ( )
A.(CIA)B=I
B.(CIA) (CIB)=I
C.A(CIB)=?
D.(CIA)(CIB)= CIB
【特別提醒】
10、
1.解答集合問題,首先要正確理解集合有關(guān)概念,特別是集合中元素的三要素;對(duì)于用描述法給出的集合{x|xP},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P;要重視發(fā)揮圖示法的作用,充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合(數(shù)軸,坐標(biāo)系,文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關(guān)系以及集合的運(yùn)算問題,直觀地解決問題.
2.注意空集?的特殊性,在解題中,若未能指明集合非空時(shí),要考慮到空集的可能性,如AB,則有A=?或A? 兩種可能,此時(shí)應(yīng)分類討論.
【變式探究】
1 全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合N=,則M(CUN)等于 ( )
A.{4} B.{3,4}
C.
11、{2,3,4} D. {1,2,3,4}
答案:B
解析:由N=CUN=
2.設(shè)M={x|x4a,a∈R},N={y|y=3x,x∈R},則 ( )
A.M∩N=? B.M=N
C. MN D. MN
答案:B 解析:M=
3.已知集合A={0,2,3},B={x|x=ab,a、b∈A且a≠b},則B的子集的個(gè)數(shù)是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.15
答案:解析:它的子集的個(gè)數(shù)為22=4。
4.設(shè)集合M={(x,y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3),-≤y≤3},若(a,b)∈M,且對(duì)M
12、中的其他元素(c,d),總有c≥a,則a=_____.
解析:依題可知,本題等價(jià)于求函數(shù)不勝數(shù)x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在
當(dāng)
1≤y≤3時(shí),x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-
易錯(cuò)點(diǎn) 2 集合與不等式
1.(2020模擬題精選)集合A=,B={x|x-b|<a=,若“a=1”是“A∩B≠?”的充分條件,則b的取值范圍是 ( )
A.-2≤b<2 B.-2
13、∩B≠?.b-1<1且b+1≥-1.故-2≤b<2.∴只有A符合.
3.(2020模擬題精選)已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為x1,x2,試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【特別提醒】
討論參數(shù)a的范圍時(shí),對(duì)各種情況得出的參數(shù)a的范圍,要分清是“或”還是“且”的關(guān)系,是“或”只能求并集,是“且”則求交集.
【變式探究】
1 設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),則不等式[x]
14、2-5[x]+6≤0的解集為 ( )
A.(2,3) B.[2,3]
C.[2,4] D.[2,4]
答案:C 解析:由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定義知2≤x<4所選C.
2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要條件是,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
易錯(cuò)點(diǎn) 3 集合的應(yīng)用
1.(2020模擬題精選)ω是正實(shí)數(shù),設(shè)Sω={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函數(shù)},若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)a,Sω∩(a,a+1)的元素不超過2個(gè),且有a使Sω∩(a,a+1)含2個(gè)元素
15、,則ω的取值范圍是_____.
【錯(cuò)誤答案】 (π,2π)
【錯(cuò)解分析】 ∵a使Sω∩(a,a+1)含兩個(gè)元素,如果>1時(shí),則超過2個(gè)元素,注意區(qū)間端點(diǎn).
【正確解答】 由Sω∩(a,a+1)的元素不超過兩個(gè),∴周期×<1.∴ω>π又∵有a使Sω∩(a,a+1)含兩個(gè)元素,∴周期≥1.∴ω≤2π.故ω∈(π,2π).
2.(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)=-(x∈R),區(qū)間M=[a,b](a
16、-≥0,得x<-1或x≥1.∴A={x|x<-1或x≥1}
(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1)
【特別提醒】
集合與不等式、集合與函數(shù)、集合與方程等,都有緊密聯(lián)系.因?yàn)榧鲜且环N數(shù)學(xué)工具.在運(yùn)用時(shí)注意知識(shí)的融會(huì)貫通.有時(shí)要用到分類討論,數(shù)形結(jié)合的思想.
【變式探究】
1 已知集合A={x|(a2-a)x+1=0,x∈R},B={x|ax2-x+1=0,x∈R},若A∪B=?,則a的值為 ( )
A.0 B.1 C.0或1 D.0或4
易錯(cuò)點(diǎn)4 簡易邏
17、輯
1.(2020模擬題精選)對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c,給出下列命題:
①“a=b”是“ac=bc”的充要條件;②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件;③“a>b”是“a2>b2”的充分條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2020模擬題精選)給出下列三個(gè)命題
①若a≥b>-1,則
②若正整數(shù)m和n滿足m≤n,則
③設(shè)P(x1,y1)為圓O1:x2+y2=9上任一點(diǎn),圓O2以Q(a,b)為圓心且半徑為1.當(dāng)(a-x1)2+(b-y1)2=1時(shí),圓O1與圓O2相切
18、其中假命題的個(gè)數(shù)為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2020模擬題精選)設(shè)原命題是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù),若a=b,c=d,則a+c=b+d”,則它的逆否命題是( )
A.已知a,b,c,d是實(shí)數(shù),若a+c≠b+d,則a≠b且c≠d
B.已知a,b,c,d是實(shí)數(shù),若a+c≠b+d,則a≠b或c≠d
C.若a+c≠b+d,則a,b,c,d不是實(shí)數(shù),且a≠b,c≠d
D.以上全不對(duì)
【錯(cuò)誤答案】 A
【錯(cuò)解分析】 沒有分清“且”的否定是“或”,“或”的否定是“且”.
【正確解答】 B 逆否命題是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)
19、,若a+c≠b+d,則a≠b或c≠d”.
4.(2020模擬題精選)已知c>0,設(shè)P:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;Q:不等式x+|x-2c|>1的解集為R,如果P和Q有且僅有一個(gè)正確,求c的取值范圍.
【特別提醒】
1.在判斷一個(gè)結(jié)論是否正確時(shí),若正面不好判斷,可以先假設(shè)它不成立,再推出矛盾,
這就是正難則反.
2.求解范圍的題目,要正確使用邏輯連結(jié)詞,“且”對(duì)應(yīng)的是集合的交集,“或”對(duì)應(yīng)的是集合的并集.
【變式探究】
1 已知條件P:|x+1|>2,條件q:5x-6>x2,則p是q的 ( )
A.充要條件 B.充分但不必要條件
C.必要但不充
20、分條件 D.既非充分也非必要條件
答案:B解析:p:x<-3或x>1,q:2
21、y+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( )
A.充分必要條件 B.充分而不必要條件
C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件
【錯(cuò)誤答案】 A
【錯(cuò)解分析】 當(dāng)兩直線垂直時(shí),A1A2+B1B2=0,m2-4+3m(m+2)=0,即m=或m=-2;故不是充分必要條件.
【正確解答】 B 當(dāng)m=時(shí)兩直線垂直.兩直線垂直時(shí)m=或m=-2,故選B.
2.(2020模擬題精選)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是 ( )
A.b<0且c>0
22、 B.b>0且c<0
C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0
3.(2020模擬題精選)若非空集合MN,則a∈M或a∈N是a∈(M∩N)的 ( )
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.(2020模擬題精選)設(shè)命題p:關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c1>0與a2x2+b2x+c2>0的解集相同;命題q:,則命題p是命題g的 ( )
A.充分但不必要條件
B.必要但不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【特別提醒】
(1)要理解“充分條件”“必要條
23、件”的概念:當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí),就記作pq稱p是q的充分條件,同時(shí)稱q是p的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.
(2)要理解“充要條件”的概念,對(duì)于符號(hào)“”要熟悉它的各種同義詞語:“等價(jià)于”,“當(dāng)且僅當(dāng)”,“必須并且只需”,“……,反之也真”等.
(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性,即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件,既是概念的判斷依據(jù),又是概念所具有的性質(zhì).
(4)從集合觀點(diǎn)看,若AB,則A是B的充分條件,B是A的必要條件;若A=B,則A、B互為充要條依.
(5)證明命題條件的充要性時(shí),既要證明原命題成立(即條件的充分性
24、),又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).
【變式探究】
1 設(shè)ab、是非零向量,則使a·b=|a||b|成立的一個(gè)必要非充分條件是 ( )
A.a(chǎn)=b B.a(chǎn)⊥b
C.a(chǎn)∥b D.a(chǎn)=λb(>0)
答案:C 解析:由a?b=|a| |b|可得a∥b;但a∥b, a?b=±|a| |b|, 故使a?b=|a| |b| 成立的一個(gè)必要充分條件是:a∥b.故選C.
2若條件甲:平面α內(nèi)任一直線平行于平面β,條件乙:平面α∥平面β,則條件甲是條件乙的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C. 充要條件
D.既不充分又不必
25、要條件
答案:C 解析:甲乙可以互推。選C.
3.已知函數(shù)f(x)=ax+b(0≤x<1),則a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既非充分又非必要條件
2.設(shè)集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=,則M∩N為( ).
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
解析 由題意得M={y|y=|cos 2x|}=[0,1],
N={x||x+i|<}={x|x2+1<2}=(-1,1),
∴M∩N=[0,1).
答案 C
3
26、.對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的( ).
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 若y=f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),
∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,
∴y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,但若y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,如y=f(x)=x2,而它不是奇函數(shù).
答案 B
4.已知命題“函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上,h(x)=f(x)·g(x),若f(x)、g(x)均為奇函數(shù),則h(x)為偶函數(shù)”的原命
27、題、逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
5.下列命題錯(cuò)誤的是( ).
A.命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題為:“若方程x2+x-m=0無實(shí)根,則m≤0”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件
C.命題“若xy=0,則x,y中至少有一個(gè)為零”的否定是:“若xy≠0,則x,y都不為零”
D.對(duì)于命題p:?x∈R,使得x2+x+1<0;則綈p:?x∈R,均有x2+x+1≥0
8.已知命題p:?x∈R,使sin x=;命題q:?x∈R,都有x2+x+1>0,給出下列結(jié)論:
①命題“p∧q
28、”是真命題;
②命題“綈p∨綈q”是假命題;
③命題“綈p∨綈q”是真命題;
④命題“p∧q”是假命題.
其中正確的是________.
解析 命題p是假命題,命題q是真命題,故結(jié)論③④正確.
答案 ③④
9.設(shè)a∈R,二次函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a.設(shè)不等式f(x)>0的解集為A,又知集合B={x|10},B=.
(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值時(shí),求(?RA)∩B.
∴?RA={y|-2≤y≤5
29、}.
∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}.
11.設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對(duì)任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集.給出下列命題:
①集合S={a+bi|a,b為整數(shù),i為虛數(shù)單位}為封閉集;
②若S為封閉集,則一定有0∈S;
③封閉集一定是無限集;
④若S為封閉集,則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集.
其中的真命題是________(寫出所有真命題的序號(hào)).
12.設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,q:實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.