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1、兔子繁殖問題與斐波那契
裴波那契(Fibonacci leonardo,約1170-1250)是意大利著名數(shù)學(xué)家. 他最重要的研究成果是在不定分析和數(shù)論方面,他的“裴波那契數(shù)列”成為世人們熱衷研究的問題.
保存至今的裴波那契著作有5部,其中影響最大的是1202年在意大利出版的《算盤書》,《算盤書》中許多有趣的問題中最富成功的問題是著名的“兔子繁殖問題”. 如果每對兔子每月繁殖一對子兔,而子兔在出生后第二個月就有生殖能力,試問一對兔子一年能繁殖多少對兔子?可以這樣思考:第一個月后即第二個月時,1對兔子變成了兩對兔子,其中一對是它本身,另一對是它生下的幼兔. 第三個月時兩對兔子變成了三對,其
2、中一對是最初的一對,另一對是它剛生下來的幼兔,第三對是幼兔長成的大兔子. 第四個月時,三對兔子變成了五對,第五個月時,五對兔子變成了八對,這組數(shù)可以用圖來表示,這組數(shù)從三個數(shù)開始,每個數(shù)是兩個數(shù)的和,按此方法推算,第六個月是13對兔子,第七個月是21對兔子……,裴波那契得到一個數(shù)列,人們將這個數(shù)列前面加上一項1,成為“裴波那契數(shù)列”,即:1,1,2,3,5,8,13…. 數(shù)列用表示有:出人意料的是,這個數(shù)列在許多場合都會出現(xiàn),在數(shù)學(xué)的許多不同分支中都能碰到它. 如果把普遍目前數(shù)列鄰項之比作為一個新數(shù)列的項,我們得到:,可以證明這個數(shù)列的極限是:,這是非常有名的黃金分割率,大自然中許多現(xiàn)象總是力求接近黃金比,這個黃金比在科學(xué)中甚至藝術(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn). 例如,寬比長的比等于黃金比時最美:黃金比在古希臘建筑和陶瓷中可以經(jīng)常見到埋在現(xiàn)代建筑設(shè)計等方面也越來越多地顯示出黃金比的獨特魅力. 裴波那契數(shù)列的許多有趣的性質(zhì)和重要應(yīng)用,引起了近800年數(shù)學(xué)歷史上許多學(xué)者的興趣,世界上有關(guān)裴波那契數(shù)列的研究文獻多得驚人,裴波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學(xué)中引人入勝,而且它的理論已廣泛應(yīng)用,特別是在數(shù)列、運籌學(xué)及優(yōu)化理論方面為數(shù)學(xué)家們展開了一片施展才華的廣闊空間.
后人從裴波那契數(shù)列得到一系列的輝煌成果,但是我們不能忘記,這些成果都是起因與裴波那契的《算盤書》中提到的兔子問題.