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1、等差數(shù)列中“和問題”的一種處理方法
公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1＋(n－1)d(n∈N)，若函數(shù)f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，則有an=f(n)．本文稱函數(shù)f(x)為等差數(shù)列{an}的伴隨函數(shù)，這樣便有下面的定理．
定理 若f(x)為等差數(shù)列{an}的伴隨函數(shù)，且mi(i=1，2，3，…，k)為自然數(shù)，則
證：∵f(x)為等差數(shù)列{an}的伴隨函數(shù)，
∴f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，
故定理得證．
證 由定理得：
利用定理及推論可巧妙解答等差數(shù)列中有關(guān)的和問題．
例1 在
2、等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，則a2＋a8= [ ]
A．45．
B．75．
C．180．
D．300．
例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=100，S100=10，求S110．
解 設(shè)f(x)為數(shù)列{an}的伴隨函數(shù)，由推論得
∴f(5.5)＝10；
由于f(x)為一次函數(shù)，故
解得 f(55.5)＝－1，
從而S110＝110×(－1)＝－110．
解 設(shè)等差數(shù)列{an}與{bn}的伴隨函數(shù)分別為f(x)與
3、g(x)，由推論知
例4 設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶．
求證：1)n為偶數(shù)2m時，S偶－S奇＝md(d為公差)，S奇∶S偶＝am∶am+1；
2)n為奇數(shù)2m－1時，S奇－S偶＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)．
解：設(shè)f(x)為數(shù)列{an}的伴隨函數(shù)，由定理知，
1)n為偶數(shù)2m時有：
所以，S偶－S奇＝m(am+1－am)＝md，S奇∶S偶＝am∶am+1．
2)當(dāng)n為奇數(shù)2m－1時有：
所以，S奇－S偶＝mam－(m－1)am＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)．
以上數(shù)例表明，本文給出的定理是對等差數(shù)列眾多性質(zhì)的濃縮，因而有一定的實(shí)用價值．
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