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1、等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用
等差數(shù)列的前n項和公式是一個很重要的公式．對這個公式的形式和本質(zhì)特征的研究，將有助于提高我們的計算能力和分析、解決問題的能力．
一、分析公式的結(jié)構(gòu)特征
難得出下面的結(jié)論：
中間項．
2．當n是偶數(shù)時，a1與an的等差中項不是該數(shù)列的項，它的值等于數(shù)列前n項中正中間兩項的算術(shù)平均數(shù)．
根據(jù)上述結(jié)論，可得：
性質(zhì)1 等差數(shù)列{an}中．S2n-1=(2n－1)an；S2n=n(an＋an+1)．
(因為an是前2n－1項的正中間；an，an+1是前2n項的正中間兩項)
例1 (1)等差
2、數(shù)列中，若a8=5，則S15=________．
(2)等差數(shù)列{an}中，若a6=a3＋a8，S9=________．
解 (1)依性質(zhì)1，得
S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8，
而a8=5，∴S15=15×5=75．
(2)∵a6=a3＋a8，由通項公式，得
a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d為公差)．
整理得 a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0，
而a5=a1＋(5－1)d，
∴a5=0．
由性質(zhì)1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0．
3、 例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一個值最大，并說明理由．
解 依題意，有
∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)，
故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大．
二、注意公式的變形
我們有：
例3 等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項為100，則它的前3m項和為 [ ]
A．30 B．170 C．210 D．260
解 已知Sm=30，S2m=100，求S3m=？
均成等差數(shù)列．則
∴S3m=210．故選(C)．
S3m－S2m成等差數(shù)列．
性質(zhì)3 等差數(shù)列中依次每m項和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．
例4 等差數(shù)列{an}的前n項和為S1，次n項和為S2，后n項和為S3，
證明 由性質(zhì)3，知：S1，S2，S3成等差數(shù)列，
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