陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)素材 北師大版必修5(通用)
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1、概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 數(shù)列 一.?dāng)?shù)列的概念:數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如 (1)已知,則在數(shù)列的最大項(xiàng)為__ (答:); (2)數(shù)列的通項(xiàng)為,其中均為正數(shù),則與的大小關(guān)系為___ (答:); (3)已知數(shù)列中,,且是遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍 (答:); (4)一給定函數(shù)的圖象在下列圖中,并且對(duì)任意,由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足,則該函數(shù)的圖象是( ) (答:A) A B C
2、 D 二.等差數(shù)列的有關(guān)概念: 1.等差數(shù)列的判斷方法:定義法或。如 設(shè) 是等差數(shù)列,求證:以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。 2.等差數(shù)列的通項(xiàng):或。如 (1)等差數(shù)列中,,,則通項(xiàng) (答:); (2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列,從第10項(xiàng)起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是______ (答:) 3.等差數(shù)列的前和:,。如 (1)數(shù)列 中,,,前n項(xiàng)和,則=_,=_ (答:,); (2)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的前項(xiàng)和 (答:). 4.等差中項(xiàng):若成等差數(shù)列,則A叫做與的等差中項(xiàng),且。 提醒: (1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中,涉及
3、到5個(gè)元素:、、、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2。 (2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為…,…(公差為);偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為…,,…(公差為2) 三.等差數(shù)列的性質(zhì): 1.當(dāng)公差時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 2.若公差,則為遞增等差數(shù)列,若公差,則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。 3.當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.如 (1)等差數(shù)列中,,則=____ (答:27); (2)在等差數(shù)列中,,且,是其前項(xiàng)和,則 A、都小于0,
4、都大于0 B、都小于0,都大于0 C、都小于0,都大于0 D、都小于0,都大于0 (答:B) 4.若、是等差數(shù)列,則、 (、是非零常數(shù))、、 ,…也成等差數(shù)列,而成等比數(shù)列;若是等比數(shù)列,且,則是等差數(shù)列. 如 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,則它的前3n和為 。 (答:225) 5.在等差數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),,(這里即);。如 (1)在等差數(shù)列中,S11=22,則=______ (答:2); (2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)和為80,偶數(shù)項(xiàng)和為75,求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) (答:5;31).
5、6.若等差數(shù)列、的前和分別為、,且,則 .如 設(shè){}與{}是兩個(gè)等差數(shù)列,它們的前項(xiàng)和分別為和,若,那么___________ (答:) 7.“首正”的遞減等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一:由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正);法二:因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想?(函數(shù)思想),由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎?如 (1)等差數(shù)列中,,,問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大?并求此最大值。 (答:前13項(xiàng)和最大,最大值為16
6、9); (2)若是等差數(shù)列,首項(xiàng), ,則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 (答:4006) 8.如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意:公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)不一定相同,即研究. 四.等比數(shù)列的有關(guān)概念: 1.等比數(shù)列的判斷方法:定義法,其中或 。如 (1)一個(gè)等比數(shù)列{}共有項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)之積為100,偶數(shù)項(xiàng)之積為120,則為____ (答:); (2)數(shù)列中,=4+1 ()且=1,若 ,求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列。 2.等比數(shù)列的通項(xiàng):或。如 設(shè)等比數(shù)列中
7、,,,前項(xiàng)和=126,求和公比. (答:,或2) 3.等比數(shù)列的前和:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。如 (1)等比數(shù)列中,=2,S99=77,求 (答:44); (2)的值為__________ (答:2046); 特別提醒:等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式,為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí),首先要判斷公比是否為1,再由的情況選擇求和公式的形式,當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí),要對(duì)分和兩種情形討論求解。 4.等比中項(xiàng):若成等比數(shù)列,那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒:不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng),且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A,等比中項(xiàng)為B,則A與B的大小關(guān)系為______(答:A
8、>B) 提醒:(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中,涉及到5個(gè)元素:、、、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2;(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比,可設(shè)為…,…(公比為);但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí),不能設(shè)為…,…,因公比不一定為正數(shù),只有公比為正時(shí)才可如此設(shè),且公比為。如有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)成等比數(shù)列,且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求此四個(gè)數(shù)。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16) 5.等比數(shù)列的性質(zhì): (1)當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.如 (1)在等比數(shù)列中,
9、,公比q是整數(shù),則=___ (答:512); (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則 (答:10)。 (2) 若是等比數(shù)列,則、、成等比數(shù)列;若成等比數(shù)列,則、成等比數(shù)列; 若是等比數(shù)列,且公比,則數(shù)列 ,…也是等比數(shù)列。當(dāng),且為偶數(shù)時(shí),數(shù)列 ,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列. 如 (1)已知且,設(shè)數(shù)列滿足,且,則 . (答:); (2)在等比數(shù)列中,為其前n項(xiàng)和,若,則的值為______ (答:40) (3)若,則為遞增數(shù)列;若, 則為遞減數(shù)列;若 ,則為遞減數(shù)列;若, 則為遞增數(shù)列;若,則為擺動(dòng)數(shù)列;若,則為常數(shù)列. (4) 當(dāng)時(shí),,這里,但,這是
10、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征,據(jù)此很容易根據(jù),判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列,且,則= (答:-1) (5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為,若成等差數(shù)列,則的值為_____ (答:-2) (6) 在等比數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),. (7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列,故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè) 數(shù)列的前項(xiàng)和為(), 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題:①若,則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;②若,則是等差數(shù)列;③若,則是等比數(shù)列。這些命題中,真命題的序號(hào)是 (答:②③)
11、 五.數(shù)列的通項(xiàng)的求法: ⑴公式法:①等差數(shù)列通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式:__________ (答:) ⑵已知(即)求,用作差法:。如 ①已知的前項(xiàng)和滿足,求 (答:); ②數(shù)列滿足,求 (答:) ⑶已知求,用作商法:。如數(shù)列中,對(duì)所有的都有,則______ (答:) ⑷若求用累加法: 。如已知數(shù)列滿足,,則=________ (答:) ⑸已知求,用累乘法:。如已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和,若,求 (答:) ⑹已知遞推關(guān)系求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地,(1)形如、(為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列
12、后,再求。如①已知,求(答:);②已知,求(答:);(2)形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如①已知,求(答:);②已知數(shù)列滿足=1,,求(答:) 注意:(1)用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條件了嗎?(,當(dāng)時(shí),);(2)一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式,然后再求解。如數(shù)列滿足,求(答:) 六.數(shù)列求和的常用方法: 1.公式法:①等差數(shù)列求和公式;②等比數(shù)列求和公式,特別聲明:運(yùn)用等比數(shù)列求和公式,務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系,必要時(shí)需分類討論.;③常用公式:,,.如 (1)等比數(shù)列的前項(xiàng)和Sn=2n-1,則=_____
13、(答:); (2)計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”,如表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是,那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_______ (答:) 2.分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和. 如求:(答:) 3.倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),則常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 如 ①求證:; ②已知,則=______ (答:) 4.錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通
14、項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 如(1)設(shè)為等比數(shù)列,,已知,,①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(答:①,;②); (2)設(shè)函數(shù),數(shù)列滿足: ,①求證:數(shù)列是等比數(shù)列;②令 ,求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),并比較與的大小。(答:①略;②,當(dāng)時(shí),=;當(dāng)時(shí),<;當(dāng)時(shí),>) 5.裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有: ①; ②; ③,; ④ ;⑤; ⑥. 如(1)求和: (答:); (2)在數(shù)列中,,且Sn=9,則n=_____ (答:99);
15、 6.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法:先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征,再運(yùn)用分組求和法求和。如 ①求數(shù)列1×4,2×5,3×6,…,,…前項(xiàng)和= (答:); ②求和: (答:) 七.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題 1.這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中,務(wù)必“卡手指”,細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決. 2.利率問題:①單利問題:如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型:若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為: (等差數(shù)列問題);②復(fù)利問題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型:若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清。如果每期利率為(按復(fù)利),那么每期等額還款元應(yīng)滿足:(等比數(shù)列問題).
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