陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 斐波那契數(shù)列拓展資料素材 北師大版必修5(通用)

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1、斐波那契數(shù)列   每一對兔子過了出生第一個月之后,每個月生一對小兔子?,F(xiàn)把一對初生小兔子放在屋內(nèi),問一年后屋內(nèi)有多少對兔子?   先不在這里考慮兔子能否長大,或是某些月份沒有生小兔子一類的問題,完全只由數(shù)學(xué)角度去考慮這問題,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci)解了這個題目,其內(nèi)容大約是這樣的:   在第一個月時,只有一對小兔子,過了一個月,那對兔子成熟了,在第三個月時便生下一對小兔子,這時有兩對兔子。再過多一個月,成熟的兔子再生一對小兔子,而另一對小兔子長大,有三對小兔子。如此推算下去,我們便發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律: 時間(月) 初生兔子(對) 成熟兔子(對) 兔子總數(shù)(對) 1

2、 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 不難發(fā)現(xiàn),每個月成熟兔子的數(shù)目是上個月的兔子總數(shù),而初生兔子的數(shù)目是上個月成熟兔子的數(shù)目,也即是兩個月前的兔子總數(shù),因此每個月的兔子總數(shù)剛好是上個月和兩個月前的的兔子總數(shù)之和。由此可得每個月的兔子總數(shù)是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...,由此可知一年后有 377 對兔子。   若把上述數(shù)列繼續(xù)寫下去,得到的數(shù)列便稱為斐波那契數(shù)列,數(shù)列中每個數(shù)便是前兩個數(shù)之和,而數(shù)列的最初兩個數(shù)都是

3、 1。若果設(shè) F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 則成立這個關(guān)系式:當(dāng) n 大于 1,F(xiàn)n+2=Fn+1+ Fn,而 F0=F1=1。下面是一個古怪的式子:    …(1)   Fn看似是無理數(shù),但當(dāng) n 是非負(fù)整數(shù)時,F(xiàn)n都是整數(shù),而且組成斐波那契數(shù)列,因為F0=F1=1,并且Fn+2=Fn+1+ Fn,這可用數(shù)學(xué)歸納法來證明。 利用斐波那契數(shù)列解決兔子數(shù)目的問題似乎沒有甚么用途,因為不能保證兔子真的每月只生一對小兔子一類的問題,但事實上這個數(shù)列的應(yīng)用十分廣泛。例如一個走梯級的問題,若某人走上一段梯級,他每一步可以走上一級,或是跳過

4、一級而走到第二級,若他要走上六級,有多少個不同走法?我們可以考慮,若果設(shè) Fn是走 n 級梯級的走法的數(shù)目,若他在第n級,他可以走到第 n-1 級,或是跳過第n-1級,走到第 n-2 級,他在第 n-1 級有 Fn-1個走法,而在第 n-2 級有 Fn-2個走法,因此在第n級時的走法是 Fn-2+Fn-1個走法,即 Fn=Fn-2+Fn-1,而他在第二級和第三級的走法分別有 1 個和 2 個,因此可知走法的數(shù)目與斐波那契數(shù)列有關(guān)。   我們還可以利用斐波那契數(shù)列來做出一個新的數(shù)列,方法是把數(shù)列中相鄰的數(shù)字相除,以組成新的數(shù)列如下:      從(1)中可知當(dāng) n 無限增大時,數(shù)列的極限是      這個數(shù)值稱為黃金分割,它正好是方程 x2+x-1=0 的一個根。

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