陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 求數(shù)列通項公式的常用方法拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

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1、求數(shù)列通項公式的常用方法 求數(shù)列的通項公式是數(shù)列考題中的常見形式，是利用數(shù)列知識考查數(shù)字運用能力的常見題型，在各類選拔性考題中經常出現(xiàn)，為了幫助同學們掌握這類知識，下面歸納幾種常用的方法，供參考。 一、 運用等差數(shù)列和等比數(shù)列知識 若題設中已知數(shù)列的類型，我們可用其性質及有關公式來求解。 例1：若等差數(shù)列{an}滿足bn=()，且b1+b2+b3=,b1·b2·b3=，求通頂公式an. 解析：由b1·b2·b3=a1+a2+a3=3a2=1，根據(jù)題設可設等差數(shù)列{an}的公差為d，則由b1+b2+b3=，∴()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2，∴an=a2+(n-2

2、)d=2n-1或an=5-2n。 二、 運用Sn與an的關系 當n=1時，S1=a1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1。 例2：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=10n+1，求通項公式an. 解析：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又當n=1時，a1=S1=11不適合上式，∴通項公式an=。 例3：正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2=an+1(n∈N*)，求通項公式an. 解析：根據(jù)題設2=an+1得4Sn=an2+2an+1，當n≥2時，有4Sn-1=an-12+2an-1+1，二式相減，得4an=an2-an-12+2(a

3、n-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2為公差的等差數(shù)列，當n=1時，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1. 三、 累加法和累乘法 若已知數(shù)列的遞推公式為an+1=an+f(n)可采用累加法，數(shù)列的遞推公式 為an+1=an·f(n)則采用累乘法。 例4：在數(shù)列{an}中a1=1，當n≥2時，有an=3an-1+2，求其通項an. 解析：由遞推式知an+1=3an+2，又an=3an-1+2，二式相減，得an+1-an=3(an-an-1)，因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列

4、。其首項為a2-a1=(3×1+2)-1=4，∴an+1=an+4·3n-1，則有a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32……an-an-1=4·3n-2，把n-1個等式累加得an-a1=4(1+3+32+……3n-2)=2(3n-1-1)，則有an=2·3n-1-1. 例5：設{an}是首項為1的正項數(shù)列且(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2, 3……)，求它的通項公式an. 解析：由(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,又an,an+1>0,∴an+1=an，則a2=a1

5、, a3=a2……an=an-1，把n個式子累乘得: an=()·()……()·a1，又a1=1故得an=。 四、 待定系數(shù)法 對于形如an+1=pan+q(p,q為常數(shù))的遞推公式都可以采用此法，即可設 an+1-t=p(an-t)再設法求出參數(shù)t. 例6(同例4) 解析：由題設知an+1=3an+2，可化為an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比較系數(shù)得-2t=2，即t＝－1，于是an+1+1=3(an+1)，故數(shù)列{an+1}是公比為3的等比數(shù)列，首項為a1+1=2，則an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。 五、 恒等變形法 將給

6、出式恒等變形，使之轉化為與an或Sn有關的等差和等比數(shù)列，此法 有一定的技巧性。 例7：在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an=(n≥2)，求通項an. 解析：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=,則2 SnSn-1 =- Sn + Sn-1 ,兩邊同除以SnSn-1 得 -=2 (n≥2)，又a1=S1=1，則=1，∴數(shù)列{}是以=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴=1+(n-1)·2=2n-1，∴Sn=，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-= - ，而n=1時，a1=S1=1不適合上式，∴an=。 例8：已知通項數(shù)列{an}的前n項Sm滿足Sn=(an+)，求通項an。 解析：由Sn=

7、(an+)，當n=1時，S1=a1=(a1+)a1=1,當n≥2時，an=Sn-Sn-1，則2Sn=Sn-Sn-1+,∴Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1，∴數(shù)列{Sn2}是公差為1的等差數(shù)列，且首項S12=a12=1，∴Sn2=1+(n-1)，又Sn>0，∴Sn=，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=,又當n=1時也適合上式，故an=n-. 六、 猜證法 根據(jù)給出的公式，先求出數(shù)列的前n項，從中觀察出規(guī)律，猜出通項公式， 再用數(shù)學歸納法證明。 例9：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，Sn=，求通項an. 解析：由a1=1，當n=2時，a1+a2=a2a2=2a1=2，當n=3時，a1+a2+a3=2a3 a3=3，同理可得a4=4，……猜想得an=n，下面用數(shù)學歸納法證明。 1°當n=1，2，3時，已驗算成立，2°假設n=k時，猜想成立，即ak=k，當n=k+1時，Sk+1=ak+1，又Sk=ak=，二式相減，得aK+1=ak+1-ak+1=ak+1=k+1，即n=k+1時猜想也成立，由1°2°知對于一切自然數(shù)n都有an=n.