陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 等比數(shù)列的派生數(shù)列拓展資料素材 北師大版必修5(通用)

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1、等比數(shù)列的派生數(shù)列   我們約定由等比數(shù)列的組合生成的新數(shù)列為派生數(shù)列,派生數(shù)列有非常漂亮的性質(zhì).   性質(zhì)1 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,k∈N,k≥1,i∈N,i≥1,若b1=ai,b2=ai+k+1,b3=ai+2(k+1),…,bn=ai+(n-1)(k+1),…,則數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列,其公比為qk+1.      特別地,當(dāng)i=1,k=1時(shí),{bn}成為{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列;當(dāng)i=2,k=1時(shí),{bn}由{an}的所有偶數(shù)項(xiàng)組成,顯然它們均為等比數(shù)列.且公比為q2.   性質(zhì)2 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,k∈N.k≥1,若b1=a1+a2+…+ak,b

2、2=ak+1+ak+2+…+a2k,…,bn=a(n-1)k+1+a(n-1)k+2+…+ank,…,則數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k,…成等比數(shù)列,其公比為qk.      特別地,當(dāng)k=3時(shí),b1=a1+a2+a3,bi=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,顯然,{bn}是公比為q3的等比數(shù)列,此即為1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道試題.   推廣 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,k∈N,k≥1,λ∈R.         特別地,當(dāng)λ=1時(shí),即成性質(zhì)2,當(dāng)λ=2時(shí),用途廣泛.   性質(zhì)3 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,k∈N,k≥1,若b1=a1a2…ak,b2=ak+1ak+2…a2k,…bn=a(n-1)k+1a(n-1)k+2…an)k,…,則{bn}仍為等比數(shù)列,其公比為qk2.      

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