陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 應(yīng)用舉例1典型例題素材 北師大版必修5(通用)

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1、陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 應(yīng)用舉例1典型例題素材 北師大版必修5 1、某人在草地上散步,看到他西南有兩根相距6米的標(biāo)桿,當(dāng)他向正北方向步行3分鐘后,看到一根標(biāo)桿在其南方向上,另一根標(biāo)桿在其南偏西方向上,求此人步行的速度. 解:如圖所示,A、B兩點(diǎn)的距離為6米,當(dāng)此人沿正北方向走到C點(diǎn)時,測得∠BCO =, ∠ACO =,∴∠BCA =∠BCO-∠ACO =-=. 由題意,知∠BAC =,∠ABC =. 在△ABC中,由正弦定理,得:=, 即有AC = ==+6. 在直角三角形AOC中,有:OC = AC·cos= (+6)×= 9+. 設(shè)步行速度為x米/分,則x

2、 == 3+≈4.7. 即此人步行的速度為4.7米/分. 2、某海輪以30海里/小時的速度航行,在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東,向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn),測得油井P在南偏東,海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn),求P、C間的距離. 解:如圖,在△ABP中,AB = 30×= 20, ∠APB =,∠BAP =, 由正弦定理,得:=,即=,解得BP =. 在△BPC中,BC = 30×= 40, 由已知∠PBC =,∴PC === (海里). 所以P、C間的距離為海里. 3、已知的周長為,且.⑴求邊的長;⑵若的面積為,求角的度數(shù). 解:⑴由題意及正弦定理,

3、得,,兩式相減,得. ⑵由的面積,得, 由余弦定理,得 ,所以. 4.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處,觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時,汽車到A的距離為31千米,汽車前進(jìn)20千米后,到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn),才能到達(dá)M汽車站? 解:由題設(shè),畫出示意圖,設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得 cosC==, 則sinC =1- cosC =, sinC =, 所以 sinMAC = sin(120-C)= sin120cosC - cos120sin

4、C = 在MAC中,由正弦定理得 MC ===35 從而有MB= MC-BC=15 答:汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。 5.在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為,沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測得頂端A的仰角為2,再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn),測得頂端A的仰角為4,求的大小和建筑物AE的高。 解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中, AC=BC=30, AD=DC=10, ADC =180-4, = 。 因為 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15, 在RtADE中,AE=AD

5、sin60=15 答:所求角為15,建筑物高度為15m 解法二:(設(shè)方程來求解)設(shè)DE= x,AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減,得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2== 2=30,=15 答:所求角為15,建筑物高度為15m 解法三:(用倍角公式求解)設(shè)建筑物高為AE=8,由題意,得 BAC=, CAD=2,AC = BC =30m , AD = CD =10m 在RtACE中,sin2= ① 在RtADE中,sin4=, ② ②① 得 cos2=,

6、2=30,=15,AE=ADsin60=15 答:所求角為15,建筑物高度為15m 6.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船,正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛,巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去,問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追?需要多少時間才追趕上該走私船? 解:如圖,設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船,則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos 化簡得32x-30x-27=0,即x=,或x=-(舍去) 所以BC = 10x =15,AB

7、=14x =21, 又因為sinBAC === BAC =38,或BAC =141(鈍角不合題意,舍去), 38+=83 答:巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追,經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船. 7.我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦?(角度用反三角函數(shù)表示) 解:如圖,在ABC中由余弦定理得: BC=AC+ AB-2ABAC cosBAC = 20+ 12-21220 (- ) =784 BC=28 我艦的追擊速度為14n mile/h 又在ABC中由正弦定理得: = , 故 sinB = = B = arcsin 答:我艦的追擊速度為14n mile/h,航行方向為北偏東(-arcsin)

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