(廣東專用)2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章第十二節(jié) 課時跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時知能訓(xùn)練 一、選擇題 1.f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c為實數(shù),且a2<3b,則(  ) A.f(x)在R上是增函數(shù) B.f(x)在R上是減函數(shù) C.f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù) D.f(x)是常數(shù) 【解析】 f′(x)=3x2+2ax+b, 當(dāng)a2<3b時,Δ=4a2-12b=4(a2-3b)<0. ∴f′(x)>0恒成立.f(x)在R上是增函數(shù). 【答案】 A 2.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn,則x1·x2·…·xn等于(  ) A.           B. C. D.1 【解

2、析】 y′=(n+1)xn,曲線在點(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=. 則x1·x2·…·xn=··…·=. 【答案】 B 3.若直線y=m與y=3x-x3的圖象有三個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍為(  ) A.-2<m<2 B.-2≤m≤2 C.m<-2或m>2 D.m≤-2或m≥2 【解析】 y′=3(1-x)·(1+x) 由y′=0,得x=±1, ∴y極大=2,y極?。剑?,∴-2<m<2. 【答案】 A 4.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖2-12-3所示,則關(guān)于x的不等式x·f′(x)<0的解集為(  )

3、 圖2-12-3 A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【解析】 (1)當(dāng)x∈(-∞,-1)和x∈(1,+∞)時,f(x)是增函數(shù), ∴f′(x)>0,因此x<0, ∴x·f′(x)<0的范圍是(-∞,-1). (2)當(dāng)-1<x<1時,f(x)遞減,∴f′(x)<0. 由x·f′(x)<0,得x>0, ∴0<x<1. 故x·f′(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1). 【答案】 A 5.已知函數(shù)y=(x∈R)滿足f′(x)>f(x),則f(1)與ef(0)的大小關(guān)系是

4、(  ) A.f(1)<ef(0) B.f(1)>ef(0) C.f(1)=ef(0) D.不能確定 【解析】 令g(x)=, 則g′(x)==>0, 則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,所以有g(shù)(1)>g(0),即>,所以可得f(1)>ef(0). 【答案】 B 二、填空題 6.電動自行車的耗電量y與速度x之間有如下關(guān)系:y=x3-x2-40x(x>0),為使耗電量最小,則速度應(yīng)定為______. 【解析】 由y′=x2-39x-40=0,得x=-1或40, 由于0<x<40時,y′<0;當(dāng)x>40時,y′>0. 所以當(dāng)x=40時,y有最小值. 【答案】 

5、40 7.已知函數(shù)f(x)=xsin x+cos x,則f(-3)與f(2)的大小關(guān)系是________. 【解析】 f′(x)=x·cos x+sin x-sin x=xcos x. 當(dāng)x∈(,π)時,f′(x)<0,∴f(x)在(,π)上遞減, ∴f(2)>f(3). 由f(x)是偶函數(shù),得f(-3)=f(3), ∴f(2)>f(-3). 【答案】 f(2)>f(-3) 8. 已知函數(shù)f(x)=x2+mx+ln x是單調(diào)遞增函數(shù),則m的取值范圍是________. 【解析】 依題意知,x>0,f′(x)=, 令g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞), 當(dāng)-≤0時

6、,g(0)=1>0恒成立,∴m≥0成立, 當(dāng)->0時,則Δ=m2-8≤0,∴-2≤m<0, 綜上,m的取值范圍是m≥-2. 【答案】 m≥-2 三、解答題 9.甲、乙兩地相距400千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過100千米/小時,已知該汽車每小時的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/小時)的函數(shù)關(guān)系是P=v4-v3+15v, (1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式; (2)為使全程運(yùn)輸成本最少,汽車應(yīng)以多大速度行駛?并求此時運(yùn)輸成本的最小值. 【解】 (1)Q=P·=(v4-v3+15v)· =(v3-v2+15)·400 =-v2+6 000(0<v

7、≤100). (2)由(1)知,Q′=-5v, 令Q′=0,則v=0(舍去)或v=80, 當(dāng)0<v<80時,Q′<0;當(dāng)80<v≤100時,Q′>0. ∴當(dāng)v=80千米/小時時,全程運(yùn)輸成本取得極小值, 又函數(shù)在(0,100]內(nèi)有唯一極小值,也就是最小值. 故運(yùn)輸成本的最小值為Q(80)=(元). 10.f(x)=x3-x2-x+a,當(dāng)a在何范圍內(nèi)取值時,y=f(x)與x軸僅有一個交點. 【解】 令f′(x)=3x2-2x-1=0,得x=-,x=1, 當(dāng)x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下: x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f′(x)

8、 + 0 - 0 + f(x) 極大值  極小值  可知f(-)=+a為極大值,f(1)=a-1為極小值. ①當(dāng)+a<0,即a∈(-∞,-)時,y=f(x)與x軸僅有一個交點; ②當(dāng)a-1>0,即a∈(1,+∞)時,y=f(x)與x軸僅有一個交點. 故所求a的取值范圍是(-∞,-)∪(1,+∞). 11.(2020·遼寧高考改編)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+(2-a)x. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)設(shè)a>0,證明:當(dāng)0<x<時,f(+x)>f(-x). 【解】 (1)f(x)的定義域為(0,+∞), f′(x)=-2ax+(2-a)=-. ①若a≤0,則f′(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). ②若a>0,則由f′(x)=0,得x=. 又當(dāng)x∈(0,)時,f′(x)>0;當(dāng)x>時,f′(x)<0. 所以f(x)在(0,)上單調(diào)增加;在(,+∞)上單調(diào)減少. (2)證明 設(shè)函數(shù)g(x)=f(+x)-f(-x). 則g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, g′(x)=+-2a=. 當(dāng)0<x<時,g′(x)>0, 又g(0)=0,所以g(x)>0. 故當(dāng)0<x<時,f(+x)>f(-x).

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