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1、2019-2020年九年級數(shù)學教案示例北師大版(I)
課時安排
1課時
從容說課
本節(jié)在前兩節(jié)的基礎上進一步學習用銳角三角函數(shù)解決實際問題,經(jīng)歷把實際問題轉化成數(shù)學問題的過程,提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力?因此本節(jié)選取了現(xiàn)實生活中的幾個題材:船右觸礁的危險嗎,小明測塔的高度,改變商場樓梯的安全性能等,使學生真正體會到三角函數(shù)在解決實際問題中必不可少的重要地位?提高了學生學習數(shù)學的興趣.
因此,本節(jié)的重點是讓學生親歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用,能夠?qū)嶋H問題轉化為數(shù)學問題,能夠借助計算器進行三角函數(shù)的計算,并能進一步對結果的意義進行說明,
2、發(fā)展數(shù)學的應用意識和解決問題的能力?教學時,教師可讓學生在審清題意的基礎上,自己畫出示意圖,將實際問題轉化為數(shù)學問題,這是本節(jié)課的重點也是難點.同時,讓學生對“三角學”的發(fā)展史有所了解.
第六課時
課題
§1.4船有觸礁的危險嗎
教學目標
(一)教學知識點
1. 經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應用
2. 能夠把實際問題轉化為數(shù)學問題,能夠借助于計算器進行有關三角函數(shù)的計算,并能對結果的意義進行說明.
(二)能力訓練要求
發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和解決問題的能力.
(三)情感與價值觀要求
1?在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中,畫出示意圖,培
3、養(yǎng)獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣.
2?選擇生活中學生感興趣的題材,使學生能積極參與數(shù)學活動,提高學習數(shù)學、學好數(shù)學的欲望.
教具重點
1. 經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用
2. 發(fā)展學生數(shù)學應用意識和解決問題的能力.
教學難點
根據(jù)題意,了解有關術語,準確地畫出示意圖.
教學方法
探索一一發(fā)現(xiàn)法
教具準備
多媒體演示
教學過程
I?創(chuàng)設問題情境,引入新課
[師]直角三角形就像一個萬花筒,為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界?我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關系后,接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關系,它使我們
4、現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題,都可迎刃而解?它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用,例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.
F面我們就來看一個問題(多媒體演示).
海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁?今有貨輪由西向東航行,開始在A島南偏西55°的B處,往東行駛20海里后,到達該島的南偏西25°的C處,之后,貨輪繼續(xù)往東航行,你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.
下面就請同學們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書:船有觸礁的危險嗎)
II.講授新課
[師]我們注意到題中有很多方位,在平面圖形中,方位是如何規(guī)定的?
[生]應該是“上北下南,左西
5、右東”?
[師]請同學們根據(jù)題意在練習本上畫出示意圖,然后說明你是怎樣畫出來的
[生]首先我們可將小島A確定,貨輪B在小島A的南偏西55°的B處,C在B的正東方,且在A南偏東25°處?示意圖如下.
[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛,有沒有觸礁的危險,由誰來決定?
[生]根據(jù)題意,小島四周10海里內(nèi)有暗礁,那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里,則無觸礁的危險,如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD丄BC,D為垂足,即AD的長度?我們需根據(jù)題意,計算出AD的長度,然后與10海里比較.
[師]這位同學分析得很好,能將實際問題清晰條理
6、地轉化成數(shù)學問題?下面我們就來看AD如何求?根據(jù)題意,有哪些已知條件呢?
[生]已知BC°=20海里,ZBAD=55°,ZCAD=25°.
[師]在示意圖中,有兩個直角三角形RtAABD和RtAACD?你能在哪一個三角形中求出AD呢?
[生]在RtAACD中,只知道ZCAD=25°,不能求AD.
[生]在RtAABD中,知道ZBAD=55°,雖然知道BC=20海里,但它不是RtAABD的邊,也不能求出AD.
[師]那該如何是好?是不是可以將它們結合起來,站在一個更高的角度考慮?
[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系,AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差,即BC
7、=BD-CD.BD、CD的對角是已知的,BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.
[師]有何聯(lián)系呢?
[生]在RtAABD中,tan55°=,BD=ADtan55°;在Rt^ACD中,tan25°=,CD=ADtan25°.
[生]利用BC=BD-CD就可以列出關于AD的一元一次方程,即ADtan55°-ADtan25°=20.
[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙?其實,在解決數(shù)學問題時,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我們初中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想之一.
下面我們一起完整地將這個題做完.
[師生共析]解:過A作BC的垂線,交BC于點D.得到RtAABD和RtAACD,從而B
8、D=ADtan55°,CD=ADtan25°,由BD-CD=BC,又BC=20海里.得ADtan55°-ADtan25°=20.
AD(tan55°-tan25°)=20,
AD=~20.79(海里).
這樣AD~20.79海里〉10海里,所以貨輪沒有觸礁的危險.
[師]接下來,我們再來研究一個問題?還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的,并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.
多媒體演示想一想你會更聰明:如圖,小明想測量塔CD的高度?他在A處仰望塔頂,測得仰角為30°,再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計,結果精確到
9、1m)
[師]我想請一位同學告訴我什么是仰角?在這個圖中,30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?
[生]當從低處觀測高處的目標時,視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指ZDAC,60°的仰角指ZDBC.
[師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路,然后回答
(教師留給學生充分的思考時間,感覺有困難的學生可給以指導)
[生]首先,我們可以注意到CD是兩個直角三角形RtAADC和RtABDC的公共邊,在Rt△ADC中,tan30°=,
即人。=在只七4BDC中,tan60°=,即BC=,又VAB=AC-BC=50m,得
-=50.
解得CD~43(m),
即塔CD
10、的高度約為43m.
[生]我有一個問題,小明在測角時,小明本身有一個高度,因此在測量CD的高度時應考慮小明的身高.
[師]這位同學能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑,很值得贊賞?在實際測量時?的確應該考慮小明的身高,更準確一點應考慮小明在測量時,眼睛離地面的距離.
如果設小明測量時,眼睛離地面的距離為1.6m,其他數(shù)據(jù)不變,此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?C
[生]示意圖如
右圖所示,由前面的/
解答過程可知cc‘~忙血—瞥氣
43m,則CD=43+'"?
1.6=44.6m.即考慮小明的高度,塔的高度為44.6m.
[師]同學們的表現(xiàn)太棒了?現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題,想
11、請同學們幫忙解決
一下.
多媒體演示:某商場準備改善原來樓梯的安全性能,把
傾角由40°減至35°,
已知原樓梯長為4m,
調(diào)整后的樓梯會加長多少?樓梯多占多長一段地面?(結果精確到0.0lm)
請同學們根據(jù)題意,畫出示意圖,將這個實際問題轉化成數(shù)學問題,(先獨立完成,然=?大、」.、人々宀*右士口、、,亠\“4
后相互交流,討論各自的想法)
[生]在這個問題中,要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量?根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖)?其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長,BC是原樓梯的占地長度;AD是調(diào)整后的樓梯的長度,DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.ZACB是原樓梯的傾角,
12、ZADB是調(diào)整后的樓梯的傾角?轉化為數(shù)學問題即為:
如圖,AB丄DB,ZACB=40°,ZADB=35°,AC=4m.求AD-AC及DC的長度.
[師]這位同學把這個實際樓梯調(diào)整問題轉化成了數(shù)學問題?大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式?我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它,開始吧!
[生]解:由條件可知,在RtAABC中,sin40°=,即AB=4sin40°m,原樓梯占地長BC=4cos40°m.
調(diào)整后,在RtAADB中,sin35°=,則AD=m.樓梯占地長
DB=m.
???調(diào)整后樓梯加長AD-AC=-4~0.48(m),樓梯比原來多占DC=DB-BC=-
13、4cos40°~0.61(m).
III.隨堂練習
1.如圖,一燈柱AB被一鋼纜CD固定,CD與地面成40°夾角,且DB=5m,現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED,那么鋼纜ED的長度為多少?
解:在RtACBD中,ZCDB=40°
在RtAEDB中,DB=5m,BE=BC+EC=2+5sin40°(m).
m,
=,BC=DBsin40°=5sin40°(m).
根據(jù)勾股定理,得DEKDB2+BE2=曲2+(2+5sin40°)2~7.96(m).
所以鋼纜ED的長度為7.96m.
2?如圖,水庫大壩的截面是梯形ABCD,壩頂AD=6m,坡長CD=8m.坡底
D
BC
14、=30m,ZADC=135°.
(1) 求ZABC的大?。?
(2) 如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結果精確到0.01m3)解:過A、D分別作AE丄BC,DF丄BC,E、F為垂足.
(1)在梯形ABCD中.ZADC=135°,
.*.ZFDC=45°,EF=AD=6m.在RtAFDC中,DC=8m.DF=FC=CD.sin45°=4(m).
15、
???BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在RtAAEB中,AE=DF=4(m).tanABC=~0.308.
.??ZABC~17°8’21〃.
(2)梯形ABCD的面積S=(AD+BC)XAE
=(6+30)X4=72(m2).
壩長為100m,那么建筑這個大壩共需土石料100X72~10182.34血).綜上所述,ZABC=17°8’21〃,建筑大壩共需10182.34m3土石料.
W.課時小結
本節(jié)課我們運用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關的實際問題,提高了我們分析和解決實際問題的能力.
其實,我們這一章所學的內(nèi)容屬于“三角學”的范疇?請同學們閱讀“
16、讀一讀”了解“三角學”的發(fā)展,相信你會對“三角學”更感興趣.
V.課后作業(yè)習題1.6第1、2、3題.
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活動與探究
(xx年貴州貴陽)如圖,某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處,經(jīng)16小時的航行到達,到達后必須立即卸貨.此時?接到氣象部門通知,一臺風中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動,距臺風中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響.
(1) 問:B處是否會受到臺風的影響?請說明理由.
(2) 為避免受到臺風的影響,該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù):~1.4,~1.7)
[過程]這是一道需借助三角知識解決的應用問題
17、,需抓住問題的本質(zhì)特征?在轉化、抽象成數(shù)學問題上下功夫.
[結果](1)過點B作BD丄AC.垂足為D.
依題意,得ZBAC=30°,在RtAABD中,BD=AB=X20X16=160<200,
???B處會受到臺風影響.
(2)以點B為圓心,200海里為半徑畫圓交AC于E、F,由勾股定理可求得DE=120.AD=160.
AE=AD-DE=160-120,
?=3.8(小時).因此,陔船應在3.8小時內(nèi)卸完貨物.
板書設計
§1.4船有觸礁的危險嗎
一、船布觸礁的危險嗎
1?根據(jù)題意,畫出示意圖?將實際問題轉化為數(shù)學問題.
2. 用三角函數(shù)和方程的思想解決關于直角三角形的問題.
3. 解釋最后的結果.
二、測量塔高
三、改造樓梯