2018-2019年高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例 3-2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3

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1、3-2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用 1．下面是一個2×2列聯(lián)表： y1 y2 總計 x1 a 21 73 x2 8 25 33 總計 b 46 106 則表中a、b處的值分別為(　　) A．94,96 B．52,50 C．52,60 D．54,52 [解析]　∵a＝73－21＝52，總計73＋33＝106，而b＝106－46＝60，∴a＝52.b＝60，選C. [答案]　C 2．某科研機構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表： 心臟病 無心臟病 禿發(fā) 20 300 不禿發(fā)

2、5 450 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到k＝≈15.968，因為k>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系．那么這種判斷出錯的可能性為(　　) A．0.1 B．0.05 C．0.025 D．0.01 [解析]　∵15.968>6.635，查表知P(K2≥6.635)＝0.01 ∴判斷出錯的可能性為0.01，選D. [答案]　D 3．根據(jù)如圖所示的等高條形圖可知吸煙與患肺病________關(guān)系(填“有”或“沒有”)． [解析]　由等高條形圖可以看出吸煙患肺病的可能性比不吸煙患肺病的可能性大，所以吸煙與患肺病有關(guān)系． [答案]　有 4．為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟

3、蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)： 無效 有效 總計 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 總計 21 79 100 設H：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，則K2的觀測值k≈________(小數(shù)點后保留3位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯的可能性為________． [解析]　由公式計算得K2的觀測值k≈4.882， ∵k>3.841，∴我們有95%的把握認為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而有5%的可能性出錯． [答案]　4.882　5% 課內(nèi)拓展　課外探究 獨立性檢驗的實際應用 利用獨立

4、性檢驗解決實際問題的步驟為： (1)計算K2＝. (2)比較K2與四個臨界值：2.706、3.841、5.024和6.635的大?。? (3)得出結(jié)論． (4)利用K2檢驗值為依據(jù)也可能有失誤，它強調(diào)的是最大的可能性．樣本量越大，這個估計越準確．使用K2統(tǒng)計量作2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗時，要求表中的4個數(shù)據(jù)都要大于5，因此，在選取樣本的容量時一定要注意這一點． 注意：①在列聯(lián)表中注意事件的對應及有關(guān)值的確定，避免混亂． ②若要求判斷X與Y無關(guān)時，應先假設X與Y有關(guān)系． ③三維柱形圖和二維條形圖因為所表示的關(guān)系只是一種粗略的估計，不能夠精確地反映有關(guān)的兩個分類變量的可信程度，因而不常

5、用．并且在實際問題的解決中也較為繁瑣，故在判斷兩個分類變量的關(guān)系的可靠性時一般利用隨機變量K2來確定． ④在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯誤，比如，在推測吸煙與患肺病是否有關(guān)時，通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)，我們得到“吸煙與患肺病有關(guān)\”的結(jié)論并且有超過99%的把握說明吸煙與患肺病有關(guān)系，或者說這個結(jié)論出錯的概率為0.01以下．但實際上一個人吸煙也不一定會患肺病，患肺病也不一定是由吸煙引起的，這是數(shù)學中的統(tǒng)計思維與確定性思維差異的反映，但我們可以利用統(tǒng)計分析的結(jié)果去預測實際問題的結(jié)果． ⑤把計算出的K2的值與相關(guān)的臨界值作比較，確定出“X與Y有關(guān)系”的把

6、握． ⑥K2與k的關(guān)系并不是k＝，而是k是K2的觀測值，或者說K2是一個隨機變量，當a、b、c、d中取不同的值時，K2可能不同，而k是取定一組數(shù)a、b、c、d后的一個確定的值． 某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中，物理、化學、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)和如下表所示，則數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？ 物理優(yōu)秀 化學優(yōu)秀 總分優(yōu)秀 數(shù)學優(yōu)秀 228 225 267 數(shù)學非優(yōu)秀 143 156 99 注：該年級此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人． [解]　(1)數(shù)學與物理優(yōu)秀與否的列聯(lián)表如下：

7、物理優(yōu)秀 物理非優(yōu)秀 合計 數(shù)學優(yōu)秀 228 132 360 數(shù)學非優(yōu)秀 143 737 880 合計 371 869 1240 由表中的數(shù)據(jù)代入公式 K＝ ＝≈270.1143； (2)數(shù)學與化學優(yōu)秀與否的列聯(lián)表如下： 化學優(yōu)秀 化學非優(yōu)秀 合計 數(shù)學優(yōu)秀 225 135 360 數(shù)學非優(yōu)秀 156 724 880 合計 381 859 1240 由表中的數(shù)據(jù)代入公式 K＝ ＝ ≈240.6112； (3)數(shù)學與總分優(yōu)秀與否的列聯(lián)表如下： 總分優(yōu)秀 總分非優(yōu)秀 合計 數(shù)學優(yōu)秀 267 93 36

8、0 數(shù)學非優(yōu)秀 99 781 880 合計 366 874 1240 由表中的數(shù)據(jù)代入公式 K＝ ＝ ≈486.1225. 由于K>K>K>6.635，所以有99%的把握認為數(shù)學優(yōu)秀與物理、化學、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但是與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與化學優(yōu)秀關(guān)系最小． [點評]　本例中，我們利用2×2的獨立假設分析了數(shù)學與物理、化學、總分優(yōu)秀是否有關(guān)系．由此告訴我們，學好數(shù)學，對總分以及對學好物理都有較大的關(guān)聯(lián)關(guān)系，因此我們必須學好數(shù)學；其次，本例還告訴我們?nèi)绾卫梦覀兯鶎W習的獨立性假設的思想方法來分析多個分類變量之間關(guān)系的方法． 某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與

9、性別有關(guān)，先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的學生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，按性別分為兩組，并將兩組學生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表. 分數(shù)段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男 3 9 18 15 6 9 女 6 4 5 10 13 2 (1)估計男、女生各自的成績平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)． (2)規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分)，請你根據(jù)已知條件作出

10、2×2列聯(lián)表，并判斷在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下是否有把握認為“數(shù)學成績與性別有關(guān)”. 優(yōu)分 非優(yōu)分 總計 男生 女生 總計 100 [解]　(1)男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5， 女＝45×0.15＋55×0.10＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5. (2)由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100名學生中，“男生組”中的優(yōu)分有15(人)，“女生組”中的優(yōu)分有15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 優(yōu)分 非優(yōu)分 總計 男生 15 45 60 女生 15 25 40 總計 30 70 100 可得K2＝≈1.79 因為1.79<2.706， 所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，沒有把握認為“數(shù)學成績與性別有關(guān)”． [點評]　獨立性檢驗和統(tǒng)計、概率相結(jié)合考查內(nèi)容及處理思路 (1)考查內(nèi)容：主要考查統(tǒng)計和概率的基礎(chǔ)知識以及獨立性檢驗的基本思想和方法，考查分類與整合思想的應用；考查運算求解能力和應用意識． (2)思路：利用統(tǒng)計學中的頻率分布表、頻率分布直方圖進行數(shù)據(jù)的整理；利用概率知識求得概率；再利用獨立性檢驗思想求值和解釋． 6