《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)(11頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) 一、復(fù)習(xí)引入1、復(fù)習(xí)(1)函數(shù)的概念在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量、,若對(duì)于在某個(gè)實(shí)數(shù)集合內(nèi)的每一個(gè)確定的值,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則,都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng),則就是的函數(shù),記作,。(2)三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為;過點(diǎn)作單位圓的切線,設(shè)它與角的終邊(當(dāng)在第一、四象限角時(shí))或其反向延長(zhǎng)線(當(dāng)為第二、三象限角時(shí))相交于.規(guī)定:當(dāng)與軸同向時(shí)為正值,當(dāng)與軸反向時(shí)為負(fù)值; 當(dāng)與軸同向時(shí)為正值,當(dāng)與軸反向時(shí)為負(fù)值; 當(dāng)與軸同向時(shí)為正值,當(dāng)與軸反向時(shí)為負(fù)值;根據(jù)上面規(guī)定,則,由正弦、余弦、正切三角比的
2、定義有: 網(wǎng);這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線。二、講授新課【問題驅(qū)動(dòng)1】結(jié)合我們剛學(xué)過的三角比,就以正弦(或余弦)為例,對(duì)于每一個(gè)給定的角和它的正弦值(或余弦值)之間是否也存在一種函數(shù)關(guān)系?若存在,請(qǐng)對(duì)這種函數(shù)關(guān)系下一個(gè)定義;若不存在,請(qǐng)說明理由1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1)正弦函數(shù):;(2)余弦函數(shù):【問題驅(qū)動(dòng)2】如何作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的函數(shù)圖象?2、正弦函數(shù)的圖像(1)的圖像【方案1】幾何描點(diǎn)法步驟1:等分、作正弦線將單位圓等分,作三角函數(shù)線(正弦線)得三角函數(shù)值;步驟2:描點(diǎn)平移定點(diǎn),即描點(diǎn);步驟3:連線用光滑的曲線順次連結(jié)各個(gè)點(diǎn)小結(jié):幾何描點(diǎn)法作圖精
3、確,但過程比較繁。【方案2】五點(diǎn)法步驟1:列表列出對(duì)圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo);步驟2:描點(diǎn)定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn);步驟3:連線用光滑的曲線順次連結(jié)五個(gè)點(diǎn)小結(jié):的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是、。(2)的圖像由,所以函數(shù)在區(qū)間上的圖像與在區(qū)間上的圖像形狀一樣,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)的圖像向左、右平行移動(dòng)(每次平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度),就可以得到正弦函數(shù)的圖像。3、余弦函數(shù)的圖像(1)的圖像(2)的圖像 圖像平移法 由,可知只須將的圖像向左平移即可。三、例題舉隅例、作出函數(shù)的大致圖像;【設(shè)計(jì)意圖】考察利用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像【解】 列表描點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中,描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):、 、連線練習(xí)、作出函數(shù)的大
4、致圖像二、性質(zhì)1定義域:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R或(,),分別記作:ysinx,xR ycosx,xR2值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,所以sinx1,cosx1,即1sinx1,1cosx1也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是1,1其中正弦函數(shù)y=sinx,xR當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時(shí), 取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時(shí),取得最小值1而余弦函數(shù)ycosx,xR當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時(shí),取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x(2k1),kZ時(shí),取得最小值13周期性由sin(x2k)sinx,cos(x2k)cosx (kZ)知:正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重
5、復(fù)地取得的。一般地,對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(xT)f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。由此可知,2,4,2,4,2k(kZ且k0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。4奇偶性由sin(x)sinx, cos(x)cosx可知:ysinx為奇函數(shù), ycosx為偶函數(shù)正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱5單調(diào)性結(jié)合上述周期性可知:正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間2k,2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從1增大到1;在
6、每一個(gè)閉區(qū)間2k,2k(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到1。余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間(2k1),2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從1增加到1;在每一個(gè)閉區(qū)間2k,(2k1)(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到1y=sinxy= cosx圖 象定義域RR值 域-1,1-1,1最 值當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時(shí),取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時(shí),取得最小值1當(dāng)且僅當(dāng)x2k,kZ時(shí),取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x(2k1),kZ時(shí),取得最小值1周期性2p2p奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在閉區(qū)間2k,2k(kZ)上單調(diào)遞增,;在閉區(qū)間2k,2k(kZ)上單調(diào)遞減在閉區(qū)間(2k1),2k(kZ)上單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間
7、2k,(2k1)(kZ)上單調(diào)遞減典型例題(3個(gè),基礎(chǔ)的或中等難度)例1:求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合,并說出最大值是什么。(1)ycosx1,xR; (2)ysin2x,xR解:(1)使函數(shù)ycosx1,xR取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)ycosx,xR取得最大值的x的集合xx2k,kZ。函數(shù)ycosx1,xR的最大值是112。(2)令Z2x,那么xR必須并且只需ZR,且使函數(shù)ysinZ,ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k,kZ由2xZ2k,得xk即 使函數(shù)ysin2x,xR取得最大值的x的集合是xxk,kZ函數(shù)ysin2x,xR的最大值是1。例2:求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)yc
8、osx (2)y=sin(4x-) (3)y=3sin(-2x)解:(1)由ycosx的圖象可知:?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為2k,(2k1)(kZ)單調(diào)減區(qū)間為(2k1),2k(kZ) (2)當(dāng)2k-4x-2k+,函數(shù)的遞增區(qū)間是-,+(kZ)當(dāng)2k+4x-2k+函數(shù)的遞減區(qū)間是+,+(kZ)(3)當(dāng)2k-2x2k+時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是k-,k+(kZ)當(dāng)2k+-2x2k+時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增, 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是k+,k+(kZ)例3:求下列三角函數(shù)的周期:(1) y=sin(x+) (2) y=cos2x (3) y=3sin(+)解:(1) 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz
9、 即:f (2p+z)= f (z)f (x+2p)+=f (x+) 周期T=2p.(2)令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即:f (x+p)=f (x) 周期T=p。 (3)令z=+ 則f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) 周期T=4p。 注:yAsin(x)的周期T=。(四)課堂練習(xí)(2個(gè),基礎(chǔ)的或中等難度)1、求使下列函數(shù)y=3-cos取得最大值的自變量x的集合,并說出最大值是什么。解:當(dāng)cos=-1,即=2kp+p,kZ,x|x=4kp+2p,kZ ,y=
10、3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解:y=(1-cos2x)=-cos2x,T=p。3、求函數(shù)y=3cos(2x+)的單調(diào)區(qū)間。解:當(dāng)2k2x+2k+p時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是k-,k+(kZ)當(dāng)2k-p2x+2k時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增, 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是k-,k-(kZ)(五)拓展探究(2個(gè))1、求下列函數(shù)的周期: (1)y=sin(2x+)+2cos(3x-) (2)y=|sinx| (3)y=2sinxcosx+2cos2x-1解:(1)y1=sin(2x+) 最小正周期T1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=T為T1 ,T2的最小公倍數(shù)2p T=2p
11、(2)T=p (3) y=sin2x+cos2x=2sin(2x+) T=p2、求下列函數(shù)的最值: (1)y=sin(3x+)-1 (2)y=sin2x-4sinx+5 (3)y=解:(1) 當(dāng)3x+=2kp+即 x= (kZ)時(shí),ymax=0當(dāng)3x+=2kp-即x= (kZ)時(shí),ymin=-2(2) y=(sinx-2)2+1 當(dāng)x=2kp- kZ時(shí),ymax=10當(dāng)x=2kp- kZ時(shí),ymin= 2(3) y=-1+ 當(dāng)x=2kp+p kZ時(shí),ymax=2當(dāng)x=2kp kZ時(shí), ymin= 作業(yè)一、填空題1、函數(shù)y=cos(x-)的奇偶性是_。2、函數(shù)y=-5sinx+1的最大值是_,此
12、時(shí)相應(yīng)的x的值是_。3、函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是_。4、函數(shù)y=sinxcos(x+)+cosxsin(x+)的最小正周期是_。5、函數(shù)y=3cos(2x+)的單調(diào)遞減區(qū)間是_。6、函數(shù)y=sinx和y=cosx都為減函數(shù)的區(qū)間是_。7、函數(shù)y=sin(-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。8、已知函數(shù)y=f(x)是以為周期,且最大值為3,最小值為-1,則這個(gè)函數(shù)的解析式可以是_。二、選擇題1、函數(shù)y=sinx,x,的值域是 ( )(A)-1,1 (B),1 (C), (D),12、下列函數(shù)中,周期是的函數(shù)是 ( )(A)y=sinpx (B)y=cos2x (C)y=sin (D)y=s
13、in4k3、下列函數(shù)是奇函數(shù)的是 ( )(A)y=sin|x| (B)y=xsin|x| (C)y=-|sinx| (D)y=sin(-|x|)4*、函數(shù)y=sin(2x+)+cos(2x+)的最小正周期和最大值分別為 ( )(A)p,1 (B)p, (C)2p,1 (D)2p,三、解答題1、已知函數(shù)y=acosx-2b的最小值為-2,最大值為4,求a和b的值。2、求函數(shù)y=2+5cosx-1的值域。3、判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)y=cos(2x-); (2)y=xsinx+cos3x4、求函數(shù)y=-sinxcosx的單調(diào)區(qū)間。一、填空題1、 奇函數(shù); 2、 6, x|x=2k-,kZ ;
14、3、p;4、; 5、k-,k+(kZ); 6、2k+,2k+p(kZ)7、k+,k+(kZ); 8、y=2sin6x+1(答案不唯一)二、1、B; 2、D; 3、B; 4、A(y=sin2x+cos2x+cos2x-sin2x=cos2x)三、解答題1、當(dāng)a0時(shí),當(dāng)a0時(shí),2、y=2(1-)+5cosx-1=-2,cosx-1,1,y-6,43、(1)奇函數(shù);(2)偶函數(shù)。4、解:y=-sin2x=-(sin2x+cos2x)=-sin(2x+)當(dāng)2k-2x+2k+時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是k-,k+(kZ)當(dāng)2k+2x+2k+時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增, 函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是k+,k+(kZ)11