2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 坐標系與參數(shù)方程 文

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1、專題限時集訓(十五)　坐標系與參數(shù)方程 (建議用時：40分鐘) 1．(2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程； (2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程． [解]　(1)因為M(ρ0，θ0)在C上，當θ0＝時，ρ0＝4sin ＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點． 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗，點P在曲線ρcos＝2上． 所以，l

2、的極坐標方程為ρcos＝2. (2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ， 則ρ＝4cos θ.因為P在線段OM上，且AP⊥OM， 故θ的取值范圍是. 所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈. 2．(2019·肇慶三模)在直角坐標系xOy中，直線l1：x＝2，曲線C：(φ為參數(shù))．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為. (1)求直線l1和曲線C的極坐標方程； (2)在極坐標系中，已知射線l2：θ＝α與l1，C的公共點分別為A，B，且|OA|·|OB|＝8，求△MOB的面積． [解]　(1)∵ ∴直線l

3、1：x＝2的極坐標方程是ρcos θ＝2， 曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0， 所以曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin θ. (2)將θ＝α分別代入ρcos θ＝2，ρ＝4sin θ得：|OA|＝ρA＝， |OB|＝ρB＝4sin α. ∴|OA|·|OB|＝8tan α＝8，∴tan α＝， ∵0<α<，∴α＝. ∴|OB|＝2，|OM|＝3，∠MOB＝， 所以S△MOB＝|OM||OB|sin∠MOB＝×3×2×＝， 即△MOB的面積為. 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,2)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)，以坐標原點O

4、為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin2θ－ρ＋8sin θ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且＋2＝0，求實數(shù)a的值． [解]　(1)由消去參數(shù)t，可得x－y＋2－a＝0， 由ρsin2θ－ρ＋8sin θ＝0，得ρ2sin2θ－ρ2＋8ρsin θ＝0， ∴x2＝8y. (2)將曲線C1的參數(shù)方程化為代入曲線C2的方程， 可得t2＋(2a－8)t＋2a2－32＝0. 由Δ＝(2a－8)2－4(2a2－32)>0，解得a<4. 設點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2，

5、則t1＋t2＝8－2a，t1t2＝2a2－32， 又t1＝－2t2，聯(lián)立可得a＝4(舍)或a＝. 4．在直角坐標系xOy中，點在曲線C：(φ為參數(shù))上，對應參數(shù)為φ＝.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點P的極坐標為. (1)直接寫出點P的直角坐標和曲線C的極坐標方程； (2)設A，B是曲線C上的兩個動點，且OA⊥OB，求|OA|2＋|OB|2的最小值． [解]　(1)點P的直角坐標為(，1)， 曲線C的極坐標方程為ρ2＝. (2)由(1)知曲線C：ρ2＝. 由A，B是曲線C上的兩個動點，且OA⊥OB， 不妨設A(ρ1，θ)，B，且|OA|2＝ρ＝， |O

6、B|2＝ρ＝＝. ∴|OA|2＋|OB|2＝ρ＋ρ＝＋＝ ＝≥＝. 當sin22θ＝1時，|OA|2＋|OB|2的最小值為. ∴|OA|2＋|OB|2的最小值為. 題號 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 直線的參數(shù)方程、橢圓的極坐標方程 直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及其應用是每年高考的熱點，本題考查了橢圓的極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化以及利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決直線與曲線的相交問題，較好地考查了學生的邏輯推理的核心素養(yǎng) 2 圓的參數(shù)方程、直線的極坐標方程 本題考查了極坐標、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化和極坐標中的極角，極徑的幾何意義的應用，這也是每年高考的熱點內(nèi)

7、容，試題難度中等，能夠較好地考查學生邏輯推理及數(shù)學運算等核心素養(yǎng) 【押題1】　(2019·湛江二模)在直角坐標系xOy中，點M(0,1)，直線l：(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為7ρ2＋ρ2cos 2θ＝24. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C交于A，B兩點，求＋的值． [解]　(1)∵7ρ2＋ρ2cos 2θ＝24，∴7ρ2＋ρ2(2cos2θ－1)＝24， 又∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標方程為：＋＝1. (2)將直線l的參數(shù)方程化為標準形式為：(t為參數(shù))， 代入曲線C方程

8、，得19t2＋6t－45＝0. Δ>0恒成立，∴t1＋t2＝－，t1t2＝－. ∴＋＝＋＝＝＝. 【押題2】　(2019·寶雞三模)在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ(sin θ＋cos θ)＝. (1)求C的極坐標方程； (2)射線θ＝θ1與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求|OP|·|OQ|的取值范圍． [解]　(1)圓C的普通方程是(x－2)2＋y2＝4，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ； 所以圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (2)設P(ρ1，θ1)，則有ρ1＝4cos θ1， 設Q(ρ2，θ1)，且直線l的方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝， 則有ρ2＝， 所以|OP||OQ|＝ρ1ρ2＝＝，因為θ1∈，所以2≤|OP||OQ|≤3，故|OP||OQ|的范圍為[2,3]． - 5 -