《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)2 三角恒等變換與解三角形 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)2 三角恒等變換與解三角形 文(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時集訓(xùn)(二) 三角恒等變換與解三角形
[專題通關(guān)練]
(建議用時:30分鐘)
1.(2019·成都檢測)若sin=,則cos=( )
A. B. C.- D.-
D [∵sin=,∴cos=,
∴cos=cos 2=2cos2-1=-,故選D.]
2.在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若=,則cos B=( )
A.- B. C.- D.
B [在△ABC中,由正弦定理,得==1,
∴tan B=,又B∈(0,π),∴B=,cos B=,故選B.]
3.(2019·開封模擬)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a
2、,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,則△ABC的面積為( )
A. B.1 C. D.2
C [∵a2=b2+c2-bc,∴bc=b2+c2-a2,∴cos A==.∵A為△ABC的內(nèi)角,∴A=60°,
∴S△ABC=bcsin A=×4×=.故選C.]
4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若<cos A,則△ABC為( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.等邊三角形
A [根據(jù)正弦定理得=<cos A,即sin C<sin Bcos A,∵A+B+C=π,∴sin C=sin(A+B)<sin Bcos A,整
3、理得sin Acos B<0,又三角形中sin A>0,∴cos B<0,<B<π.∴△ABC為鈍角三角形.]
5.為測出所住小區(qū)的面積,某人進行了一些測量工作,所得數(shù)據(jù)如圖所示,則小區(qū)的面積是( )
A. km2 B. km2
C. km2 D. km2
D [如圖,連接AC,根據(jù)余弦定理可得AC=,故△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°,∠BAC=30°,故△ADC為等腰三角形,設(shè)AD=DC=x,根據(jù)余弦定理得x2+x2+x2=3,即x2==3(2-).所以所求小區(qū)的面積為×1×+×3(2-)×==(km2).]
6.在△ABC中,已知AC=2,BC=,∠BAC
4、=60°,則AB=________.
3 [在△ABC中,由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,得AB2-2AB-3=0,又AB>0,所以AB=3.]
7.(2019·荊州模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sin2A-sin2B=sin Bsin C,sin C=2sin B,則A=________.
30° [根據(jù)正弦定理可得a2-b2=bc,c=2b,解得a=b.
根據(jù)余弦定理cos A===,得A=30°.]
8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,點D為邊BC上一點,且CD=3,則
5、△ADC的面積為________.
6 [在△ABC中,由正弦定理得=,又B=2C,則=,又sin C>0,則cos C==,又C為三角形的內(nèi)角,則sin C===,則△ADC的面積為AC·CDsin C=×4×3×=6.]
[能力提升練]
(建議用時:15分鐘)
9.如圖,在△ABC中,C=,BC=4,點D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足.若DE=2,則cos A=( )
A. B.
C. D.
C [∵DE=2,∴BD=AD==.∵∠BDC=2∠A,在△BCD中,由正弦定理得=,∴=×=,∴cos A=,故選C.]
10.在外接圓半徑為的△ABC中,
6、a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,則b+c的最大值是( )
A.1 B.
C.3 D.
A [根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又a2=b2+c2-2bccos A,所以cos A=-,A=120°.因為△ABC外接圓半徑為,所以由正弦定理得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)=cos B+sin B=sin(60°+B),故當B=30°時,b+c取得最大值1.]
11.已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2
7、sin Asin C.
(1)若a=b,求cos B;
(2)設(shè)B=90°,且a=,求△ABC的面積.
[解] (1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c.
由余弦定理可得cos B==.
(2)由(1)知b2=2ac.
因為B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac,得c=a=.
所以△ABC的面積為1.
12.(2019·蘭州模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b2+c2-a2=accos C+c2cos A.
(1)求角A的大??;
(2)若△ABC的面積S△ABC=,且a=5,求si
8、n B+sin C.
[解] (1)∵b2+c2-a2=accos C+c2cos A,
∴2bccos A=accos C+c2cos A,
∵c>0,∴2bcos A=acos C+ccos A,
由正弦定理得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,
即2sin Bcos A=sin(A+C).
∵sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,
∴2sin Bcos A=sin B,即sin B(2cos A-1)=0,
∵0<B<π,∴sin B≠0,∴cos A=,
∵0<A<π,∴A=.
(2)∵S△ABC=bcsin A=bc=,∴
9、bc=25.
∵cos A===,∴b2+c2=50,
∴(b+c)2=50+2×25=100,即b+c=10(或求出b=c=5),
∴sin B+sin C=b·+c·=(b+c)·=10×=.
題號
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
誘導(dǎo)公式、倍角公式、余弦定理、三角形的面積公式
利用正弦定理、余弦定理求解三角形的面積,在近幾年全國卷中常有涉及,應(yīng)予以重視.本題將三角恒等變換與余弦定理相結(jié)合,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)
2
正弦定理、余弦定理
利用正弦定理、余弦定理解決三角形有關(guān)角、邊長等的運算是每年高考的重點,本題將正、余弦定理與平面幾何的相關(guān)知識綜合考查,很好
10、地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)
【押題1】 [新題型]△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,sin 2C+cos(A+B)=0且c=,a>c,a+b=5.則∠C=________,△ABC的面積是________.
[由sin 2C+cos(A+B)=0且A+B+C=π,
得2sin Ccos C-cos C=0,所以cos C=0或sin C=.
由c=,a>c得,cos C=0不成立,所以sin C=,所以C=.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=25-3ab=13,所以ab=4,故S△ABC=absin C=×4×=.
11、]
【押題2】 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c+a=2bcos A.
(1)求角B的大??;
(2)若a=5,c=3,邊AC的中點為D,求BD的長.
[解] (1)由2c+a=2bcos A及正弦定理,
得2sin C+sin A=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以2sin Acos B+sin A=0,
因為sin A≠0,所以cos B=-,
因為0<B<π,所以B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos∠ABC=52+32+5×3=49,所以b=7,所以AD=.
因為cos∠BAC===,
所以BD2=AB2+AD2-2·AB·ADcos∠BAC=9+-2×3××=,
所以BD=.
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