七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷（含解析） 蘇科版 (2)

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2015-2016學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市七年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每題2分） 1．下列圖形中，不能通過其中一個(gè)四邊形平移得到的是（　?。? A． B． C． D． 2．下列各計(jì)算中，正確的是（　?。? A．（a3）2=a6 B．a(chǎn)3?a2=a6 C．a(chǎn)8a2=a4 D．a(chǎn)+2a2=3a2 3．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（　　） A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm 4．下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（　　） A． B． C． D． 5．已知一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和等于540，則這個(gè)多邊形是（　　） A．八邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形 6．計(jì)算（3m﹣2n）（﹣3m﹣2n）的結(jié)果是（　?。? A．9m2﹣4n2 B．9m2+4n2 C．﹣9m2﹣4n2 D．﹣9m2+4n2 7．把代數(shù)式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列結(jié)果中正確的是（　?。? A．a(chǎn)（x﹣2）2 B．a(chǎn)（x+2）2 C．a(chǎn)（x﹣4）2 D．a(chǎn)（x﹣2）（x+2） 8．已知am=5，an=2，則am+n的值等于（　?。? A．25 B．10 C．8 D．7 9．要使（4x﹣a）（x+1）的積中不含有x的一次項(xiàng)，則a等于（　　） A．﹣4 B．2 C．3 D．4 10．若M=3a2﹣a﹣1，N=﹣a2+3a﹣2，則M、N的大小關(guān)系為（　?。? A．M=N B．M≤N C．M≥N D．無法確定 11．如圖，直線a∥b，一塊含60角的直角三角板ABC（∠A=60）按如圖所示放置．若∠1=55，則∠2的度數(shù)為（　　） A．105 B．110 C．115 D．120 12．用四個(gè)完全一樣的長方形（長、寬分別設(shè)為x、y）拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積為36，中間空缺的小正方形的面積為4，則下列關(guān)系式中不正確的是（　?。? A．x+y=6 B．x﹣y=2 C．x?y=8 D．x2+y2=36 　 二、填空題（每題3分） 13．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.000 002 5用科學(xué)記數(shù)法表示為______． 14．若a+b=8，a﹣b=5，則a2﹣b2=______． 15．已知2m=3，則4m+1=______． 16．如圖，B處在A處的南偏西40方向，C處在A處的南偏東12方向，C處在B處得北偏東80方向，則∠ACB的度數(shù)為______的． 17．如果二次三項(xiàng)式x2﹣2（m+1）x+16是一個(gè)完全平方式，那么m的值是______． 18．如圖a是長方形紙帶，∠DEF=24，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是______． 　 三、解答題 19．計(jì)算：（﹣）﹣1+（﹣2）3（π﹣2）0． 20．計(jì)算：（2a2）2﹣a7（﹣a）3． 21．計(jì)算：（x+2）（x﹣1）﹣3x（x+3） 22．先化簡，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a=﹣3，b=． 23．因式分解：﹣2x3+18x． 24．x4﹣8x2y2+16y4． 25．如圖，∠1+∠2=180，∠1=∠BAD，AD與EF平行嗎？為什么？ 26．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過一次平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′，利用網(wǎng)格點(diǎn)畫圖： （1）補(bǔ)全△A′B′C′； （2）畫出△ABC的中線CD與高線AE； （3）△A′B′C′的面積為______． 27．觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式： 32﹣412=5 ① 52﹣422=9 ② 72﹣432=13 ③ … 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題： （1）完成第四個(gè)等式：92﹣4______2=______； （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性． 28．如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”．例如自然數(shù)12321，從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個(gè)“和諧數(shù)”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”；請你猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除？并說明理由； （2）已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)其個(gè)位上的數(shù)字x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式． 　  2015-2016學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市七年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每題2分） 1．下列圖形中，不能通過其中一個(gè)四邊形平移得到的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象． 【分析】根據(jù)平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出． 【解答】解：A、能通過其中一個(gè)四邊形平移得到，錯(cuò)誤； B、能通過其中一個(gè)四邊形平移得到，錯(cuò)誤； C、能通過其中一個(gè)四邊形平移得到，錯(cuò)誤； D、不能通過其中一個(gè)四邊形平移得到，需要一個(gè)四邊形旋轉(zhuǎn)得到，正確． 故選D． 　 2．下列各計(jì)算中，正確的是（　?。? A．（a3）2=a6 B．a(chǎn)3?a2=a6 C．a(chǎn)8a2=a4 D．a(chǎn)+2a2=3a2 【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項(xiàng)，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解． 【解答】解：A、（a3）2=a6，正確； B、a3?a2=a5，錯(cuò)誤； C、a8a2=a6，錯(cuò)誤； D、a與2a2不是同類項(xiàng)，不能合并，錯(cuò)誤； 故選A． 　 3．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（　?。? A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】利用三角形三邊關(guān)系判斷即可，兩邊之和＞第三邊＞兩邊之差． 【解答】解：A、2+2=4，故不選； B、2+3=5＜6，故不選； C、3+6=9＞8＞6﹣3=3，符合條件． D、4+6=10＜11，故不選． 綜上，故選；C． 　 4．下列圖形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用． 【解答】解：A、∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180， 故A錯(cuò)誤； B、∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2， 故B正確； C、∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠CDA， 若AC∥BD，可得∠1=∠2； 故C錯(cuò)誤； D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2， 故D錯(cuò)誤． 故選：B． 　 5．已知一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和等于540，則這個(gè)多邊形是（　　） A．八邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】n邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）180，由此列方程求邊數(shù)n． 【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n， 則（n﹣2）180=540， 解得n=5． 故選C． 　 6．計(jì)算（3m﹣2n）（﹣3m﹣2n）的結(jié)果是（　?。? A．9m2﹣4n2 B．9m2+4n2 C．﹣9m2﹣4n2 D．﹣9m2+4n2 【考點(diǎn)】平方差公式． 【分析】原式利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果． 【解答】解：原式=4n2﹣9m2． 故選D 　 7．把代數(shù)式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列結(jié)果中正確的是（　?。? A．a(chǎn)（x﹣2）2 B．a(chǎn)（x+2）2 C．a(chǎn)（x﹣4）2 D．a(chǎn)（x﹣2）（x+2） 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=a（x2﹣4x+4） =a（x﹣2）2． 故選A． 　 8．已知am=5，an=2，則am+n的值等于（　?。? A．25 B．10 C．8 D．7 【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可得答案． 【解答】解：am+n=am?an=10， 故選：B． 　 9．要使（4x﹣a）（x+1）的積中不含有x的一次項(xiàng)，則a等于（　?。? A．﹣4 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式． 【分析】先運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，因積中不含x的一次項(xiàng)，所以讓一次項(xiàng)的系數(shù)等于0，得a的等式，再求解． 【解答】解：（4x﹣a）（x+1）， =4x2+4x﹣ax﹣a， =4x2+（4﹣a）x﹣a， ∵積中不含x的一次項(xiàng)， ∴4﹣a=0， 解得a=4． 故選：D． 　 10．若M=3a2﹣a﹣1，N=﹣a2+3a﹣2，則M、N的大小關(guān)系為（　?。? A．M=N B．M≤N C．M≥N D．無法確定 【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】利用求差法比較大?。合扔?jì)算M﹣N=4a2﹣4a+1，再利用配方法得到M﹣N=（2a﹣1）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到m﹣n≥0． 【解答】解：M﹣N=（3a2﹣a﹣1）﹣（﹣a2+3a﹣2） =4a2﹣4a+1 =（2a﹣1）2， ∵（2a﹣1）2≥0， ∴M﹣N≥0， ∴M≥N． 故選C． 　 11．如圖，直線a∥b，一塊含60角的直角三角板ABC（∠A=60）按如圖所示放置．若∠1=55，則∠2的度數(shù)為（　　） A．105 B．110 C．115 D．120 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)． 【分析】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運(yùn)用對頂角的性質(zhì)求出∠ANM=55，借助三角形外角的性質(zhì)求出∠AMO即可解決問題． 【解答】解：如圖，∵直線a∥b， ∴∠AMO=∠2； ∵∠ANM=∠1，而∠1=55， ∴∠ANM=55， ∴∠AMO=∠A+∠ANM=60+55=115， ∴∠2=∠AMO=115． 故選C． 　 12．用四個(gè)完全一樣的長方形（長、寬分別設(shè)為x、y）拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積為36，中間空缺的小正方形的面積為4，則下列關(guān)系式中不正確的是（　　） A．x+y=6 B．x﹣y=2 C．x?y=8 D．x2+y2=36 【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景． 【分析】根據(jù)正方形的面積分別求出小正方形和大正方形的邊長，然后結(jié)合圖形列出關(guān)于x、y的方程，求出x、y的值，分別計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵大正方形的面積為36，中間空缺的小正方形的面積為4， ∴大正方形的邊長是6，中間空缺的小正方形的邊長為2， ∴x+y=6①，x﹣y=2②， ①+②得，2x=8， 解得x=4， ①﹣②得，2y=4， 解得y=2， ∴x?y=24=8，x2+y2=22+42=20， ∴關(guān)系式中不正確的是x2+y2=36． 故選D． 　 二、填空題（每題3分） 13．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.000 002 5用科學(xué)記數(shù)法表示為　2.510﹣6?。? 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)． 【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定． 【解答】解：0.000 0025=2.510﹣6； 故答案為2.510﹣6． 　 14．若a+b=8，a﹣b=5，則a2﹣b2=　40　． 【考點(diǎn)】平方差公式． 【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：原式=（a+b）（a﹣b）=85=40， 故答案為：40． 　 15．已知2m=3，則4m+1=　36?。? 【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法． 【分析】原式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則變形，將已知等式代入計(jì)算即可求出值． 【解答】解：∵2m=3， ∴原式=4（2m）2=36， 故答案為：36 　 16．如圖，B處在A處的南偏西40方向，C處在A處的南偏東12方向，C處在B處得北偏東80方向，則∠ACB的度數(shù)為　88　的． 【考點(diǎn)】方向角． 【分析】根據(jù)方向角的定義，即可求得∠BAC，∠ABC的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解． 【解答】解：如圖， ∵AE，DB是正南正北方向， ∴BD∥AE， ∵∠DBA=40， ∴∠BAE=∠DBA=40， ∵∠EAC=12， ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=40+12=52， 又∵∠DBC=80， ∴∠ABC=80﹣40=40， ∴∠ACB=180﹣∠ABC﹣∠BAC=180﹣52﹣40=88， 故答案為：88． 　 17．如果二次三項(xiàng)式x2﹣2（m+1）x+16是一個(gè)完全平方式，那么m的值是　3或﹣5?。? 【考點(diǎn)】完全平方式． 【分析】這里首末兩項(xiàng)是x和4這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和4積的2倍，故﹣2（m+1）=8，求解即可． 【解答】解：中間一項(xiàng)為加上或減去x和4積的2倍， 故﹣2（m+1）=8， 解得m=3或﹣5， 故答案為：3或﹣5． 　 18．如圖a是長方形紙帶，∠DEF=24，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是　108?。? 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)長方形紙條的特征﹣﹣﹣對邊平行，利用平行線的性質(zhì)和翻折不變性求出∠2=∠EFG，繼而求出∠GFC的度數(shù)，再減掉∠GFE即可得∠CFE的度數(shù)． 【解答】解：延長AE到H，由于紙條是長方形， ∴EH∥GF， ∴∠1=∠EFG， 根據(jù)翻折不變性得∠1=∠2， ∴∠2=∠EFG， 又∵∠DEF=24， ∴∠2=∠EFG=24， ∠FGD=24+24=48． 在梯形FCDG中， ∠GFC=180﹣48=132， 根據(jù)翻折不變性，∠CFE=∠GFC﹣∠GFE=132﹣24=108． 　 三、解答題 19．計(jì)算：（﹣）﹣1+（﹣2）3（π﹣2）0． 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】此題涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方的求法，在計(jì)算時(shí)，需要針對每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果即可． 【解答】解：（﹣）﹣1+（﹣2）3（π﹣2）0 =﹣3+（﹣8）1 =﹣3﹣8 =﹣11 　 20．計(jì)算：（2a2）2﹣a7（﹣a）3． 【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算． 【分析】原式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，合并看見得到結(jié)果． 【解答】解：原式=4a4+a4=5a4． 　 21．計(jì)算：（x+2）（x﹣1）﹣3x（x+3） 【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式． 【分析】原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號合并即可得到結(jié)果． 【解答】解：原式=x2﹣x+2x﹣2﹣3x2﹣9x=﹣2x2﹣8x﹣2． 　 22．先化簡，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a=﹣3，b=． 【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值． 【分析】先根據(jù)整式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)=﹣3，b=代入進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：原式=2b2+a2﹣b2﹣（a2+b2﹣2ab） =2b2+a2﹣b2﹣a2﹣b2+2ab =2ab， 當(dāng)a=﹣3，b=時(shí)，原式=2（﹣3）=﹣3． 　 23．因式分解：﹣2x3+18x． 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】首先提公因式﹣2x，再利用平方差進(jìn)行二次分解即可． 【解答】解：原式=﹣2x（x2﹣9）=﹣2x（x+3）（x﹣3）． 　 24．x4﹣8x2y2+16y4． 【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法． 【分析】首先利用完全平方公式分解可得（x2﹣4y2）2，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解即可． 【解答】解：原式=（x2﹣4y2）2=（x﹣2y）2（x+2y）2． 　 25．如圖，∠1+∠2=180，∠1=∠BAD，AD與EF平行嗎？為什么？ 【考點(diǎn)】平行線的判定． 【分析】根據(jù)∠1+∠2=180，∠1=∠BAD可得出∠2+∠BAD=180，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】解：AD∥EF． 理由：∵∠1+∠2=180，∠1=∠BAD， ∴∠2+∠BAD=180， ∴AD∥EF． 　 26．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過一次平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′，利用網(wǎng)格點(diǎn)畫圖： （1）補(bǔ)全△A′B′C′； （2）畫出△ABC的中線CD與高線AE； （3）△A′B′C′的面積為　8?。? 【考點(diǎn)】作圖-平移變換；作圖—復(fù)雜作圖． 【分析】（1）根據(jù)平移條件畫出圖象即可． （2）根據(jù)時(shí)間最中線，高的定義畫出中線CD，高AE即可． （3）根據(jù)S△A′B′C′=S△ABC=AEBC計(jì)算即可． 【解答】解：（1）平移后的△A1B1C1如圖所示． （2）△ABC的中線CD與高線AE如圖所示． （3）S△A′B′C′=S△ABC=AEBC=44=8． 故單位8． 　 27．觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式： 32﹣412=5 ① 52﹣422=9 ② 72﹣432=13 ③ … 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題： （1）完成第四個(gè)等式：92﹣4　4　2=　17??； （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性． 【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；完全平方公式． 【分析】由①②③三個(gè)等式可得，被減數(shù)是從3開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，計(jì)算的結(jié)果是被減數(shù)的底數(shù)的2倍減1，由此規(guī)律得出答案即可． 【解答】解：（1）32﹣412=5 ① 52﹣422=9 ② 72﹣432=13 ③ … 所以第四個(gè)等式：92﹣442=17； （2）第n個(gè)等式為：（2n+1）2﹣4n2=4n+1， 左邊=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1， 右邊=4n+1． 左邊=右邊 ∴（2n+1）2﹣4n2=4n+1． 　 28．如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”．例如自然數(shù)12321，從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個(gè)“和諧數(shù)”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”；請你猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除？并說明理由； （2）已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)其個(gè)位上的數(shù)字x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式． 【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類． 【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義（把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同）寫出四個(gè)“和諧數(shù)”，設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，根據(jù)和諧數(shù)的定義得到a=d，b=c，則 ===91a+10b為正整數(shù)，易證得任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除； （2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則===9x+y+為正整數(shù)．故y=2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）． 【解答】解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一） 任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”都能被11整除，理由如下： 設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為：，則滿足： 最高位到個(gè)位排列：a，b，c，d． 個(gè)位到最高位排列：d，c，b，a． 由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：a=d，b=c， 則 ===91a+10b為正整數(shù)． ∴四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù)， 又∵a，b，c，d為任意自然數(shù)， ∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除； （2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則滿足： 個(gè)位到最高位排列：x，y，z． 最高位到個(gè)位排列：z，y，x． 由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則：x=z， 故 ==101x+10y， 故===9x+y+為正整數(shù)． 故y=2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）．