八年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 蘇科版2

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江蘇省無錫市江陰市要塞片2016-2017學年八年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分．） 1．下面的圖形都是常見的安全標記，其中是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列每一組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構成直角三角形的是（　　） A．3、4、5 B．6、8、10 C．、2、 D．5、12、13 3．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，下列結論中不正確的是（　　） A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD 4．如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是（　?。? A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm 5．在△ABC中，①若AB=BC=CA，則△ABC為等邊三角形；②若∠A=∠B=∠C，則△ABC為等邊三角形；③有兩個角都是60的三角形是等邊三角形；④一個角為60的等腰三角形是等邊三角形．上述結論中正確的有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 6．到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的（　?。? A．三條角平分線的交點 B．三條邊的中線的交點 C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點 7．如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（　?。? A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA 8．如圖，將一張長方形紙片沿EF折疊后，點A、B分別落在A′、B′的位置，如果∠1=56，那么∠2的度數(shù)是（　?。? A．56 B．58 C．66 D．68 9．如圖，D為△ABC邊BC上一點，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，則∠EDF等于（　　） A．90﹣∠A B．90﹣∠A C．180﹣∠A D．45﹣∠A 10．如圖，已知長方形ABCD的邊長AB=16cm，BC=12cm，點E在邊AB上，AE=6cm，如果點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上由點D向C點運動．則當△BPE與△CQP全等時，時間t為（　?。? A．1s B．3s C．1s或3s D．2s或3s 　 二、填空題：（本大題共8小題，每空2分，共16分） 11．等邊三角形是一個軸對稱圖形，它有　　條對稱軸． 12．△ABC是等腰三角形，若∠A=80，則∠B=　?。? 13．一個直角三角形的兩邊長為3和5，則第三邊為 　?。? 14．若直角三角形斜邊上的高和中線長分別是4cm，5cm，則它的面積是　　cm2． 15．已知正方形①、②在直線上，正方形③如圖放置，若正方形①、②的面積分別4cm2和15cm2，則正方形③的面積為　?。? 16．如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線MN交AC于D，若△ADB的周長是10cm，AB=4cm，則AC=　　cm． 17．如圖，在△ABC中，BC=AC，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足為點E，AB=10cm．那么△BDE的周長是　　cm． 18．如圖，在△ABC中，AD為∠CAB平分線，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15，AF=2，則BF=　?。? 　 三、解答題（本大題共有8小題，共54分．） 19．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30，∠DAB=45． （1）求∠DAC的度數(shù)； （2）請說明：AB=CD． 20．（6分）如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點A，B，M，N均在小正方形的頂點上． （1）在方格紙中畫四邊形ABCD（四邊形的各頂點均在小正方形的頂點上），使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，點A的對稱點為點D，點B的對稱點為點C； （2）請直接寫出四邊形ABCD的周長． 21．（6分）已知：如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求證：△ABC≌△DEF． 22．（6分）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，BC=10，EF=4． （1）求△MEF的周長； （2）若∠ABC=50，∠ACB=60，求△EFM的三個內(nèi)角的度數(shù)． 23．（6分）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊． （1）寫出一種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱　?。? （2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相等的所有勾股四邊形OAMB． （3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE=60，且BE=BC，連結DE、DC，∠DCB=30．求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形． 24．（6分）某班圍棋興趣小組的同學在一次活動時，他們用25粒圍棋擺成了如圖1所示的圖案．甲、乙兩人發(fā)現(xiàn)了該圖案的具有以下性質(zhì)： 甲：這是一個軸對稱圖形，且有4條對稱軸； 乙：這是一個軸對稱圖形，且每條對稱軸都經(jīng)過5粒棋子． （1）請在圖2中去掉4個棋子，使所得圖形僅保留甲所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)． （2）請在圖3中去掉4個棋子，使所得圖形僅保留乙所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)． （3）在圖4中，請去掉若干個棋子（大于0且小于10），使所得圖形仍具有甲、乙兩人所發(fā)現(xiàn)的所有性質(zhì)．（圖中用“”表示去掉的棋子） 25．（9分）數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目． 小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答： （1）特殊情況?探索結論 當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系．請你直接寫出結論：AE　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例啟發(fā)，解答題目 解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下： 如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程） （3）拓展結論，設計新題 在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）． 26．（9分）已知△ABC中，∠C=90，AB=10，AC=6，點O是AB的中點，將一塊直角三角板的直角頂點與點O重合并將三角板繞點O旋轉，圖中的M、N分別為直角三角板的直角邊與邊AC、BC的交點． （1）如圖①，當點M與點A重合時，求BN的長． （2）當三角板旋轉到如圖②所示的位置時，即點M在AC上（不與A、C重合）， ①猜想圖②中AM2、CM2、CN2、BN2之間滿足的數(shù)量關系式，并說明理由． ②若在三角板旋轉的過程中滿足CM=CN，請你直接寫出此時BN的長． 　  2016-2017學年江蘇省無錫市江陰市要塞片八年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分．） 1．下面的圖形都是常見的安全標記，其中是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項正確； B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； 故選：A． 【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 2．下列每一組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構成直角三角形的是（　　） A．3、4、5 B．6、8、10 C．、2、 D．5、12、13 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可． 【解答】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故A選項不符合題意； B、62+82=102，故是直角三角形，故B選項不符合題意； C、（）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故C選項符合題意； D、52+122=132，故是直角三角形，故D選項不符合題意． 故選C． 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可． 　 3．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，下列結論中不正確的是（　?。? A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】此題需對每一個選項進行驗證從而求解． 【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中點 ∴∠B=∠C，（故A正確） AD⊥BC，（故B正確） ∠BAD=∠CAD（故C正確） 無法得到AB=2BD，（故D不正確）． 故選：D． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關鍵熟練運用等腰三角形的三線合一性質(zhì) 　 4．如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關系． 【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長．根據(jù)三角形三邊關系定理列出不等式，確定是否符合題意． 【解答】解：當6為腰，3為底時，6﹣3＜6＜6+3，能構成等腰三角形，周長為6+6+3=15； 當3為腰，6為底時，3+3=6，不能構成三角形． 故選D． 【點評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去． 　 5．在△ABC中，①若AB=BC=CA，則△ABC為等邊三角形；②若∠A=∠B=∠C，則△ABC為等邊三角形；③有兩個角都是60的三角形是等邊三角形；④一個角為60的等腰三角形是等邊三角形．上述結論中正確的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】等邊三角形的判定． 【分析】根據(jù)等邊三角形的判定判斷即可． 【解答】解：①根據(jù)等邊三角形的定義可得△ABC為等邊三角形，結論正確； ②根據(jù)判定定理1可得△ABC為等邊三角形，結論正確； ③一個三角形中有兩個角都是60時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得第三個角也是60，那么這個三角形的三個角都相等，根據(jù)判定定理1可得△ABC為等邊三角形，結論正確； ④根據(jù)判定定理2可得△ABC為等邊三角形，結論正確． 故選D． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定，等邊三角形的判定方法有三種： （1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形． （2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形． （3）判定定理2：有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形． 注意：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60，則用判定定理2來證明． 　 6．到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的（　?。? A．三條角平分線的交點 B．三條邊的中線的交點 C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的三條角平分線的交點；到三角形三個頂點的距離都相等的點是三角形的三條邊的垂直平分線的交點．即可求得答案． 【解答】解：到三角形三邊的距離都相等的點是三角形的三條角平分線的交點． 故選A． 【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關鍵． 　 7．如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（　　） A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA 【考點】全等三角形的判定． 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個選項逐一分析即可得出答案． 【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若AB=AC，則△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合題意； B、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合題意； C、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若∠B=∠C，則△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合題意； D、∵∠1=∠2，AD為公共邊，若∠BDA=∠CDA，則△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合題意． 故選：B． 【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題． 　 8．如圖，將一張長方形紙片沿EF折疊后，點A、B分別落在A′、B′的位置，如果∠1=56，那么∠2的度數(shù)是（　　） A．56 B．58 C．66 D．68 【考點】平行線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】首先根據(jù)根據(jù)折疊可得∠1=∠EFB′=56，再求出∠B′FC的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠B′FC=68． 【解答】解：根據(jù)折疊可得∠1=∠EFB′， ∵∠1=56， ∴∠EFB′=56， ∴∠B′FC=180﹣56﹣56=68， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠B′FC=68， 故選：D． 【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等． 　 9．如圖，D為△ABC邊BC上一點，AB=AC，且BF=CD，CE=BD，則∠EDF等于（　?。? A．90﹣∠A B．90﹣∠A C．180﹣∠A D．45﹣∠A 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD與三角形DEC全等，利用全等三角形對應角相等得到一對角相等，即可表示出∠EDF． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BFD和△EDC中， ， ∴△BFD≌△EDC（SAS）， ∴∠BFD=∠EDC， ∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180﹣∠B=180﹣=90+∠A， 則∠EDF=180﹣（∠FDB+∠EDC）=90﹣∠A． 故選A． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵． 　 10．如圖，已知長方形ABCD的邊長AB=16cm，BC=12cm，點E在邊AB上，AE=6cm，如果點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上由點D向C點運動．則當△BPE與△CQP全等時，時間t為（　?。? A．1s B．3s C．1s或3s D．2s或3s 【考點】全等三角形的判定． 【分析】分別利用：①當EB=PC時，△BPE≌△CQP，②當BP=CP時，△BEP≌△CQP，進而求出即可． 【解答】解：①當EB=PC時，△BPE≌△CQP， ∵AB=16cm，AE=6cm， ∴BE=10cm， ∴PC=10cm， ∵CB=12cm， ∴BP=2cm， ∵點P從點B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動， ∴時間為：22=1s； ②當BP=CP時，△BEP≌△CQP， 設x秒時，BP=CP， 由題意得：2x=12﹣2x， 解得：x=3， 故選：C． 【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，得出對應邊關系是解題關鍵． 　 二、填空題：（本大題共8小題，每空2分，共16分） 11．等邊三角形是一個軸對稱圖形，它有　3　條對稱軸． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形和對稱軸的概念求解． 【解答】解：等邊三角形是一個軸對稱圖形，它有3條對稱軸． 故答案為：3． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 12．△ABC是等腰三角形，若∠A=80，則∠B=　80或50或20?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】此題要分三種情況進行討論：①∠C為頂角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角． 【解答】解：∵∠A=80，△ABC是等腰三角形， ∴分三種情況； ①當∠C為頂角時，∠B=∠A=80； ②當∠A為頂角時，∠B=（180﹣80）2=50； ③當∠B為頂角時，∠B=180﹣802=20； 綜上所述：∠B的度數(shù)為80、50、20． 故答案為：80或50或20． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是分三種情況討論，不要漏解． 　 13．一個直角三角形的兩邊長為3和5，則第三邊為 　4或?。? 【考點】勾股定理． 【分析】題目中告訴的直角三角形的兩邊可能是兩直角邊也可能是一條直角邊和斜邊，因此解決本題時需要分類討論． 【解答】解：當3和5是兩直角邊時， 第三邊為： =， 當3和5分別是一條直角邊和斜邊時， 第三邊為： =4， 故答案為4或． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，但解決本題的關鍵是根據(jù)兩種不同情況分類討論，學生們在解題時很容易忽略掉另一種情況． 　 14．若直角三角形斜邊上的高和中線長分別是4cm，5cm，則它的面積是　20　cm2． 【考點】直角三角形斜邊上的中線；三角形的面積． 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解． 【解答】解：∵直角三角形斜邊上中線長5cm， ∴斜邊=25=10cm， ∴面積=104=20cm2． 故答案為：20． 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)求出斜邊的長度是解題的關鍵． 　 15．已知正方形①、②在直線上，正方形③如圖放置，若正方形①、②的面積分別4cm2和15cm2，則正方形③的面積為　19?。? 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出∠EAB=∠EBD=∠BCD=90，BE=BD，∠AEB=∠CBD，就可以得出△ABE≌△CDB，得出AE=BC，AB=CD，由勾股定理就可以得出BE2的值，進而得出結論． 【解答】解：∵四邊形1、2、3都是正方形， ∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90，BE=BD， ∴∠AEB+∠ABE=90，∠ABE+∠DBC=90， ∴∠AEB=∠CBD． 在△ABE和△CDB中， ， ∴△ABE≌△CDB（AAS）， ∴AE=BC，AB=CD． ∵正方形①、②的面積分別4cm2和15cm2， ∴AE2=4，CD2=15． ∴AB2=15． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE2=AE2+AB2=19， 正方形③為19． 故答案為：19． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，正方形的面積公式的運用，三角形全等的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明△ABE≌△CDB是關鍵． 　 16．如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線MN交AC于D，若△ADB的周長是10cm，AB=4cm，則AC=　6　cm． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出CD=BD，求出△ADB的周長AD+DB+AB=AC+AB=10cm，求出即可． 【解答】解：∵MN是線段BC的垂直平分線， ∴CD=BD， ∵△ADB的周長是10cm， ∴AD+BD+AB=10cm， ∴AD+CD+AB=10cm， ∴AC+AB=10cm， ∵AB=4cm， ∴AC=6cm， 故答案為：6． 【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． 　 17．如圖，在△ABC中，BC=AC，∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足為點E，AB=10cm．那么△BDE的周長是　10　cm． 【考點】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，再根據(jù)角平分線的對稱性可得AC=AE，然后求出△BDE的周長=AB，即可得解． 【解答】解：∵∠C=90，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴CD=DE， ∵BC=AC， ∴BC=AC=AE， ∴△BDE的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB， ∵AB=10cm， ∴△BDE的周長=10cm． 故答案為：10． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖，最后求出△BDE的周長=AB是解題的關鍵． 　 18．如圖，在△ABC中，AD為∠CAB平分線，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15，AF=2，則BF=　6?。? 【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】先由垂直的定義及三角形內(nèi)角和定理得出∠BDA=75，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DAC=60，再由角平分線定義求得∠BAD=60，則∠FEA=30，根據(jù)在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到EF=2，再求出∠FBE=30，進而得出BF=EF=6． 【解答】解：∠DBE=15，∠BED=90， ∴∠BDA=75， ∵∠BDA=∠DAC+∠C，而∠C=15， ∴∠DAC=60， ∵AD為∠CAB平分線， ∴∠BAD=∠DAC=60， ∵EF⊥AB于F， ∴∠FEA=30， ∵AF=2， ∴EF=2， ∵∠FEB=60， ∴∠FBE=30， ∴BF=EF=6． 故答案為6． 【點評】本題考查了垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義，直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中． 　 三、解答題（本大題共有8小題，共54分．） 19．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30，∠DAB=45． （1）求∠DAC的度數(shù)； （2）請說明：AB=CD． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等得到∠B=∠C=30，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可計算出∠BAC=120，而∠DAB=45，則∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120﹣45； （2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ADC=∠B+∠DAB=75，而由（1）得到∠DAC=75，再根據(jù)等腰三角形的判定可得DC=AC，這樣即可得到結論． 【解答】（1）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30， ∵∠C+∠BAC+∠B=180， ∴∠BAC=180﹣30﹣30=120， ∵∠DAB=45， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120﹣45=75； （2）證明：∵∠DAB=45， ∴∠ADC=∠B+∠DAB=75， ∴∠DAC=∠ADC， ∴DC=AC， ∴DC=AB． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理：等腰三角形的兩底角相等；有兩個角相等的三角形為等腰三角形．也考查了三角形的內(nèi)角和定理． 　 20．如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點A，B，M，N均在小正方形的頂點上． （1）在方格紙中畫四邊形ABCD（四邊形的各頂點均在小正方形的頂點上），使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，點A的對稱點為點D，點B的對稱點為點C； （2）請直接寫出四邊形ABCD的周長． 【考點】作圖-軸對稱變換；勾股定理． 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，分別得出對稱點畫出即可； （2）根據(jù)勾股定理求出四邊形ABCD的周長即可． 【解答】解；（1）如圖所示： （2）四邊形ABCD的周長為：AB+BC+CD+AD=+2++3=2+5． 【點評】此題主要考查了勾股定理以及軸對稱圖形的作法，根據(jù)已知得出A，B點關于MN的對稱點是解題關鍵． 　 21．已知：如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求證：△ABC≌△DEF． 【考點】全等三角形的判定． 【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA證明△ABC≌△DEF． 【解答】證明：∵AB∥DF， ∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE， ∵∠E=∠CPD． ∴∠E=∠B， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角． 　 22．如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，BC=10，EF=4． （1）求△MEF的周長； （2）若∠ABC=50，∠ACB=60，求△EFM的三個內(nèi)角的度數(shù)． 【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出EM、FM，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解； （2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BMF，∠CME，然后根據(jù)平角等于180列式計算即可求出∠EMF，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出另兩個角即可． 【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M為BC的中點， ∴EM=BC=5， FM=BC=5， ∴△MEF周長=EF+EM+FM=4+5+5=14； （2）∵BM=FM，∠ABC=50， ∴∠MBF=∠MFB=50， ∴∠BMF=180﹣250=80， ∵CM=EM，∠ACB=60， ∴∠MCE=∠MEC=60， ∴∠CME═180﹣260=60， ∴∠EMF=180﹣∠BMF﹣∠CME=40， ∴∠MEF=∠MFE=（180﹣∠EMF）=70， ∴△MEF的三個內(nèi)角分別為40、70、70． 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平角的定義，是基礎題，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵． 　 23．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊． （1）寫出一種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱　長方形，正方形　． （2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相等的所有勾股四邊形OAMB． （3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE=60，且BE=BC，連結DE、DC，∠DCB=30．求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）只要四邊形中有一個角是直角，根據(jù)勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，由此可知，正方形、長方形、直角梯形都是勾股四邊形． （2）利用勾股定理計算畫出即可； （3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解． 【解答】解：（1）是勾股四邊形的圖形的名稱：長方形，正方形； 故答案是：長方形，正方形； （2）如圖（1），點M（3，4）或M（4，3）； （3）證明：如圖（2），連結EC． 根據(jù)旋轉的性質(zhì)知△ABC≌△DBE，則BC=BE，AC=DE． 又∵∠CBE=60， ∴△CBE是等邊三角形， ∴∠BCE=60，BC=EC 又∵∠DCB=30 ∴∠BCE+∠DCB=90即∠DCE=90， ∴DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形． 【點評】本題考查勾股定理，及考查旋轉的性質(zhì)：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變． 　 24．某班圍棋興趣小組的同學在一次活動時，他們用25粒圍棋擺成了如圖1所示的圖案．甲、乙兩人發(fā)現(xiàn)了該圖案的具有以下性質(zhì)： 甲：這是一個軸對稱圖形，且有4條對稱軸； 乙：這是一個軸對稱圖形，且每條對稱軸都經(jīng)過5粒棋子． （1）請在圖2中去掉4個棋子，使所得圖形僅保留甲所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)． （2）請在圖3中去掉4個棋子，使所得圖形僅保留乙所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)． （3）在圖4中，請去掉若干個棋子（大于0且小于10），使所得圖形仍具有甲、乙兩人所發(fā)現(xiàn)的所有性質(zhì)．（圖中用“”表示去掉的棋子） 【考點】利用軸對稱設計圖案． 【分析】（1）根據(jù)圖形是一個軸對稱圖形，且有4條對稱軸，進而得出結合軸對稱圖形的性質(zhì)得出； （2）去掉一行上的左右兩粒棋子即可符合要求的答案； （3）根據(jù)題意可以去掉8個棋子，進而得出答案． 【解答】解：（1）如圖2所示： （2）如圖3所示： （3）如圖3所示： （注：本題答案不唯一） 【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，熟練利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出是解題關鍵． 　 25．數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目． 小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答： （1）特殊情況?探索結論 當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系．請你直接寫出結論：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）． （2）特例啟發(fā)，解答題目 解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE　=　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下： 如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，（請你完成以下解答過程） （3）拓展結論，設計新題 在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠D=∠ECB=30，∠ABC=60，求出∠D=∠DEB=30，推出DB=BE=AE即可得到答案； （2）作EF∥BC，證出等邊三角形AEF，再證△DBE≌△EFC即可得到答案； （3）分為四種情況：畫出圖形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出符合條件的CD即可． 【解答】解：（1）答案為：=． （2）答案為：=． 證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60，AB=BC=AC， ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60， ∴AE=AF=EF， ∴AB﹣AE=AC﹣AF， 即BE=CF， ∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∵ED=EC， ∴∠EDB=∠ECB， ∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∴∠BED=∠FCE， 在△DBE和△EFC中 ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB=EF， ∴AE=BD． （3）解：分為四種情況： 如圖1： ∵AB=AC=1，AE=2， ∴B是AE的中點， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）， ∴∠ACE=90，∠AEC=30， ∴∠D=∠ECB=∠BEC=30，∠DBE=∠ABC=60， ∴∠DEB=180﹣30﹣60=90， 即△DEB是直角三角形． ∴BD=2BE=2（30所對的直角邊等于斜邊的一半）， 即CD=1+2=3． 如圖2， 過A作AN⊥BC于N，過E作EM⊥CD于M， ∵等邊三角形ABC，EC=ED， ∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM， ∴△BAN∽△BEM， ∴=， ∵△ABC邊長是1，AE=2， ∴=， ∴MN=1， ∴CM=MN﹣CN=1﹣=， ∴CD=2CM=1； 如圖3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120），而∠ECD不能大于120，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理， ∴此時不存在EC=ED； 如圖4 ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB， 又∵∠ABC=∠ACB=60， ∴∠ECD＞∠EDC， 即此時ED≠EC， ∴此時情況不存在， 答：CD的長是3或1． 【點評】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵． 　 26．已知△ABC中，∠C=90，AB=10，AC=6，點O是AB的中點，將一塊直角三角板的直角頂點與點O重合并將三角板繞點O旋轉，圖中的M、N分別為直角三角板的直角邊與邊AC、BC的交點． （1）如圖①，當點M與點A重合時，求BN的長． （2）當三角板旋轉到如圖②所示的位置時，即點M在AC上（不與A、C重合）， ①猜想圖②中AM2、CM2、CN2、BN2之間滿足的數(shù)量關系式，并說明理由． ②若在三角板旋轉的過程中滿足CM=CN，請你直接寫出此時BN的長． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（1）連接AN，可證明△OAN≌△OBN，可得BN=AN，根據(jù)RT△中AC2+CN2=AN2和BN+CN=BC，即可解題； （2）①結論為AM2+BN2=CN2+CM2，延長NO到E，使EO=NO，連結AE、EM、MN，可以證明△EOA≌△NOB，可得AE=BN，再根據(jù)RT△AEM和RT△CMN中勾股定理即可驗證結論； ②根據(jù)CM=CN，CM+AM=AC，CN+BN=BC，將AM，BN，CN，CM的值代入上式即可求得CN的長，即可解題． 【解答】解：（1）連接AN，如圖①， ∵∠C=90，AB=10，AC=6， ∴BC==8， 在△OAN和△OBN中， ， ∴△OAN≌△OBN（SAS）， ∴NB=AN， 設BN=x，則CN=8﹣x， ∵AC2+CN2=AN2， ∴═； （2）①AM2+BN2=CN2+CM2， 證明：延長NO到E，使EO=NO，連結AE、EM、MN， 在△EOA和△NOB中， ， ∴△EOA≌△NOB（SAS）， ∴AE=BN，∠EAO=∠B， ∴AE∥BC， ∴∠EAC=90 由垂直平分線性質(zhì)可得：MN=EM， ∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2， ∴AM2+BN2=CN2+CM2． ②∵①中已經(jīng)證明：AM2+BN2=CN2+CM2， 設CM=CN=x，則BN=8﹣x，AM=6﹣x， 代入上式得：x=， ∴． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證AE=BN是解題的關鍵．