八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷(含解析) 新人教版26 (2)
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重慶市巴蜀中學(xué)2014-2015學(xué)年八年級(下)期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題:每小題4分,共48分. 1.下列選項中是一元二次方程的為( ?。? A.x+2=0 B.x﹣2y=1 C.x2﹣2x﹣3=0 D. +3=1 2.有一個樣本有100個數(shù)據(jù),落在某一組內(nèi)的頻率是0.3,那么落在這一組內(nèi)的頻數(shù)是( ?。? A.50 B.30 C.15 D.3 3.如果△ABC∽△DEF,且對應(yīng)邊的AB與DE的長分別為2、3,則△ABC與△DEF的面積之比為( ) A.4:9 B.2:3 C.3:2 D.9:4 4.若x=1是關(guān)于x的方程ax2﹣x+2=0的解,則a的值為( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2 5.若△ABC的周長為20cm,點D,E,F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點,則△DEF的周長為( ?。? A.5cm B.10cm C.15cm D. cm 6.四邊形ABCD中,AC、BD相交于點O,能判別這個四邊形是正方形的條件是( ?。? A.OA=OB=OC=OD,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD C.AD∥BC,∠A=∠C D.OA=OC,OB=OD,AB=BC 7.如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是CD延長線上一點,BE與AD交于點F,若CD=2DE,且△DEF的面積為3,則三角形ABF的面積為( ?。? A.6 B.8 C.9 D.12 8.如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,連結(jié)BE交AD于點F,則∠DFE的度數(shù)為( ?。? A.45 B.55 C.60 D.75 9.如圖,矩形ABCD的面積為20,對角線交于點O,以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B,對角線交于O1,以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B;…;依此類推,則平行四邊形AO4C5B的面積為( ) A. B. C. D. 10.如圖,P是正方形ABCD邊BC上一點,且BP=3PC,Q是DC的中點,則AQ:QP=( ?。? A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.5:2 11.有四個一模一樣的小球,其中三個小球上面分別標有數(shù)字2、3、4,小明和小亮各摸一個,前一個人隨機摸一個球記下數(shù)字后放回,混合均勻,后一個人再隨機摸一個小球,如果兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的概率為,則第四個小球上的數(shù)字是( ?。? A.8 B.5 C.5或6 D.6 12.如圖,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點(且點P不與點B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.則EF的最小值為( ?。? A.4 B.4.8 C.5.2 D.6 二、填空題:每小題4分,共32分. 13.已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8,那么它的邊長是______. 14.如圖,測量小玻璃管口徑的量具ABC中,AB的長是10毫米,AC被分成6等份,如果小管口DE正好對著量具上3份處(DE∥AB),那么小管口徑DE的長是______毫米. 15.校生物小組有一塊長32m,寬20m的矩形實驗田,為了管理方便,準備沿平行于兩邊的方向縱、橫個開辟一條等寬的小道,要使種植面積為540m2,小道的寬應(yīng)是______米. 16.矩形的兩條對角線的夾角是60,一條對角線與矩形短邊的和為15,那么矩形對角線的長為______,短邊長為______. 17.若m、n為一元二次方程x2+3x﹣4=0的兩個根,則m+n的值為______. 18.如圖,在矩形ABCD中,E是BC邊上的點,連接AE、DE,將△DEC沿線段DE翻折,點C恰好落在線段AE上的點F處.若AB=3,BE:EC=4:1,則線段DE的長為______. 19.有四個一模一樣的小球,上面分別標有﹣2,0,2,3四個數(shù)字.從中任意模一個小球,將上面的數(shù)字記為a(不放回),再摸一個小球,將上面的數(shù)字記為b,這樣的數(shù)字a,b能使關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+bx+1=0有實數(shù)根的概率為______. 20.已知如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD交于O,點E、F分別是AD、AB邊的中點,連接DF、CE交于點G,連接AG、OG.若AD=2,則OG=______. 三、解答題:共70分. 21.(20分)(2015春?重慶校級期末)解一元二次方程: (1)x2﹣x=0 (2)4x2﹣4x+1=0 (3)x2﹣3x﹣4=0 (4)2x2+4x﹣=0. 22.如圖,E,F(xiàn)是菱形ABCD對角線上的兩點,且AE=CF. (1)求證:四邊形BEDF是菱形; (2)若∠DAB=60,AD=6,AE=DE,求菱形BEDF的周長. 23.(10分)(2015?重慶校級模擬)如圖(1),點E是正方形ABCD的對角線CA延長線上一點,以AE為邊在正方形的外部作△AEF,使∠AFE=90,AF=FE,點O是線段CE的中點,連OB,OF, (1)若EF=1,AB=3,求線段EO的長度; (2)求證:OB⊥OF; (3)將圖(1)中的正方形變?yōu)榱庑?,其中∠ABC=60,將等腰△AEF的頂角變?yōu)?20,其余條件都不變,則(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由. 24.(12分)(2015春?重慶校級期末)如圖1,等腰Rt△ABC,AC=BC=4,D為BC中點,矩形BFEG,EF=4,BF=8,且F、B、C共線.△ABD沿BF運動,速度為每秒1個單位長,運動中記為△A1B1D1.當(dāng)A1與E重合時,運動停止運動過程中△A1B1D1與△BEF重疊部分面積記為S. (1)當(dāng)線段A1D1過線段EB中點時,求運動時間t; (2)求S與t的關(guān)系式; (3)取線段BF中點為H,連接EH,如圖2,當(dāng)B1與F重合時,將∠A1B1D1繞點F旋轉(zhuǎn),射線B1A1與直線EH交于M,射線B1D1與直線EH交于N,若EM:MN=3:5,求線段EM的長. 2014-2015學(xué)年重慶市巴蜀中學(xué)八年級(下)期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題:每小題4分,共48分. 1.下列選項中是一元二次方程的為( ?。? A.x+2=0 B.x﹣2y=1 C.x2﹣2x﹣3=0 D. +3=1 【考點】一元二次方程的定義. 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答. 一元二次方程必須滿足四個條件: (1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2; (2)二次項系數(shù)不為0; (3)是整式方程; (4)含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進行驗證,滿足這四個條件者為正確答案. 【解答】解:A、方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2,故錯誤; B、含有兩個個未知數(shù).故錯誤; C、符合一元二次方程的定義,故正確. D、不是整式方程,故錯誤; 故選C. 【點評】本題考查了一元二次方程的概念,判斷一個方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 2.有一個樣本有100個數(shù)據(jù),落在某一組內(nèi)的頻率是0.3,那么落在這一組內(nèi)的頻數(shù)是( ) A.50 B.30 C.15 D.3 【考點】頻數(shù)與頻率. 【分析】根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系:頻率=頻數(shù)數(shù)據(jù)總和,可得頻數(shù)=頻率數(shù)據(jù)總和. 【解答】解:頻數(shù):1000.3=30, 故選:B. 【點評】本題考查頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系:頻數(shù)=頻率數(shù)據(jù)總和. 3.如果△ABC∽△DEF,且對應(yīng)邊的AB與DE的長分別為2、3,則△ABC與△DEF的面積之比為( ?。? A.4:9 B.2:3 C.3:2 D.9:4 【考點】相似三角形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方進行計算. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF, ∴△ABC與△DEF的面積之比等于()2=()2=. 故選A. 【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì):相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等;相似三角形的對應(yīng)線段(對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高)的比等于相似比;相似三角形的面積的比等于相似比的平方. 4.若x=1是關(guān)于x的方程ax2﹣x+2=0的解,則a的值為( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2 【考點】一元二次方程的解. 【分析】把x=1代入已知方程,列出關(guān)于a的新方程,通過解新方程來求a的值. 【解答】解:把x=1代入,得 a﹣1+2=0, 解得a=﹣1. 故選:A. 【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義.能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根. 5.若△ABC的周長為20cm,點D,E,F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點,則△DEF的周長為( ?。? A.5cm B.10cm C.15cm D. cm 【考點】三角形中位線定理. 【分析】利用三角形的中位線性質(zhì)得到所求三角形的三邊與原三角形的周長之間的關(guān)系,進而求解. 【解答】解:∵點D,E,F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點, ∴DE、EF、DF分別等于△ABC三邊的一半, ∴DE+EF+DF=△ABC的周長=10 cm. 故選B. 【點評】本題考查了三角形的中位線定理,三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形,因而每個小三角形的周長為原三角形周長的一半. 6.四邊形ABCD中,AC、BD相交于點O,能判別這個四邊形是正方形的條件是( ?。? A.OA=OB=OC=OD,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD C.AD∥BC,∠A=∠C D.OA=OC,OB=OD,AB=BC 【考點】正方形的判定. 【分析】先想一下平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定定理,再根據(jù)選項中的條件進行推理,看看能否推出四邊形是正方形即可. 【解答】 解:A、∵OA=OB=OC=OD, ∴AC=BD, ∵AC⊥BD, ∴四邊形ABCD是正方形,故本選項正確; B、根據(jù)AB∥CD和AC=BD不能推出四邊形ABCD是正方形,故本選項錯誤; C、∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180,∠ADC+∠DCB=180, ∵∠DAB=∠DCB, ∴∠ABC=∠ADC, ∴只能推出四邊形ABCD是平行四邊形,故本選項錯誤; D、∵OA=OC,OB=OD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形, ∵AB=BC, ∴只能推出四邊形ABCD是菱形,故本選項錯誤; 故選A. 【點評】本題考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,題目是一道比較好的題目,難度適中. 7.如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是CD延長線上一點,BE與AD交于點F,若CD=2DE,且△DEF的面積為3,則三角形ABF的面積為( ?。? A.6 B.8 C.9 D.12 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=CD,AB∥CD,根據(jù)相似三角形的判定得出△ABF∽△DEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出=()2,代入求出即可. 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴△ABF∽△DEF, ∴=()2, ∵CD=2DE,△DEF的面積為3, ∴三角形ABF的面積為12, 故選D. 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能求出=()2是解此題的關(guān)鍵,注意:相似三角形的面積之比等于相似比的平方. 8.如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,連結(jié)BE交AD于點F,則∠DFE的度數(shù)為( ?。? A.45 B.55 C.60 D.75 【考點】正方形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD,∠BAS=90,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AED=∠EAD=60,AE=AD,求出∠BAE=150,AB=AE,∠ABE=∠AEB=15,求出∠AFB即可. 【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAS=90, ∵△AED是等邊三角形, ∴∠AED=∠EAD=60,AE=AD, ∴∠BAE=150,AB=AE, ∴∠ABE=∠AEB=(180﹣150=15, ∴∠DFE=∠AFB=90﹣15=75, 故選D. 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出∠ABE的度數(shù),難度適中. 9.如圖,矩形ABCD的面積為20,對角線交于點O,以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B,對角線交于O1,以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B;…;依此類推,則平行四邊形AO4C5B的面積為( ) A. B. C. D. 【考點】矩形的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出△AOB的面積等于矩形ABCD的面積的,求出△AOB的面積,再分別求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面積,即可得出答案. 【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AO=CO,BO=DO,DC∥AB,DC=AB, ∴S△ADC=S△ABC=S矩形ABCD=20=10, ∴S△AOB=S△BCO=S△ABC=10=5, ∴S=S△AOB=5=, ∴S=S=, S=S=, S=S=, ∴S=2S=2=, 故選B. 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),三角形的面積的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律,注意:等底等高的三角形的面積相等. 10.如圖,P是正方形ABCD邊BC上一點,且BP=3PC,Q是DC的中點,則AQ:QP=( ?。? A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.5:2 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)BP=3PC和Q是CD的中點,可以求得=,即可求證△ADQ∽△QCP,所以根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到===2. 【解答】解:在正方形ABCD中,AD=CD=BC=AB. ∵BP=3PC,Q是CD的中點, ∴==. 又∵∠ADQ=∠QCP=90, ∴△ADQ∽△QCP, ∴===2,即AQ:QP=2:1. 故選A. 【點評】本題考查了相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì),考查了相似三角形的判定,本題中求證△ADQ∽△QCP是解題的關(guān)鍵. 11.有四個一模一樣的小球,其中三個小球上面分別標有數(shù)字2、3、4,小明和小亮各摸一個,前一個人隨機摸一個球記下數(shù)字后放回,混合均勻,后一個人再隨機摸一個小球,如果兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的概率為,則第四個小球上的數(shù)字是( ) A.8 B.5 C.5或6 D.6 【考點】列表法與樹狀圖法. 【分析】設(shè)第四個小球上的數(shù)字為x,先畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù),根據(jù)概率公式可得兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的結(jié)果數(shù)為3,其中4+4=8占1種,而當(dāng)x=5時,3+x=8,x+3=8;當(dāng)x=6時,2+x=8,x+2=8, 于是可判斷第四個小球上的數(shù)字為5或6. 【解答】解:設(shè)第四個小球上的數(shù)字為x, 畫樹狀圖為: 共有16種等可能的結(jié)果數(shù),而兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的概率為,則兩人摸得小球的數(shù)字之和為8的結(jié)果數(shù)為3,其中4+4=8, 當(dāng)x=5時,3+x=8,x+3=8;當(dāng)x=6時,2+x=8,x+2=8, 所以第四個小球上的數(shù)字為5或6. 故選C. 【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法:通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率. 12.如圖,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點(且點P不與點B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.則EF的最小值為( ) A.4 B.4.8 C.5.2 D.6 【考點】矩形的判定與性質(zhì);垂線段最短;勾股定理的逆定理. 【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEAF是矩形;連接PA,則PA=EF,所以要使EF,即PA最短,只需PA⊥CB即可;然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得PA的值. 【解答】解:如圖,連接PA. ∵在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10, ∴BC2=AB2+AC2, ∴∠A=90. 又∵PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F. ∴∠AEP=∠AFP=90, ∴四邊形PEAF是矩形. ∴AP=EF. ∴當(dāng)PA最小時,EF也最小, 即當(dāng)AP⊥CB時,PA最小, ∵AB?AC=BC?AP,即AP===4.8, ∴線段EF長的最小值為4.8; 故選:B. 【點評】本題考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短.利用“兩點之間垂線段最短”找出PA⊥BC時,PA取最小值是解答此題的關(guān)鍵. 二、填空題:每小題4分,共32分. 13.已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8,那么它的邊長是 5?。? 【考點】菱形的性質(zhì);勾股定理. 【分析】作出圖形,根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB并得到AC⊥BD,然后根據(jù)勾股定理列式計算即可求出AB的長. 【解答】解:如圖,在菱形ABCD中,OA=8=4,OB=6=3,AC⊥BD, 在Rt△AOB中,AB===5, 所以,菱形的邊長是5. 故答案為:5. 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì),主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,作出圖形更形象直觀. 14.如圖,測量小玻璃管口徑的量具ABC中,AB的長是10毫米,AC被分成6等份,如果小管口DE正好對著量具上3份處(DE∥AB),那么小管口徑DE的長是 5 毫米. 【考點】相似三角形的應(yīng)用. 【分析】利用DE∥AB得到△CDE∽△CAB,然后利用相似比可計算出DE的長. 【解答】解:∵DE∥AB, ∴△CDE∽△CAB, ∴=,即=, ∴DE=5(毫米). 故答案為5. 【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用:借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高(長)作為三角形的邊,利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形,用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度. 15.校生物小組有一塊長32m,寬20m的矩形實驗田,為了管理方便,準備沿平行于兩邊的方向縱、橫個開辟一條等寬的小道,要使種植面積為540m2,小道的寬應(yīng)是 2 米. 【考點】一元二次方程的應(yīng)用. 【分析】設(shè)道路的寬為xm,將4塊草地平移為一個長方形,長為(32﹣x)m,寬為(20﹣x)m.根據(jù)長方形面積公式即可求出道路的寬. 【解答】解:設(shè)道路的寬為xm,依題意有 (32﹣x)(20﹣x)=540, 整理,得x2﹣52x+100=0, ∴(x﹣50)(x﹣2)=0, ∴x1=2,x2=50(不合題意,舍去), 答:小道的寬應(yīng)是2m. 故答案為:2. 【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,應(yīng)熟記長方形的面積公式.另外求出4塊試驗田平移為一個長方形的長和寬是解決本題的關(guān)鍵. 16.矩形的兩條對角線的夾角是60,一條對角線與矩形短邊的和為15,那么矩形對角線的長為 10 ,短邊長為 5 . 【考點】矩形的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì). 【分析】根據(jù)矩形ABCD,得到OA=OC,OB=OD,AC=BD,推出OA=OB,根據(jù)等邊三角形的判定得出△OAB是等邊三角形,即可求出AB和對角線長. 【解答】解:∵矩形ABCD, ∴OA=OC,OB=OD,AC=BD, ∴OA=OB, ∵∠AOB=60, ∴△OAB是等邊三角形, ∴AB=OB=OA=15=5, AC=BD=25=10. 故答案為:10,5. 【點評】本題主要考查對矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握,能根據(jù)性質(zhì)得到等邊三角形OAB是解此題的關(guān)鍵,題型較好,難度適中. 17.若m、n為一元二次方程x2+3x﹣4=0的兩個根,則m+n的值為 ﹣3?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系. 【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解. 【解答】解:m+n=﹣3. 故答案為﹣3. 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=﹣,x1x2=. 18.如圖,在矩形ABCD中,E是BC邊上的點,連接AE、DE,將△DEC沿線段DE翻折,點C恰好落在線段AE上的點F處.若AB=3,BE:EC=4:1,則線段DE的長為 . 【考點】翻折變換(折疊問題). 【分析】由翻折易得△DFE≌△DCE,則DF=DC,∠DFE=∠C=90,再由AD∥BC得∠DAF=∠AEB,根據(jù)AAS證出△ABE≌△DFA;則AE=AD,設(shè)CE=x,從而表示出BE,AE,再由勾股定理,求得DE. 【解答】證明:由矩形ABCD,得∠B=∠C=90,CD=AB,AD=BC,AD∥BC. 由△DEC沿線段DE翻折,點C恰好落在線段AE上的點F處,得△DFE≌△DCE, ∴DF=DC,∠DFE=∠C=90, ∴DF=AB,∠AFD=90, ∴∠AFD=∠B, 由AD∥BC得∠DAF=∠AEB, ∴在△ABE與△DFA中, , ∴△ABE≌△DFA(AAS). ∵由EC:BE=1:4, ∴設(shè)CE=x,BE=4x,則AD=BC=5x, 由△ABE≌△DFA,得AF=BE=4x, 在Rt△ADF中,由勾股定理可得DF=3x, 又∵DF=CD=AB=3 ∴x=1 在Rt△DCE中,DE===. 故答案是:. 【點評】本題考查了三角形的全等和勾股定理的應(yīng)用,一定要熟練掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的內(nèi)容. 19.有四個一模一樣的小球,上面分別標有﹣2,0,2,3四個數(shù)字.從中任意模一個小球,將上面的數(shù)字記為a(不放回),再摸一個小球,將上面的數(shù)字記為b,這樣的數(shù)字a,b能使關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+bx+1=0有實數(shù)根的概率為 . 【考點】列表法與樹狀圖法;根的判別式. 【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到a﹣1≠0且△=b2﹣4(a﹣1)≥0,則4a﹣b2≤4,再畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù),然后找出滿足4a﹣b2≤4的結(jié)果數(shù),再根據(jù)概率公式求解. 【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+bx+1=0有實數(shù)根, ∴a﹣1≠0且△=b2﹣4(a﹣1)≥0,則4a﹣b2≤4, 畫樹狀圖為: 共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中滿足4a﹣b2≤4的結(jié)果數(shù)為8, 所以能使關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2+bx+1=0有實數(shù)根的概率==. 故答案為. 【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法:通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.也考查了根的判別式. 20.已知如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD交于O,點E、F分別是AD、AB邊的中點,連接DF、CE交于點G,連接AG、OG.若AD=2,則OG= ?。? 【考點】正方形的性質(zhì). 【分析】作AM⊥DF垂足為M,連接BM,作MH⊥AB于H.首先利用△ADF≌△DCE推出∠EGD=90,由AM∥EG,AE=ED推出MG=GD,因為OB=OD,所以O(shè)G=BM,只要求出HM,HB即可解決問題. 【解答】解:作AM⊥DF垂足為M,連接BM,作MH⊥AB于H. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠ADC=90,OB=OD, ∵AF=FB,AE=ED, ∴AF=FB=AE=ED, 在△ADF和△DCE中, , ∴△ADF≌△DCE, ∴∠ADF=∠ECD, ∵∠ECD+∠DEC=90, ∴∠DEC+∠EDF=90, ∴∠EGD=90, ∵∠AMD=∠EGD=90, ∴AM∥EG, ∵AE=ED, ∴MG=GD ∵BO=OD, ∴OG=BM. 在RT△ADF中,∵∠DAF=90,AD=2,AF=1, ∴DF=,AM==, 在RT△AMF中,∵∠AMF=90,AF=1,AM=, ∴FM==,MH==, ∴AH==,HF=,BH=, ∴BM===, ∴OG=BM=. 故答案為. 【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是添加輔助線,利用三角形中位線解決問題,所以中考??碱}型. 三、解答題:共70分. 21.(20分)(2015春?重慶校級期末)解一元二次方程: (1)x2﹣x=0 (2)4x2﹣4x+1=0 (3)x2﹣3x﹣4=0 (4)2x2+4x﹣=0. 【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法. 【分析】(1)利用因式分解法解方程; (2)利用因式分解法解方程; (3)利用因式分解法解方程; (4)利用配方法得到(x+1)2=,然后利用直接開平方法解方程. 【解答】解:(1)x(x﹣1)=0, x=0或x﹣1=0, 所以x1=0,x2=1; (2)(2x﹣1)2=0, 2x﹣1=0, 所以x1=x2=; (3)(x﹣4)(x+1)=0, x﹣4=0或x+1=0, 所以x1=4,x2=﹣1; (4)x2+2x=, x2+2x+1=+1, (x+1)2=, x+1=, 所以x1=﹣1+,x2=﹣1﹣. 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).也考查了配方法解一元二次方程. 22.如圖,E,F(xiàn)是菱形ABCD對角線上的兩點,且AE=CF. (1)求證:四邊形BEDF是菱形; (2)若∠DAB=60,AD=6,AE=DE,求菱形BEDF的周長. 【考點】菱形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì). 【分析】(1)連接BD,由菱形ABCD的性質(zhì)得出OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,得出OE=OF,證出四邊形BEDF是平行四邊形,再由EF⊥BD,即可證出四邊形BEDF是菱形; (2)求出∠DAE=30,得出OD=AD=3,再證出∠ADE=∠EDO=30,在Rt△DEO中,由三角函數(shù)求出DE==2,即可得出菱形BEDF的周長. 【解答】(1)證明:連接BD,交AC于O,如圖所示: ∵四邊形ABCD是菱形, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, ∵AE=CF, ∴OE=OF, ∴四邊形BEDF是平行四邊形, ∵EF⊥BD, ∴四邊形BEDF是菱形; (2)解:∵∠DAB=60, ∴∠DAE=30,∠ADB=60, ∵AD=6, ∴OD=AD=3, ∵AE=DE, ∴∠DAE=∠ADE,∠ADE=∠EDO=30, 在Rt△DEO中,DE==2, ∴菱形BEDF的周長=4DE=8. 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的運用;熟練掌握菱形的性質(zhì),并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵. 23.(10分)(2015?重慶校級模擬)如圖(1),點E是正方形ABCD的對角線CA延長線上一點,以AE為邊在正方形的外部作△AEF,使∠AFE=90,AF=FE,點O是線段CE的中點,連OB,OF, (1)若EF=1,AB=3,求線段EO的長度; (2)求證:OB⊥OF; (3)將圖(1)中的正方形變?yōu)榱庑?,其中∠ABC=60,將等腰△AEF的頂角變?yōu)?20,其余條件都不變,則(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由. 【考點】四邊形綜合題. 【分析】(1)利用勾股定理求得AE和AC的長,則EC即可求得,進而求得EO的長; (2)作FM⊥EC于點M,BN⊥EC于點N,設(shè)直角△AEF的直角邊長是a,設(shè)正方形ABCD的邊長是b,利用三角函數(shù)求得OM、ON、FN和 BN的長,證明△OMF≌△△BNO,則∠FOM=∠OBN,∠OFM=∠BON,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可證得∠FOM+∠OFM=90,即可證明結(jié)論; (3)與(2)的證明方法相同. 【解答】解:(1)∵在直角△AEF中,AE==, 直角△ABC中,AC==3, ∴EC=AE+AC=+3=4, 又∵O是線段EC的中點, ∴EO=EC=2; (2)作FM⊥EC于點M,BN⊥EC于點N. ∵設(shè)直角△AEF的直角邊長是a,則FM=EM=AM=a, 設(shè)正方形ABCD的邊長是b,則AN=BN=NC=b,則OE=OC=(AE+AC)=(a+b), OM=OE﹣EM=(a+b)﹣a=b, ON=AN﹣OA=AN﹣(OM﹣AM)=b﹣(b﹣a)=a. ∴在直角△OMF和直角△BNO中, ∴△OMF≌△△BNO, ∴∠FOM=∠OBN,∠OFM=∠BON 又∵直角△OMF中,∠FOM+∠OFM=90, ∴∠BOF=90, ∴OB⊥OF; (3)OB⊥OF仍成立. 理由是:作FM⊥EC于點M,BN⊥EC于點N. ∵設(shè)BF=a,則FM=EF?sin∠E=a,EM=AM=EF?cosE=a, 設(shè)AB=b,則BN=AB?sin∠BAC=b,AN=CN=b. ∴EC=AE+AC=a+b. ∴EO=OC=(a+b), ∴OM=EO﹣EM=(a+b)﹣a=b,ON=ON=AN﹣OA=AN﹣(OM﹣AM)=a. ∴=, 又∵∠FMA=∠BNO, ∴△OMF∽△△BNO, ∴∠FOM=∠OBN,∠OFM=∠BON 又∵直角△OMF中,∠FOM+∠OFM=90, ∴∠BOF=90, ∴OB⊥OF. 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),正確證明△OMF≌△△BNO是關(guān)鍵. 24.(12分)(2015春?重慶校級期末)如圖1,等腰Rt△ABC,AC=BC=4,D為BC中點,矩形BFEG,EF=4,BF=8,且F、B、C共線.△ABD沿BF運動,速度為每秒1個單位長,運動中記為△A1B1D1.當(dāng)A1與E重合時,運動停止運動過程中△A1B1D1與△BEF重疊部分面積記為S. (1)當(dāng)線段A1D1過線段EB中點時,求運動時間t; (2)求S與t的關(guān)系式; (3)取線段BF中點為H,連接EH,如圖2,當(dāng)B1與F重合時,將∠A1B1D1繞點F旋轉(zhuǎn),射線B1A1與直線EH交于M,射線B1D1與直線EH交于N,若EM:MN=3:5,求線段EM的長. 【考點】幾何變換綜合題. 【分析】(1)過O作MN⊥EG于M,交BF于N,分別計算出BN、B1D1、D1N的長,則可求出BB1的長,即t的值; (2)分五種情況進行討論:①當(dāng)0≤t≤2時,如圖2,重疊部分是△BCB1,作高CD,根據(jù)同角的三角函數(shù)列式表示出高CD的長,利用面積公式求出S與t的關(guān)系式; ②當(dāng)2<t≤8時,如圖3,重疊部分是四邊形CB1D1M,重疊部分面積是兩三角形面積的差; ③當(dāng)8<t≤10時,如圖4,重疊部分是五邊形CQFD1M,重疊部分面積S=﹣﹣,代入計算即可; ④當(dāng)10<t<12時,如圖5,重疊部分是四邊形CPQM,S=﹣﹣+,代入計算即可; ⑤當(dāng)t=12時,如圖6,S=0; (3)∠A1B1D1繞點F旋轉(zhuǎn),發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過程中,交點N與H重合,所以有兩種情況:①如圖7,當(dāng)交點M在線段EH上時,求出EH的長,再按已知的比得出結(jié)論:EM=EH==; ②如圖8,當(dāng)交點M在直線EH上時,同理得EM=6. 【解答】解:(1)如圖1,線段A1D1過線段EB中點O, 過O作MN⊥EG于M,交BF于N, ∵四邊形EFBG是矩形, ∴EG∥FB, ∴MN⊥BF, ∵△ABC是等腰直角三角形,D為BC中點, ∴BD=DC, ∵AC=BC=4, ∴BD=DC=2, 由勾股定理得:AD===2, ∵EG∥FB, ∴∠GEB=∠EBF, ∵EO=OB,∠EOA1=∠BOD1, ∴△EOA1≌△BOD1, ∴A1O=D1O=A1D1=AD=2=, 同理:OM=ON=MN=EF=2, 由勾股定理得:A1M===1, 同理D1N=1, ∵EO=OB,ON∥EF, ∴FN=BN=BF=4, ∴BB1=B1D1+D1N+BN=2+1+4=7, ∴t=7, 則當(dāng)線段A1D1過線段EB中點時,運動時間t為7秒; (2)分五種情況討論: ①當(dāng)0≤t≤2時,如圖2,重疊部分是△BCB1, 過C作CD⊥BF于D, ∵∠A1B1D1=45, ∴CD=B1D, tan∠EBF===, ∴CD=BD=(BB1﹣CD, CD=t, CD=t, ∴S==BB1?CD=?=; ②當(dāng)2<t≤8時,如圖3,重疊部分是四邊形CB1D1M, 分別過C、M向BF作垂線CP和MN,垂足分別為P、N, 由平移得如圖1:∠A1D1B=∠ADC, tan∠A1D1B====2, ∴D1N=MN, ∵DD1=t,BD=2, ∴D1B=DD1﹣BD=t﹣2, tan∠EBF==, 2MN=t﹣2﹣MN, MN=(t﹣2), 由①得:CP=t, ∴S=﹣, =BB1?CP﹣BD1?MN, =t?﹣(t﹣2)?(t﹣2), =﹣+t﹣; ③當(dāng)8<t≤10時,如圖4,重疊部分是五邊形CQFD1M,則B1F=t﹣8, ∵∠A1B1F=45, ∴△FB1Q是等腰直角三角形, ∴FQ=B1F=t﹣8, ∴S=﹣﹣, =﹣+t﹣﹣B1F?FQ, =﹣+t﹣﹣(t﹣8)(t﹣8), =﹣t2+﹣; ④當(dāng)10<t<12時,如圖5,重疊部分是四邊形CPQM, ∵BB1=t,B1D1=2,BF=8, ∴FD1=t﹣2﹣8=t﹣10,B1F=t﹣8, ∴PF=B1F=t﹣8, =2, ∴FQ=2FD1=2(t﹣10), ∴S=﹣﹣+, =﹣t2+﹣+(t﹣10)?2(t﹣10), =﹣t+; ⑤當(dāng)t=12時,如圖6,S=0; 綜上所述:S= (3)有兩種情況:①如圖7,當(dāng)交點M在線段EH上時, ∵H是BF的中點, ∴FH=4, 由勾股定理得:EH==4, ∵EM:MN=3:5,EM+MN=EH, ∴EM=EH==, ②如圖8,當(dāng)交點M在直線EH上時, ∵EM:MN=3:5,EM+EH=MN, ∴EM=3=6, 綜上所述:線段EM的長為或6. 【點評】本題是幾何變換的綜合題,考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),熟練掌握這些性質(zhì)是做好本題的關(guān)鍵;同時,知道旋轉(zhuǎn)前面的對應(yīng)角相等;本題還利用了同角的三角函數(shù)列比例式表示線段的長,利用面積公式代入計算,求出對應(yīng)的關(guān)系式;在計算重疊部分面積時,圖形比較復(fù)雜,分情況討論,此處容易丟解,因此要細心畫圖,準確找出重疊圖形的各種類型.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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