高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點(diǎn)11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理

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突破點(diǎn)11　空間中的平行與垂直關(guān)系 提煉1 異面直線的性質(zhì) (1)異面直線不具有傳遞性．注意不能把異面直線誤解為分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線． (2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直． (3)求異面直線所成角的一般步驟為：①找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法；②求——轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；③結(jié)論——由②所求得的角或其補(bǔ)角即為所求. 提煉2 平面與平面平行的常用性質(zhì) (1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等． (2)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． (3)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行． (4)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面. 提煉3 證明線面位置關(guān)系的方法 (1)證明線線平行的方法：①三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理；④線面垂直的性質(zhì)定理． (2)證明線面平行的方法：①尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；②尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)． (3)證明線面垂直的方法：①線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理． (4)證明面面垂直的方法：①定義法，即證明兩個(gè)平面所成的二面角為直二面角；②面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線． 回訪1　異面直線的性質(zhì) 1．(2016全國乙卷)平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. A　設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角． 在正方體ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.] 2．(2015廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 D　由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．] 回訪2　面面平行的性質(zhì)與線面位置關(guān)系的判斷 3．(2013全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l D　根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示． 由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.] 4．(2016全國甲卷)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號(hào)) ②③④　對(duì)于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤． 對(duì)于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確． 對(duì)于③，因?yàn)棣痢桅?，所以α，β沒有公共點(diǎn)．又m?α，所以m，β沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確． 對(duì)于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅?，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．] 熱點(diǎn)題型1　空間位置關(guān)系的判斷與證明 題型分析：空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查，同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 　(1)(2016蘭州三模)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于點(diǎn)B，CD⊥α于點(diǎn)D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件： ①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF. 其中能成為增加條件的序號(hào)是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952040】 ①③　若AC⊥β，且EF?β，則AC⊥EF，又AB⊥α，且EF?α，則AB⊥EF，AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF⊥平面ACDB，則EF⊥BD，①可以成為增加的條件；AC與α，β所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF與平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF與BD垂直，②不能成為增加的條件；由CD⊥α，EF?α，得EF⊥CD，所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，又AC與CD在β內(nèi)的射影在同一直線上，所以EF⊥AC，CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF⊥平面ACDB，則EF⊥BD，③可以成為增加的條件；若AC∥EF，則AC∥α，則BD∥AC，所以BD∥EF，④不能成為增加的條件，故能成為增加條件的序號(hào)是①③.] 圖111 (2)(2016全國乙卷)如圖111，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G. ①證明：G是AB的中點(diǎn)； ②在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積． 解題指導(dǎo)]　(2)①→→→ ②→→→→→→→ 解]?、僮C明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D， 所以AB⊥PD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE.1分 因?yàn)镻D∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.2分 又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中點(diǎn).3分 ②在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分 理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影． 連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心．由①知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD＝CG.8分 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.10分 由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，11分 所以四面體PDEF的體積V＝222＝.12分 在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時(shí)，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例和構(gòu)建幾何模型．判斷兩直線是異面直線是難點(diǎn)，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)判定．而反證法是證明兩直線異面的有效方法． 提醒：判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關(guān)系中易忽視兩個(gè)平面平行．此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例． 變式訓(xùn)練1]　(1)(2016石家莊二模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．3 B　若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯(cuò)誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，③錯(cuò)誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或相交，④錯(cuò)誤，則真命題個(gè)數(shù)為1，故選B.] (2)(2016全國丙卷)如圖112，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． 圖112 ①證明MN∥平面PAB； ②求四面體NBCM的體積． 解]　①證明：由已知得AM＝AD＝2. 如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC， TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，2分 所以四邊形AMNT為平行四邊形， 于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB.4分 ②因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)， 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE. 由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.6分 由AM∥BC得M到BC的距離為， 故S△BCM＝4＝2.8分 所以四面體NBCM的體積VNBCM＝S△BCM＝.12分 熱點(diǎn)題型2　平面圖形的翻折問題 題型分析：(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況. (2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. 　 (2016全國甲卷)如圖113，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． 圖113 (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′ABCFE的體積． 解]　(1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.1分 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.2分 由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.3分 (2)由EF∥AC得＝＝.4分 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.5分 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH.6分 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.8分 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝.10分 五邊形ABCFE的面積S＝68－3＝.11分 所以五棱錐D′ABCFE的體積V＝2＝.12分 翻折問題的注意事項(xiàng) 1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖． 2．把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)． 3．準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)． 變式訓(xùn)練2]　(2016海淀二模)已知長方形ABCD中，AD＝，AB＝2，E為AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱錐PBCDE，如圖114所示． 圖114 (1)若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：BM∥平面PDE； (2)當(dāng)平面PDE⊥平面BCDE時(shí)，求四棱錐PBCDE的體積； (3)求證：DE⊥PC. 解]　(1)證明：取DP中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M. 因?yàn)樵凇鱌DC中，點(diǎn)F，M分別是所在邊的中點(diǎn)， 所以FM綊DC.1分 又EB綊DC，所以FM綊EB，2分 所以四邊形FEBM是平行四邊形，所以BM∥EF.3分 又EF?平面PDE，BM?平面PDE. 所以BM∥平面PDE.4分 (2)因?yàn)槠矫鍼DE⊥平面BCDE， 在△PDE中，作PO⊥DE于點(diǎn)O， 因?yàn)槠矫鍼DE∩平面BCDE＝DE，所以PO⊥平面BCDE.6分 在△PDE中，計(jì)算可得PO＝，7分 所以V四棱錐PBCDE＝Sh＝(1＋2)＝.8分 (3)證明：在矩形ABCD中，連接AC交DE于點(diǎn)I， 因?yàn)閠an∠DEA＝，tan∠CAB＝， 所以∠DEA＋∠CAB＝，所以DE⊥AC，9分 所以在四棱錐PBCDE中，PI⊥DE，CI⊥DE，10分 又PI∩CI＝I，所以DE⊥平面PIC.11分 因?yàn)镻C?平面PIC，所以DE⊥PC.12分